Метод конечных элементов (1061787), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Глава 7 сывается, как и (4.4) для треугольника, в виде Ф~ 1з и у!~ х1у~1 у1~ х1у~~ у~1 х1у~ з з Отсюда получаем (и) =(СГ' ®', и формулу (7.1) можно записать в виде Ф=Р1 Ы=Я1СГ'(й', (7.5) (Р1 = (1 х у ху у~ ху' уз хуа1. (7.6) находится из соотношения М =Я 1СГ'- Этот метод, не требующий большой изобретательности, часто используется на практике, однако он имеет существенные недостатки. Иногда матрица (С1 может не иметь обратной ~2), и, кроме того, всегда нахождение обратной матрицы в общем виде, пригодном для элементов всех конфигураций, сопряжено с преодолением значительных алгебраических трудностей.
Поэтому целесообразно выяснить, нельзя ли прямо записать функции формы У;(х,у), Прежде чем .сделать это, рассмотрим некоторые общие свойства этих функций. Некоторые важные свойства можно выявить, анализируя соотношение (7.7), Во-первых, так как это равенство справедливо для всех (~ф, то в узле ~ н обращается в нуль во всех остальных узлах. Кроме того, должны соблюдаться законы изменейия функции вдоль границ, обусловленные требованиями непрерывности (в приведенном примере — линейный закон по х и кубический по у). На фиг.
7.2 в изометрни изображены функции формы для рассматриваемых элементов, соответствующие двум типичным узлам, Ясно, что их можно записать в виде произведений соответствующих функций, линейных по х н кубических по у. Очевидно, что Таким образом, функция формы для этого элемента, определяемая равенством Ф=МЮ'=1~1 ~ ° *" ~а1(й'. (7.7) 122 Функции формы аламанго такое простое решение, как в этом примере, возможно не всегда, однако вообще рекомендуется записывать функции формы в явном виде.
В дальнейшем удобно использовать нормализованные координаты. Такие координаты показаны на фиг.7.3„они выбираются так, чтобы стороны прямоугольника совпадали с координатными Фиг. 7.2. Функции формы для элемента, показанного на фнг. 7,1. Фиг, 7.3. Нормализованные координаты для прямоугольника. Хлава 1 линиями -Е1. Эти координаты связаны с координатами х и у соотношениями Х вЂ” Х д.а Ъ= — '.
«5=— И й Я ф Если функции формы известны в нормализованных координатах, то переход к первоначальной системе координат и преобразование различных выражений, встречающихся, например, при определении жесткости, тривиальны и их можно осуществить с помощью соотношений (7.9). 7.3. Прямоугольные элементы. Сирендипово семейство 13, 41 Удобнее всего выразить функции через координаты узлов на границе элемента. Рассмотрим, например, первые три элемента, изображенные на фиг. 7.4, Количество узловых точек Фиг. 7.4. Прямоугольники с узлами на границе (сирендипово семейство).
н — элемент первого порядка; 6 — элемент второго порядка; и — элемент третьего порядка а — элемент четвертого порядка, на сторонах этих элементов увеличивается, причем их число на каждой стороне одинаково. Для обеспечения непрерывности функция формы должна изменяться вдоль границ элементов а — в по линейному, параболическому и кубическому законам соответственно. Чтобы построить функцию формы для первого элемента, отметим, что произведение (7.10) Функции формы злемента равно единице в верхнем правом углу, где $ = Ч = 1, и нулю в остальных углах. Зта функция изменяется вдоль всех сторон линейно, и, следовательно, условие непрерывности выполняется, Введение новых переменных $о = $Ь, Чо =.
ЧЧ~ (7.11) позволяет записать все функции формы в виде одного выраже- ния Ую = — (1+ Во) (1+ Чо). 1 (7.12) Так как линейная комбинация этих функций формы позволяет описать произвольный. линейный закон изменений ф, второй критерий сходимости тоже удовлетворяется. Читатель легко может убедиться, что приведенные ниже функции для элементов второго и третьего порядков удовлетворяют всем необходимым критериям. Злемент второго порядка: угловые узлы ~~= 4 (1+ Во)(1+Чо) Во+Чо — 1)э 1 (7.13) узлы на сторонах 2( ~)( + 1о)' 1 Ч~=О, %= ~ (1+ $о)(1 — Ч')- Злемент третьего порядка: угловые узлы ж,= —,', (1+Ы(1+Ч,) 1 — 1О+9У+ Д, (7.14) узлы на сторонах 4= -"1-" 1 и Ч$=:1: 1 %= з2 (1+Во)(1 — Ч)(1+9Чо). Выражения для узлов на других сторонах получаются заменой переменных.
В следующем элементе этого семейства — элементе четвертого порядка ٠— добавляется центральная узловая точка, так что следует рассматривать все члены полного полинома четвертого порядка. Благодаря наличию центрального узла добавляется функция формы (1 — $2)(1 — Ч2), которая обращается в нуль на всех сторонах. Приведенные функции были найдены путем подбора. Получить функции формы для элементов этого семейства более Глава 7 124 7.4. Прямоугольные элементы. Дагранжево семейство 13, 6, 71 Простой и универсальный способ получения функции формы любого порядка состоит в перемножении соответствующих полиномов по каждой из двух координат.
