Метод конечных элементов (1061787), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Подробно этот метод изложен в упомянутой работе, ЛИТЕРАТУРА 1, Тигпег М. 3., С1опдь й. %., Маг11п Н. С., Торр 1. 3., Ы11пеаа апд Рейес- 11оп Апа1уа1а о1 Сдпр!ех Йгис1пгеа„Х, Лего. 5с1., 23, 805 — 823 (1958). 2. С1онф й. %., Тпе Г1п11е Е1егпеп1 1п Р1апе $1геае Апа1уа1а, Ргос, 2пй АБСЕ Соп1.
оп Е1ес1гоп1с Согпрп1а11оп, Р111абигцЬ, Ра,, Бер1. 1960. Хлава 4 3. ТнпозЬепйо $, боойег Х. Ь1., ТЬеогу о1 Е1аз11с11у, 2пг1 ей., Мсбгав-Н111, 1951, 4. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, ГИТТЛ, М.— Л,, 1950. 5. Неаг~поп К. Г. Ь., Ап 1п1гог1пс1юп 1о Арр11ед Ап1яо1гор1с Е1аз11с11у, Ох1огд спи. Ргезя, 1961. 6, У1епЫеМсх О. С., СЬеипд т', К.. Рада К. О., 81гезяея 1п Ап1яо1гор1с Мег11а ~и1Ь Раг11си1аг Ке1егепсе 1о РгоЬ)егпя о1 КоЖ МесЬап(с, Х. Ига1п Апа1уя(я, 1, 172 — 182 (1966).
7. Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, ГИТТЛ, М. — Л., 1951. 8. Х1епЫеж1сх О. С., СЬеппн У. К., Ви(1гезя Оагпя оп Согпр1ех КосЕ Гоипг1а11опз, У~а1ег Рогвег, 16, 193 (1964). 9. Е1епЫесч1сх О. С., СЬеищ У. К., Ягеззез 1п Вц11гезз Оагпя, Юа1гг Рогявг, 17, 69 (1965).
10. Негггпапп 1. К., Е1ая11с11у Ег1ца11опя 1ог 1псотргезя151е, ог Иеаг1у 1псовргеяя1Ь1е Ма1ег1а1я Ьу а Чаг1а11опа1 ТЬеогегп, ХЛХЛА, 3, 1896 (1965); есть русский перевод: Геррманн, Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 10, стр.
139 — 144 (1965), ГЛАВА 5 ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 5.1. Введение Исследование распределения напряжений в телах вращения 1осесимметричных телах) при осесимметричном нагружении представляет большой практический интерес, Поскольку эти задачи тоже двумерные 11, 2], с математической точки зрения они аналогичны задачам о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях. Вследствие симметрии деформированное, а следовательно, ~М и напряженное .состояния в любом сечении по оси симметрии тела полностью определяются двумя компонентами перемещений. Такое сечение показано на фиг.
5.1. Если г. и а — радиальная и осевая координаты точки, а и и и— соответствующие перемещения, легко заметить, что перемеще- н ния внутри показанного на рисунке треугольного элемента цт могут быть описаны с помощью тех же самых функций перемещения, которые использовались в гл. 4.
Соответствующий рассмат- ! риваемому элементу объем, по которому должны браться все г1м) интегралы представлнет со Фиг. 5.1. Элемент осесимметричного бой тело вращения, показан- тела. ное на фиг. 5.1. Как и прежде, треугольный элемент рассматривается главным образом с иллюстративной целью, хотя все основные выводы имеют общий характер. Для плоской задачи было показано, что в выражение для внутренней работы входят только трн компоненты деформации в координатной плоскости, а компоненты напряжения, нормальные к координатной плоскости, не дают вклада в энергию, ибо равны нулю либо напряжения, либо соответствующие деформации.
