Метод конечных элементов (1061787), страница 22
Текст из файла (страница 22)
8Л Весоные коэффициенты 2Ф'а точ- ки Порядок элемента Ошибка Х,-координаты Рисунок 0,225 Ь с д е 0,13239415 Пятый 0,12593918 а1 — — 0,05971587 Д1 — — 0,47014205 аэ = 0 79742899 8, = 0,!012855! Таблица 8.4 1 1 1 1 4' 4' 4' 4 Первый Р = О (Ьэ) Второй а = 0,58541020 !! = 0,13819660 1 1 1 3' 3'3 аи Р Р! !З,„а,, Ь !!о а а, Р2, 02 а, Ь р2> ~2з а2 Формулы яисленного интегрирования для тетраздра а,0,1,р 1,а,Р,р 8,р,а,р В, В, В. а 1 4 1 4 1 4 ! 4 .Продолжение табл. 8.4 Пространственные Х.-координаты Весовые коэффи- циенты Точ- ки Порндок элемента Ошиока Рисунок 1 1 4' 4' 1 1 3' б' 1 1 б' 3' 1 1 6* б' 1 1 6' 6' 1 1 4' 4 1 1 6' 6 1 1 б' б 1 1 3' 6 1 б' 3 5 9 20 9 20 9 20 9 20 Третий ЛИТЕРАТУРА 1.
Та1и 1. С., Б!гнс1пга! Апа1уз1з Ьу 1Ье Ма!г1к Р!зр1асетеп1 Ме!Ьод, Епи1. Е1ес1пс Лч1а(!оп Кер1. № БО17, 1961. 2. 1гопз В. М., Хшпег!са! 1п1ецтаВоп Лрр!1ег) 1о Г!п1!е Е1егпеп1 Ме!Ьог)в, Соп(, 1)ве о1 Р1н!1а1 Согпрп!егз !п Б!гпс1. Епд., 1)п!ч. о! Жеъсаз11е, 1966. 3. 1гопз В. М., Епа1пеег1пн Арр11са11оп о1 Ь!пгпег1са1 1п1енга!!оп (п БИ(пезв Ме!Ьог), ХАХА.4, 14, 2035 — 2037 (1966); есть русский перевод: Айронс, Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 4, № 11, стр.
213 — 216 (1966). 4. Соопв Б. Л., Бог!асев !ог Согпрп(ег ЛЫед Рез1рь о1 Брасе Гопп, М1Т Рго1ес1 МАС, МАС-ТК-41, 1967. 5. Гоггев1 А. К., Спгчев апд Бпг1асев 1ог Согпрп(ег АЫед Рев1р~, Согпр, АЫег! Рез!нп Огопр, СагпЬг!г1де, Епн1апс1, 1968. б. Мпгпаф~ап Г. Р., Г!п11е Ре1оггпа!!оп о1 ап Е!ав!!с Бо1Ы, %1!еу, 1951.
7. БсЫед Г., Ипгпепса! Апа1уз!в, БсЬашп Бепез, Мсбгаъ-Н111, 1968. 8, Кора! У., Ь1пгпег1са! Лпа1уз!в, 2пй ед., СЬаргпап апг! На11, 1961. ' 9. 1гопв В. М., шпаг)га!иге Кв1ев !ог Вг!с1с Вазег! Г!и!1е Е1егпеп!з, Хат. Х. Уит. Мей. Ещ., 3 (1971), 10. Кабан, Хойта. г(е, Мей., 3, 283 (1880). 11. Апг!егзоп К. О., 1гопз В, М., Х!епЫе~исз О.