Рассмотрим элемент, показанный на фиг. 7.5, в котором внутренние и внешние узлы располагаются на правильной сетке. Пусть требуется определить функцию формы для точки, обведенной кружочком. Очевидно, что произведение полинома пятой степени по $, равного единице в точках второго столбца и нулю во всех остальных узлах, на полипом четвертой степени по ~), равный единице при значениях координат, соответствующих верхней строке узлов, и нулю в остальных узлах, удовлетворяет условиям непрерывности между элементами.
Полиномы от одной переменной, обладающие таким свойством, называются полиномами Лагранжа. Они записываются в виде Х," — ~~ ~')(~ ~') " ' ') '~') "' ' ) (715) ($» Вз)(Ю» Иг) ° ° * (Вю В»-ь)(В» Ви+а) ° ° ° Й» Б»») Таким образом, если пометить узел номером столбца и номером строки, на пересечении которых он расположен, то получим Их! = » е ($) Ц~ (Ч)» (7.16) где а и т — количество разбиений в каждом направлении. На фиг. 7.6 показано несколько элементов этого бесконечного семейства.
Несмотря на то что такие элементы просто получить, применение их не всегда полезно не только вследствие введения большого числа внутренних узлов, но и из-за плохой аппроксимации кривых полиномами высоких порядков. Следует высокого порядка достаточно трудно, н требуется некоторая изобретательность. Своим названием это семейство обязано принцам Сирендипским, прославившимся своими неожиданными открытиями (Гораций Уолпол, 1754).
Для многих практических целей могут потребоваться 'элементы с различным числом степеней свободы в направлениях $ и ~). В частности, такие элементы могут использоваться, когда в каком-то определенном направлении напряжения изменяются по заданному закону, а в другом — произвольно (как, например, в балке), Некоторые функции формы таких элементов, а также элементов с различным числом степеней свободы на противоположных сторонах рассматриваются в работе ~2), но читатель может и сам испробовать свое мастерство для их построения. Фиг.
7.5. Типичная функция формы для элемента лагранжева семейства. У Фиг. 7,6. Три элемента лагранжева семейства. и-элемент первого порядка; б-элемент второго порядка; в — элемент третьего порядка. Глава У 126 отметить, что выражения для функций формы содержат члены высоких порядков, тогда как некоторые члены более низкого порядка в них отсутствуют. 7.5. Внутренние узловые точки и неузловые переменные На фиг. 7.4 и 7.6 элементы первого порядка одинаковы, а элементы второго порядка отличаются наличием центральной точки.
Функции формы для двух типов элементов второго порядка приведены на фиг, 7.7. Фиг. 7.7. Функции формы для элементов второго иорядка сирендипова и лагранжева семейств. Функции 4ормы элемента На границах элементов эти функции однозначно определяются значениями в граничных узлах, и, следовательно, на границах они совпадают (хотя внутри элементов и существуют различия). Дополнительная степень свободы элемента лагранжева семейства описывается дополнительной функцией, умноженной на некоторый параметр и 'равной нулю на границах. Этот параметр представляет собой значение функции ф в центральном узле, Ясно, что можно построить элемент семейства Сирендипа с таким же числом степеней свободы, вводя дополнительную функцию формы, обращающуюся на границах в нуль, и умножая ее на некоторый параметр элемента ф'. Все функции формы для элементов Лагранжа можно использовать и для элементов Сирендипа, но при этом множители не соответствуют никаким узловым значениям функции ф.
Множитель Ф' можно назвать неузловым параметром элемента. Минимизация функционала по такому параметру осуществляется так же, как и для внутреннего узла, но физический смысл таких величин, как узловые силы и т. д., теперь уже не ясен. При желании каждому элементу можно поставить в соответствие несколько пеузловых параметров. Этот прием обычно не имеет больших преимуществ, так как введение неузловых параметров не изменяет функцию формы на границах. До сих пор функции формы строились только в виде полиномов. Это имеет много преимуществ. В частности, в полином входят линейные члены, необходимые для выполнения требования постоянства производной, Однако при наличии дополнительных степеней свободы нет необходимости ограничиваться полиномами.
С таким же успехом в предыдущем примере можно было бы использовать, например, функцию соз — $ соз — т1, (7.17) тождественно равну|о нулю на границах. 7.6. Исключение внутренних переменных при составлении ансамбля. Подкоиструкции При использовании внутренних узлов и неузловых параметров обычным путем выводятся соотношения (см. гл. 2 и 3)'. —,",,), — — ИГ ®'+ Я'. Р.18) Поскольку каждую из функций Щ' можно разделить на две части, одна из которых Цф связана с соседними элементами, Фунщии 4ормы элемента. нию части конструкции и нахождению решения для этой части при заданных произвольных перемещениях на границах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