5,2. Характеристики элемента б.2.1. Функееия перемещений Используя треугольный элемент (фиг. 5.1) с узлами е, у, и, пронумерованными против часовой стрелки, определим узловое перемещение через две его компоненты а перемещения элемента — вектором ЬЕ ®'= ЬЕ бт (5.2) Очевидно, что, как и в подразд. 4.2.1, для однозначного определения перемещений внутри элемента можно использовать линейный полипом.
Поскольку в этом случае алгебраические выкладки идентичны проделанным в гл. 4, мы не будем их повторять. Поле перемещений снова определяется соотношением (4.7) »»»=(,"»-уш,', »л,', »и» р»', где а + Е»Е»'+ сР У';= и т. д., 2Л а У вЂ” единичная матрица размерности 2Х2. В этих соотношеееиях ие = ГРт»"тЗЕ 1»е а/ аш ~»шв (5.4) В осесимметричном случае любе»е радиальное перемещение вызывает деформацнео в окружном направлении, и, так как напряжения в этом направлении не равны нулю, в рассмотрение должны быть введены четвертая компонента деформации и соответствующее напряжение.
В этом состоит отличительная особенность осеснмметричного случая. Читателю может показаться, что математические выкладки этой главы несколько сложнее использованных в предыдущей, но, по существу, они тоже основываются на общих соображениях, изложенных в гл. 2. Осесимметричное напряженное состояние остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов.
Величина Ь, как и раньше, представляет собой площадь треугольника. б.2.2. Деформация (полная) Как уже упоминалось, в осесимметричном случае необходимо рассматривать. четыре компоненты деформации. Это фактически все компоненты, которые могут быть отличны от нуля при осесимметричной деформации. Они и соответствующие им напряжения схематически изображены на фиг. 5.2. %,(О,) фиг. 5.2, Деформации и напряжении, определяемые при расчете осесимметрич- иых тел. Все рассматриваемые компоненты вектора деформации можно выразить через перемещения с помощью приведенного ниже соотношения. Использованные выражения очевидны, и они здесь выводиться не будут, Читатель„интересующийся подробным выводом, может обратиться к любому-учебнику по теории упругости ~31.
Таким образом, имеем ас (а~ = ав УГ2 Глава д Используя функции перемещений, определенные соотношениями (5.3) и (5.4), получаем (а) =Р1Р)'=Рь В, Вт1%' где 0 Ь! д~Ч',. дг в~ с~к — + Ь|+ — 0 г — Ж~ г дМ; д2' б.2.8. Начальная деформация (температурная деформация) В общем случае должны быть рассмотрены четыре независимые компоненты вектора начальной деформации а20 агО (вд = аео (5.7) Хотя, вообще говоря, начальная деформация может изменяться внутри элемента, удобно считать ее постоянной.
Возникновение начальной деформации чаще всего обусловлено тепловым расширением. Для изотропного материала в этом случае будем иметь а6' аО' (ао)= ., Поскольку матрица В содержит теперь координаты г и г, деформации в элементе ие будут постоянными, как в случаях плоского напряженного и плоского деформированного состояний. Это различие обусловлено членом ее. Если заданные узловые перемещения таковы, что и пропорционально г, то все деформации будут постоянны.
Очевидно, что, поскольку только такие перемещения соответствуют постоянным деформациям, используемая функция перемещений удовлетворяет основному критерию гл. 2. 91 Осесимметринное напряженное состояние где О' — средняя по элементу температура, а а — коэффициент линейного расширения. Общий случай анизотропии материала нет необходимости рассматривать, так как при этом осевая симметрия невозможна.
Неко~орый практический интерес представляет ~слоистыйв материал, аналогичный рассмотренному в гл. 4, плоскость изотропии которого перпендикулярна оси симметрии (фиг. 5.3). У та- Фиг, 5.3. Слоистый материал в случае осевой симметрии. ких материалов возможны два различных коэффициента линейного расширения: сс. в осевом направлении и и, в плоскости, перпендикулярной этому направлению. В этом случае начальная температурная деформация имеет вид а,О' п,О' а О' О Такая анизотропия часто встречается при исследовании деталей марин из слоистых или стекловолокнистых материалов.