С, ч'1ЬгаЦоп апг! Б(аЬ11!1у о! Р1а!ез 1'в!пи Г!п!!е Е1егпеп1з, Хат. Х. Яо1йЬ атис!., 4, 1031 — 1055 (1968), 12. Напппег Р. С., Маг1очче О. Р., Б!гош1 Л. Н., Ь1шпег1са! 1п1ейта!1оп Очег Б1гпр!ехев апг1 Сопев, Май. Таб1ея Лий Сотр., 1О, 130 — 137 (1956). 13. Ге11рра С, А., Ке(!пей Г!и!1е Е1епмп!' Лпа1ув!з о! 1!пеаг апс! а!оп-1.1пеаг Тъо Р1гпепв!опа1 Б!гпс1огев, Б!гпс!пгез Ма1епа1з КевеагсЬ Кер!. № 66-22, Ицч. о1 СаИоппа, ВегЫе1еу, Ос(, 1966. ГЛАВА 9 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВУМЕРНОГО И ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ 9.1. Введение Применение элементов высоких порядков, рассмотренных в двух предыдущих главах, требует некоторого обоснования.
Усложнение элементов приводит к дополнительным затратам машинного времени. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос экономичности их использования. На фиг. 9.1 представлены результаты расчета -консольной балки с помощью различных элементов. Сравнение результатов показывает, что при одном и том же числе степеней свободы. использование сложных элементов значительно повьииает точность. Однако их применение не обязательно сопровождается пропорциональным уменьшением времени решения, так как ширина ленты матрицы для сложных элементов увеличивается, тем не менее, вообще говоря, оно существенно сокращается. При использовании сложных элементов значительно сокращается время подготовки исходных данных.
В приведенном примере три сложных элемента заменяют соответственно шесть и восемнадцать простых треугольников, поэтому в итоге приходится иметь дело с меньшим количеством элементов Кроме того, если стороны элементов представляют собой прямые линии, координаты дополнительных узлов легко определить путем введения подпрограммы интерполирования. В результате значительно сокращается число задаваемых координат. Использование сложных элементов не будет иметь указанных преимуществ, если процесс разбиения области на элементы автоматизирован, однако программно осуществить это трудно. С другой стороны, значительное сокращение количества элементов может привести к ухудшению аппроксимации реаль.ной геометрии.
В таких случаях бывает лучше использовать простые элементы. По-видимому, самой серьезной проблемой при использовании сложных криволинейных элементов являются затраты машинного Глава 9 170 времени на численное интегрирование. Поэтому точность ин- тегрирования следует ограничивать, руководствуясь соображе- ниями экономии времени.
Вертикальная нагрузка в точке А Момент в АА' Тип элемента 0,22 0,19 0,22 0,67 0,52 0,55 1,00 1,00 Точное решение 1,00 1,00 1,00 1,00 Фиг 9.1. Расчет плоского напряженного состояния консоли с помощью различ- ных элементов. При увеличении'порядка элементов точность возрастает.
9.2. Требуемая точность численного интегрирования В предыдущей главе указывалось, что матрицы элемента могут быть составлены с использованием численного интегрирования методом Гаусса по и точкам. Объем, вычислений при та- максималь- ный прогиб в А А' максималь- ное напряжение в ВВ' максималь- ныа прогиб в АА' максималь- ное напряжение в ВВ' 171 Некоторые применения аэопараметричееких елелмнтое ком интегрировании по плоским областям пропорционален п2— числу точек, в которых должна быть определена подынтегральная функция, а в трехмерных задачах он пропорционален пз.
Поэтому весьма важно установить минимальное достаточное число гауссовых точек. В настоящей главе рассматриваются задачи теории упругости, требующие вычисления матрицы жесткости элемента. Сформулируем следующее утверждение: Если при решении задач теории упругости в перемеи1ениях методом конечных элементов точность численного интегрирования достаточна для того, чтобы ~очно вычислить объем элемента, то процесс сходится [1, 2~. Это утверждение легко доказывается.
В пределе при уменьшении размеров элемента функции формы дают постоянные значения деформаций и напряжений. Тогда выражения для <<узловых сил» принимают вид (9.1) Так как с1 К = Йе1 [.Ц 0$ й~ с1~ (9.2) и матрица [В) получена умножением первых производных от У; на матрицу [!1 — ', приходим к выводу, что точное интегрирование соотношения (9.2) обеспечивает точное вычисление интеграла (9.1).
