Метод конечных элементов (1061787), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Функции формы На первый взгляд может показаться, что совершенно так же, как и в предыдущем разделе, в качестве функции формы можно использовать полипом. Поскольку в этом случае задается только девять независимых перемещений, в полиномиальном разложении необходимо оставить девять членов. Однако полный полипом третьей степени содержит десять членов 1выражение (10.13)1, и вопрос о том, какой именно член следует опустить, приходится решать произвольно.
Для сохранения некото« рой симметрии полинома можно, например, оставить все десять членов, а чтобы свести количество неизвестных к девяти, приравнять два коэффициента (например, положить ка — — и9). Было рассмотрено несколько различных вариантов. Однако при этом появляется другая, более серьезная проблема. При определен« иой ориентации сторон треугольника матрица, соответствующая матрице 1С~ системы уравнений (10.14), становится сингулярной. Это, например, происходит, когда две стороны треугольника.па- раллельны осям х и у, Иэгио пластин Указанные трудности можно обойти, если воспользоваться описанными в гл.
8 Х.-координатами. Для треугольников это вполне естественно. Как и раньше, будем использовать члены полиномиального представления. Отметим, что в А-координатах они имеют несколько иеобычный вид. Например; выражение аА+ АХ + ов~.з представляет собой полный линейный полином, а выражение 1 1 2+ 2 2 3+ 3 3 1+ 4 1+ э 2+ 6ХЗ содержит все шесть членов полного квадратичного полинома (включая линейные члены). Кубичный полипом содержит десять членов, представляющих собой различные произведения третьей степени по координатам Йь Хь |.ь Х|Хь Х2Хь Ы-» Х Аь Х2Хь И-1, ~-1ЬЙз.
3 3 4 2 2 2 $2 2 Для элемента с девятью степенями свободы можно использовать любую комбинацию из перечисленных членов, содержащую только девять независимых функций и удовлетворяющую критерию постоянства кривизны. На фиг, 10.6 показаны некоторые важные функции этого класса. Первая из них (фиг, 10,6„а) является одной из трех функций, описывающих перемещение пластины как жесткого тела. Функции типа А1Хз (в кубичном разложении их шесть) сходны (но не совпадают) с функцией, изображенной на фиг. 10.6, б.. Наконец, показанная на фиг.
10.6, в функция Ь1Ь~Лз является чисто внутренней-формой: во всех трех узлах значения функции и углов наклона равняются нулю. Такая функция оказывается полезной для «неузловых» параметров, но не может использоваться самостоятельно, так как она не выражается через значения переменных в узлах, Ее можно с любым множителем добавить к другой основной функции формы. Таким образом, особый интерес представляют функции второго рода.
Они соответствуют нулевым значениям и во всех угловых точках и, кроме того, нулевому значению угла наклона вдоль одной из сторон, С помощью линейной комбинации двух 2 2 из них (например, Е~йз и Е~Х,1) можно приписать любые значения углам наклона в направлениях х и и в одной узловой точке при нулевых значениях остальных углов наклона.
Однако для большей общности будем рассматривать формы типа Х.~Х + сЫ.2Х 202 Глава ЕО Е.~ЬаЬз Фиг. 1О.б. Некоторые основные полиномиальные относительно Ь-координат функции. (так как последнее слагаемое не изменяет углов наклона в узлах). Поскольку кривизна описывается только этими формами, необходимо, чтобы с помощью линейной комбинации шести таких функций можно было получить любые произвольные значения кривизны во всех точках элемента при нулевых значениях в в узлах. Алгебраически это означает, что выражение АА1Е-2 + АЙ-2И + ° ..
+ А6Е 3 при любых значениях коэффициентов А должно иметь вид 01~1,2Е1+ с1-11 2ЕВ) + В2(Ы-2 + с1.!12Ез) + . а * при соответствующих значениях шести постоянных В. С помощью некоторых алгебраических преобразований можно показать, что это возможно только при с = 'Л. Следовательно, прн Изгиб пластик (10.25) Й + Ы-2+ Е.Аз — ~.1~.2 — 1.1~.3 1 Ь1(1 К2+ д ~!Г2ЕВ) Ьс (~з 1+ д ~1~2~3) д, ~Ь!А, + — ЕХКв~ — д~ ~Езй1 + д 1.АЦд) р~,1т (10.26) Где Ь| У2 дз с! хэ Х2 и т д Остальные две функции для узлов 2 и 3 получаются циклической перестановкой индексов 1 — 2 — 3. Элемент, характеризуемый такими функциями, впервые был рассмотрен в работе 141. 10.6.2. Матрицы жесткости и нагрузки Для определения деформаций [равенство (10.2)1 и матрицы 18;1 из (10.6) необходимо определить вторую производную от ~Ж).
