Метод конечных элементов (1061787), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Далее в этой главе часто будем называть основной элемент в недеформированных локальных координатах первичным элементом. 8.3. Геометрическое соответствие элементов Хотя было показано, что при использовании функции формы для преобразования координат каждый первичный элемент единственным образом отображает некоторую часть реального объекта, важно, чтобы разбиение на новые криволинейные эле- 149 Криаолинейные иэопараметрические элеиенты менты не оставляло щелей -между ними. Возможность возникновения таких щелей показана на фиг. 8.6.
Теорема 1, Если два смежных криволинейных элемента образуются из первичных, 4ункиии формы которых удовлетворяют условиям непрерывности, то они будут соприкасаться по всей границе. Эта теорема очевидна, ибо однозначность любой функции р, вытекающая нз условия непрерывности, означает однозначность преобразования координат х, у, а. Так как координаты узлов одни и те же, непрерывность имеет место. Узлы новых искривленных элементов не обязательно располагать только в точках, для которых определены функции формы.
Внутри элемента или на его границах можно ввести дополнительные узлы. 8.4. Изменение неизвестной функции в криволинейных элементах. Условия непрерывности После построения элемента с помощью функций формы 1№1 для исследования его характеристик необходимо задать вид неизвестной функции ф. Удобнее всего использовать в криволинейных координатах обычное представление (8.3) где ®' — набор узловых значений. Теорема 2. Если функиии Формы ~М~, входяи1ие в (8 В), в первичных координатах удовлетворяют условиям непрерывности ф, то и в криволинейных элементах условия непрерывности будут выполняться.
Эта теорема доказывается так же, как и теорема предыдущего раздела. Узловые значения могут соответствовать узлам, используемым для задания геометрии элемента. Например, обозначенные кружочками на фиг. 8.7 точки используются для определения геометрии элемента. Для установления характера изменения неизвестной функции можно было использовать ее значение в точках, обозначенных квадратиками. На фиг, 8.7,а для задания геометрии и конечно-элементной аппроксимации используются одни и те же точки. Итак, если (8.4) т. е. функции формы, определяющие геометрию элемента и неизвестную функцию, одинаковы, то элемент называется изопараметрическим.
Фиг. В.б. Преобразование плоских (или параболических) элементов в трехмер- ном пространстве, Фиг. 8.6, Требование совместности при разбиении области, Фиг. 8.7. Различные типы элементов. О точка, е которой заданы координаты; а точки, в которых заданыпараметры Функции. а — изопараметрический элемент; б — суперпараметрнческнй элемент; в-субнараметриче ский элемент. Однако для определения ~ можно было бы использовать только четыре угловые точки (фиг. 8.7, б).
Такие элементы называются саперпараметрическими, так как для них изменение геометрии описывается более полно, чем изменение неизвестных. Аналогично если для определения ф вводится больше узлов, чем для задания геометрии, то элементы называются сдбпараметрическими (фиг. 8.7, в).
Такие элементы на практике используются чаще, чем суперпараметрические. Криеолинейнь~е изопараметричесние елементы 8.5. Удовлетворение критерию постоянства производной Выбор удовлетворяющих условию непрерывности функций, которые определяют геометрию элемента и закон изменения ф, достаточно широк, причем эти функции не обязательно должны быть одинаковыми. Однако критерий постоянства деформаций (гл.
2), или критерий постоянства производной (гл. 3), накладывает некоторое ограничение. Напомним, что для сходимости необходимо, чтобы в каждой точке элемента путем подбора соответствующих узловых значений ф можно было получить любое произвольное постоянное значение первых производных (это справедливо для функционалов, содержащих только производные первого порядка).- При этом соотношение ф — (%1(ф) Е И~ф =а1+ О2х+ азу+ О4г, где (8.5) (М=ЮЙ, Ч, ь)1, должно быть справедливо для любых постоянных а~ ~ и соответствующих значений ®'. В самом деле, в узловых точках должно выполняться равенство ф~ = а, + а2Х~ + О,у; + О4гь так что первое соотношение можно переписать в виде' ~Ж1 ® О1 з~ы Му + а~ ~~.~~ М1Х1 + ОЗ Х Мс91 + О~4 Х Л Ж О~ + Орх + Озд + О42.
(8.7) Оно всегда будет удовлетворяться, если (8.8) Из формул преобразования координат (соотношение (8.2Я следует, что ;т, Ш~х~ =х, (8.9) и, следовательно, справедлива следующая теорема: Теорема 3. осе изопараметрические элементы, для которых Е-= И; = 1~), удовлетворяют условию постоянства производной. Можно показать, что это условие является необходимым и что теорема справедлива для субпараметрического преобразования в случае, если 1У'~ можно представить в виде линейной комбинации 1Л"1, т.