Якобиан выражается через первые производные функции формы [см. выражение (8.18)1, поэтому всегда можно определить его порядок, а следовательно, и число гауссовых точек, необходимое для точного интегрирования [31. Например, для случая двумерного четырехугольного элемента второго порядка детерминант представляет собой квадратичное выражение, для интегрирования которого требуются как минимум две точки.
Случаю трехмерной призмы второго порядка соответствует кубичное выражение, для точного интегрирования которого тоже требуется по две точки в каждом направлении. Этот минимум точек, необходимых для сходимости, не всегда является оптимальным с точки зрения затрат машинного времени. Если для представления области используется небольшое число элементов, интегрирование можно производить с большей точностью, и, наоборот, при использовании большого количества элементов более экономичным может оказаться интегрирование с меньшей точностью.
Ясно, что вычислительные программы должны составляться так, чтобы можно было производить интегрирование с любым количеством точек. Этих точек должно быть не меньше,.чем это -1,0 -ов -06 О д гаусссйы тою~и х 4 зауссобы точки с~ Еыдсссбых пючек Фиг 9.2. Влияние порядка численного интегрирования на результаты раечета сферы, нагруженной внутренним давлением (элементы третьего и четвертого порядков). Сплошной линией показаны точные результаты. Некоторые применения ивопараметрических элементов необходимо для сходимости, 'но и не больше, чем требуется для численного интегрирования. На фиг. 9.2 в качестве примера иллюстрируется осесимметричная задача о сфере, нагруженной внутренним давлением.
При ее решении использовались элементы двух порядков и различное число точек интегрирования. Результаты не требуют комментариев. Последние работы показывают, что, применяя минимальное число точек интегрирования, в некоторых случаях можно существенно улучшить характеристики элемента. Это объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, задание формы перемещений всегда увеличивает жесткость (как показано в гл. 2), а снижение точности интегрирования уменьшает ее. Во-вторых, при малом числе точек интегрирования из рассмотрения исключаются области, в которых для обеспечения непрерывности между элементами на перемещения накладываются чрезмерные ограничения. К этому вопросу мы еще вернемся в гл.
14. 9.3. Преимущество применения численного интегрирования в методе конечных элементов 131 Существенным преимуществом применения в методе конечных элементов численного интегрировании является возможность составления универсальной вычислительной программы. Можно заметить, что для заданного класса задач матрицы всегда одннако- ро л~~~ во выражаются через Общее сооятфункцию формы и ее про- ношеное ооя изводные 1см., например, рооомотриоа- (8.14) 1, емои мотри- Для вычисления характеристик элемента необходимо, во-первых, за- ЛоРЯЯон Дать функцию ~юрли и ~~<~~иРК'~ион ее п оизводные, а во-втоее произ одные, Фиг.
9.3. Схема расчета ири числеииом иирых, устанОВить норядок тегрироиаиии по элементам. интегрирования. Таким образом, вычисление характеристик элемента состоит из трех различных частей, схематически показанных на фиг. 9.3. Чтобы использовать для заданного класса задач различные элементы, необходимо только изменить функции формы, и, наоборот, подпрограммы задания одной функиии формы могут применяться в различных классах задач.
Глава 9 Такая схема вычислений позволяет без труда использовать различные элементы для проверки эффективности новых элементов в исследуемой задаче или же применить программу для расчета новых задач без громоздких преобразований (с неизбежными ошибками). Вычислительная машина.при этом используется по назначению, т. е. для проведения расчетов по экономно составленной программе. Самым большим практическим преимуществом универсальных подпрограмм вычисления функции формы является возможность их проверки с помощью простой программы. Обычно достаточно проверить, правильно ли вычисляются узловые значения и производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