При этом появляется необходимость дифференцирования по декартовым координатам. Это нетрудно осуществить, имея в виду, что д М, д Ы, д д~, д дх дх дЕ, дх дд.2 + дх д~~ 1(ь, д+Ьдд +Ь3 д)итд (10.2у) В Е-координатах все выражения остаются полиномами, и поэтому их легко проинтегрировать с помощью общей формулы (7.34) гл. 7. Окончательные выражения для матриц жесткости и нагрузки довольно громоздкие; они приведены в работе 1191. построении функций формы функция, изображенная на фиг. 10.6, б, является одной из основных. Таким образом, перемещения пластины можно представить в виде ~ =~дА+ $~Я+Р~ в+ О,(Т~ + д "АЙ+ н после подстановки узловых значений Щ Ох~ д И О~~~ определить постоянные, а следовательно, и функции формы. Окончательно функцию формы, для первого узла с помощью определений, введенных в гл.
7, можно записать в виде Однако, как подчеркивалось в гл. 8, проще предусмотреть в программе численное интегрирование, Так как в матрицу иесткости входят только квадратичные члены, интегрирование по треугольнику будет точным при использовании всего лишь трех точек (см. табл. 8.3, гл. 8) и время численного интегрирования почти не отличается от времени расчета выраиений при точном интегрировании. В матрицу напряжений входят моменты, которые изменяются линейно. Однако, так как не все кубичные члены входят в функцию формы, они аппроксимируются плохо. Обычно моменты вычисляются только в центрах тяжести и результаты сглаживаются усреднением узловых значений.
10.7. Сходимость при использовании несогласованных элементов При использовании двух типов элементов, описанных в предыдущем разделе, нарушаются условия непрерывности угла наклона и, следовательно, удовлетворяется только приближенно принцип минимума полной потенциальной энергии. Однако в следующем разделе.
будут приведены некоторые результаты, демонстрирующие практическую точность результатов, полученных при использовании этих элементов, Может возникнуть вопрос, всегда ли при уменьшении размеров элемента .решение будет сходиться к точному7 Хотя этот вопрос чисто теоретический, он нуждается в ответе. Лля прямоугольных элементов Вальц и др, 1161, рассчитывая методом конечных элементов однородную пластину и сравнивая алгоритм с приближенным решением дифференциальных уравнений, установили, что сходимость гарантирована всегда.
Однако распространять эти выводы на другие случаи нет никаких оснований. Айронс 141 такие показал, что использование простого треугольного элемента позволяет получить решение, сходящееся к точному, если сетка элементов образована тремя системами эквидистантных параллельных линий. Использованный критерий проверки весьма прост. Если при помощи большого числа элементов можно точно воспроизвести любые состояния постоянной кривизны, то при предельном разбиении пластина ведет себя в соответствии с физическими законами для бесконечно малого элемента, В противнол~ случае сходимости не будет, Применение этого критерия показало, что если для получения треугольников используются две диагонали параллелограмма 1фиг.
10.7 (4 К 4В)1, то ошибка в перемещениях составляет около 1,5О1О. Таким образом, несогласованный треугольник позволяет получить решение, сходящееся не к точному, а к неко- Ими6 пластик торому другому, отличающемуся от него в пределах указанной ошибки. Аналогичный критерий был применен к несогласованному прямоугольному элементу, что позволило впервые доказать сходимость для такого элемента ~4$ В большинстве практических инженерных расчетов точность, достигаемая при использовании несогласованного треугольного элемента, оказывается вполне приемлемой.
Чаще всего такие 4х4 4 Нерееуларнал еетнл Фиг. 10.7. Квадратнан пластина. Разбиение на треугольные элементы. треугольники дают лучшие результаты, чем эквивалентные согласованные элементы ~4~. Это объясняется, по-видимому, тем, что решение в этом случае не обязательно удовлетворяет полученным в гл. 2 энергетическим ограничениям и большее число степеней свободы позволяет найти наилучшую форму. При построении несогласованных элементов требовались непрерывность прогиба в.во всех точках на границе между элементами и совпадение углов наклона в общих узлах. Это всегда приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ги.
Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то появляются интересные возможности. Например, можно показать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести степеней свободы которого приняты значения в в угловых узлах и значения нормальной производной да~~да в дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полипом. В результате получается простейиий возможный элемент для задач об изгибе с постоянными моментами и кривизной, эквивалентный треугольнику с постоянной деформацией. Такай элемент недавно был построен Морли ~29~. Он показал, что, несмотря на достаточно очевидное нарушение непрерывности, полученное при использовании этого элемента, решение сходится и сопоставимо по точности с решением, полученным при использовании рассмотренных здесь более сложных треугольников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