е. если А~;=ХС„А~,. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.6. Вычисление матриц элемента (преобразование координат Фчй Для применения метода конечных элементов должны быть найдены матрицы, определяющие свойства элемента, такие, как жесткость и др. Эти матрицы будут иметь вид (8.11) где ~61 зависит от функций У или их производных по глобаль- ным координатам. В качестве примера рассмотрим матрицу жесткости ~~вт д ~а1д/ (8.12) и соответствующие векторы нагрузки ~„~~ ~т ~д дг (8.13) — О дну дх 0 дУ~ ду дУу джг ду дх [в,~- ') При определении напряжений зто условие просто означает, что пере« мещение тела как жесткого целого не должно вызывать никаких деформаций — требование менее ограничительное, чем условие постоянства производных.
Для некоторого класса задач теории упругости матрицы 1Щ были выписаны в явном виде 1см. равенства (4.10), (5.6) и , (6.11)1. Первое из них, равенство (4.10), относящееся к плоским задачам, дает Криволинейные изопараметричесние влементы дУ~ дх дМ~ ду дУ~ дх дх ду д$ ' д$ дх ду дч дп дх ду д~ д~ ам, д» дУ~ ду дУ~ дх дУ~ д$ дУ~ дч дМ~ д~ (8.16) Левая часть этого выражения легко вычисляется, так как функции У~ заданы в локальных координатах. Кроме того, поскольку координаты х, у, г связаны с криволинейными координатами [соотношение (8.2Ц, матрица Щ выражается через локальные координаты. Эта матрица называется матрицей Якоби.
Чтобы найти глобальные производные, обратим матрицу Щ и запишем Г дик 1 д» дЛ~~ ду дА'~ дх =Я (8.17) Здесь штрих, использованный в гл. 4 для обозначения функций формы, опущен, ибо теперь эти функции являются скалярными н относятся ко всем компонентам перемещения. Заметим, что такая форма записи носит достаточно оби~ий характер и справедлива для всех двумерных элементов, используемых при решении плоских задач теории упругости, независимо от числа узлов (или неузловых параметров) в элементе.
Это замечание относится ко всем рассматриваемым в книге задачам. Для вычисления матриц необходимо сделать два преобразования. Во-первых, поскольку Ф; заданы в локальных (криволинейных) координатах, необходимо каким-либо образом выразить глобальные производные, входящие в (8.14), через локальные производные. Во-вторых, элементарный объем (или поверхность), по которому должно проводиться интегрирование, нужно представить в локальных координатах и соответствующим образом изменить пределы интегрирования.
Рассмотрим„например, систему локальных координат $, Ч, ~ и соответствующую систему глобальных координат х, у,,з. Используя правило частного дифференцирования, можно записать„ например, производную по 5 в виде — ' — — — + — — +— дУ; дИ~- дх дУ~ ду дУ~ дг д$ дх д~ ду д$ дг д$ (8.15) Дифференцируя аналогично по остальным двум координатам и используя матричную форму записи,'получаем Глава В Выражая Щ через функции формы 1Ь"), определяющие преобразование координат (которые, как мы видели, только для изопараметрических элементов совпадают с функциями формы 1Л~~), получаем дУ,'. Е а~ "~ дУ,'. Х1 Д1 а1 (8.18) Х2 Д2 З2 Для преобразования переменных и области интегрирования применим стандартный прием, использующий определитель матрицы Щ. Так, например, элементарный объем преобразуется следующим образом: дх Ид дг = йе1 Щ с1$ дт) с1~. Преобразование такого типа справедливо при любом числе координат.
Доказательство читатель может найти в обычных учебниках по математике. Особенно хорошо изложен этот вопрос в книге Мурнагана 16) ') (см. также приложение 5). Если предположить, что матрица Щ имеет обратную, то определение характеристик элемента сводится к вычислению интегралов типа (8.11). Если криволинейные координаты являются нормализованными координатами, соответствующими прямой правильной призме, то интеграл (8.11) можно записать в виде 1 1 1 (65, т), ~)1с15сЬ) д~. 1) Определитель матрицы Якоби в литературе называется ~якобианом» и часто записывается в виде д(х, у, в) Ый=ди' '1).
дУ,'. ~ — х, дУ', дУ1 Х вЂ” ' У1 дУ2 д$ д~ дУ1 дУ2 дЛ', дУ2' д~ д~ дУ; дУ', дУ; Х вЂ”.-,' ° Криволинейные иэоиараметричесаие элемента Интегрирование производится по обввму именно такой, а не искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования записываются просто. Для одномерных и двумерных задач получаются интегралы соответственно по одной и двум переменным с простыми пределами интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