Глава 5 5.2,4. Матрица упругости Теперь надо получить матрицу упругости ~Ц, связывающую деформации Я и напряжения (о) стандартным соотношением (о) = = 1.0) ((в) — (ве)). бЕ Рассмотрим сначала слоистый анизотропный материал, так как матрица упругости для изотропного материала может быть получена как частный случай. Слоистый анизотропный материал (фиг. 5.3). Полагая, что ось а направлена по нормали к плоскостям слоев, перепишем соотношения (4.22) (пренебрегая для удобства, как и ранее, начальными деформациями) в виде У2бе Ер бя ~2бг Ер Е2 б У бе Уеб~ в = — — + Г Е Е, Е! (5,1О) об, м,б, бв ве — — — — '— Ф' Ез Е~ Е~ ' Вводя опять обозначения Е) — =и и Е~ и разрешая систему относительно напряжений, находим В— Е Х (1+ ч~) (1 — тг~ — Ялам~~) 1 — м', пч 1'1+ м,) и~ (1+д,) О п ~1 — п~') (ч +п~') и О и ~1 — пч.,') О Симметрично 11+~ )(1 — — 2п ') (5,11) Изотропный материал.
Для изотропного материала матрицу ~В] получаем, полагая Е,=Ее — — Е или п=1 Осесиииетричное налряженное состояние Подстановка приведенных выше выражений в (5.11) дает О Е (1 — м) (1 + м) (1 — 2~) (5.12) О 1 — 2м Симметрично 2 (1 — ъ) 5.2.5. Жатрииа жесткости Матрицу жесткости элемента цт можно составить, используя соотношение (2.10). Так как объемный интеграл берется по всей кольцевой области, получим щ' = 2п ~ ~ет ~с~ ~е~ г дг йз, где матрица (В) определяется равенством (Б.б)', а матрица ~03— соотношениями (5.11) или (5,12) в зависимости от свойств материала. Интегрирование теперь не удается выполнить так же просто, как в случае плоского напряженного состояния, поскольку матрица (В1 зависит от координат.
Существуют две возможности: первая — интегрировать численно и вторая — перемножить входящие в интеграл матрицы и затем почленно проинтегрировать. Простейший приближенный метод состоит в определении матрицы (В1 для центра тяжести сечении элемента с координатами с~+ с1+ г„, Р= В этом случае первое приближение имеет вид Щ = 2тс1В)т [П1 1В1 И, где Ь вЂ” площадь треугольника. (5.14) а также используя известную зависимость между упругими постоянными й, а — = —,=Ш= Е~ Я 2(]+~) Можно было бы использовать более точные методы, требующие вычисления подынтегрального выражения в нескольких точках треугольника.
Такие методы будут подробно рассмотрены в гл. 8. Однако можно показать, что если используемый метод численного интегрирования позволяет точно вычислить объем элемента, то при неограниченном возрастании числа разбиений решение будет сходиться к точному 14). Предложенное здесь «одноточечное» интегрирование является методом численного интегрирования именно такого типа, поскольку известно, что объем тела вращения равен произведению площади сечения на длину пути, пройденного центром тяжести. Для получения достаточной точности при использовании простых треугольных элементов обычно требуется довольно мелкое разбиение, поэтому болыпинство созданных программ использует этот простейший метод интегрирования, который, возможно несколько неожиданно, иногда оказывается лучше точного.
Причина этого состоит в том, что при точном интегрировании появляются члены, содержащие логарифмы. Под знак логарифма входят отношения типа г;/г . Когда элемент находится на большом расстоянии- от оси, величина этого отношении близка к единице и логарифм вычисляется неточно. Если возникает необходимость в точном интегрировании, то удобно поступить следующим образом. Как и в предыдущей главе, разобьем матрицу жесткости на отдельные подматрицы размерности 2 Х 2 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
