Метод конечных элементов (1061787), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Проверка осуществляется по простым конечно-разностным формулам после вычисления по подпрограмме значений функций в двух близлежащих точках. Иногда используются и другие тесты. Самый интересный из них связан с вычислением собственных значений, но использование его неэкономично [41. Включение в систему простых точно интегрируемых элементов не должно вызывать опасения, так как время точного и время численного интегрирования при этом почти одинаковы. 9.4. Некоторые практические примеры решения двумерных задач [5 †1 Возможности использования криволинейных элементов для исследования двумерного напряженного состояния иллюстрируются примерами решения осесимметричных задач.
Вращающийся диск (фиг. 9.4). В этом случае для получения решения с достаточной степенью точности необходимо всего восемнадцать элементов. Интересно заметить, что координаты узлов на сторонах элементов третьего порядка задавать не требуется, так как их вычисление предусмотрено программой. Конический резервуар (фиг. 9.5). Для решения этой задачи используются элементы третьего порядка. Следует отметить, что для описания влияния изгиба как в тонкой, так и в толстой частях резервуара достаточно только одного элемента по толщине стенки, Для получения приемлемого решения при использовании простых треугольных элементов, как мы видели, требовалось несколько слоев элементов. Полусферический купол (фиг.
9;6), Это еще один пример исследования оболочек, который показывает, как с помощью программы расчета конического резервуара при малом числе элементов можно получить решение задачи для тонкой оболочки. Применяя хорошо известную в теории оболочек гипотезу 5,39 Фиг. 9.4. Расчет вращающегося диска при испольэовании элементов третьего порядка 118 элементов, 119 узлов, 238 степеней свободы). Плотность 7,85г/сы~; и — !,57' 10~ Н7м~; ~=О,З; 22500 об7мнн, Фиг. 9.5. Конический резервуар, 176 20 15 А/г иьяенлетса ол7 $ до20 Фнг.
9.6. Тонкая полусферическая оболочка. Решение с использованием 15 и 24 элементов третьего порядка. о линейности перемещений по толщине, можно уменьшить число степеней свободы и сделать программу более экономичной Методы такого рода подробно рассматриваются в гл. 14. 9.5. Исследование трехмерного напряженного состояния При решении трехмерных задач, как указывалось в гл. 6, использование сложных элементов позволяет значительно сэкономить время, В этом разделе приведены типичные примеры, в которых используются элементы второго порядка сирендипова типа.
Во всех задачах численное интегрирование в каждом направлении производится по трем гауссовым точкам. Вращающаяся сфера (фиг. 9.7) 161. Этот пример, в котором сравниваются рассчитанные и точные значения напряжений, вызванных центробежнои силой, позволяет оценить эффективность сильно искривленных элементов. Полученные при исполь- СО ОЪ СО | е| сз Ф4 % С'4 й С)" СО О, 3,СЭ С \ '4„(. | С| С' СО Я' СО о о О~ о СО а" о", Ж С;> ф СО Р3 С~ СО СО |О Е С4 ~ч С| СО СО л" С'4 Ф„С,~ ~~ СО ОО г| Я Л Я -' — ИО Ж СО СЧ ~> ~- 3 Сц ОС $ |С,ОС„ К Ъ~ОС| |~С|~ С || О ~~О, Ж " 11 Эф о Д( Ж АССР |С || О|, ОСг О, М Й Фнг. 9,8.
Арочная плотина на жестком грунте. Различные разбиения на элементы. Фнг. 9,9. Арочная плотина на жестком грунте. Перемещения центральной ЛИНИИ. О 32 элементе;,с, 9 Элемснтов (А); ° 9 элементов (ВИ (:( 1 элемент (96 степеней свободы~. Йеноторые применения ивопараметричеекит элементов зовании семи элементов результаты хорошо совпадают с точным решением.
Арочная плотина на жестком грунте. Эта задача, возможно, несколько нереальная с инженерной точки зрения, исследовалась комитетом института гражданского строительства и явилась хорошей проверкой сходимости решения трехмерных задач. На фиг. 9.8 показаны два варианта разбиения плотины на элементы второго порядка и два — на элементы третьего порядка. Фиг. 9.9 иллюстрирует сходимость перемещений в среднем сечении. Видно, что даже в случае одного элемента достигается вполне приемлемая точность.
-744 Я~8-ЛДЮб О 4д д4Х МЕ 744 М/ и/меЮ Сжшпие * раетявюенйв Фнг. 9ЛО. Арочная плотина на жестком грунте. Напряжения в вертикальном направлении на центральной линии. О 32 злемекта;,К 9 злемектов (А); Х 9 злемектов (В); П 1 злемект (96 стекекей свободы). Сравнение напряжений (фиг. 9.1О) также дает удовлетворительные результатй„хотя при разбиении на крупные элементы заметна значительная «осцилляция» результатов. Решение, полученное при самом мелком разбиении, можно считать «точным», так как оно совпадает с результатами модельного эксперимента и с результатами, полученными другими методами 191. Приведенные тестовые задачи иллюстрируют универсальность и точность метода.
Два следующих примера "типичны для практических приложений. Сосуд высокого давления (фиг. 9.11). Арочная плотина и ее основание (фиг. 9.12а). Оба показанных разбиения дают достаточную для практики точность. Первый из этих примеров, в некоторой степени подобный рассмотренному в гл. 6 (фиг. 6.7), демонстрирует возможность значительного уменьшения степеней свободы при использовании сложных элементов.
На фиг. 9.12б изображена в изометрии арочная плотина, раз- битая на конечные элементы. Чертеж сделан непосредственно Глава 9 10 11 1а Фнг 9.11. Трехмерная задача о сосуде высокого давления (96 злементов, 707 узлов, 2121 степень свободы). по данным координатного самописца. Такие схемы полезны не только с точки зрения наглядности изображения. Они помогают проверить правильность исходных данных, так как позволяют без труда обнаружить любую грубую ошибку в геометрии.
Проверка «связанностиъ всех заданных точек также осуществляется автоматически. Некоторые применения изопараметрических елементов 181 Вследствие больших затрат машинного времени при решении сложных трехмерных задач очень важно своевременно исключить ошибки в исходных данных. Поэтому этот и некоторые другие методы проверки [101 должны составлять неотъемлемую часть любой программы. Фнг, 9,12а. Расчет.
арочной плотины с основанием. 9.6. Некоторые общие замечания об элементах высокого порядка Чем выше порядок элемента, тем труднее становится физическая интерпретация. Это не столь уж существенно, если в результате получается лучшая аппроксимация, однако в практических приложениях могут возникать дополнительные трудности. Например, при использовании элементов высокого порядка было бы неправильно локализовать распределенные нагрузки, основываясь на интуиции.
В гл. 4 было показано, что в треугольном элементе нагрузка, вызванная силой тяжести, локализуется в виде трех равных узловых усилий (подразд. 4.2,7). Этот результат совпадает с тем„что мы называем очевидным. Соответствующая локализация для двумерных элементов сирендипова типа (фиг. 7.4, гл.7) приводит к распределению нагрузки по узлам, показанному на Фиг, 9ЛЗ. Только для первого, простейшего из этого семейства 3 м д Р Р~ щ о о ж Ф о И б Ф~ ж Ф Ф О Е 183 Некоторые применения изопараметрииееких элементов элемента результат соответствует здравому смыслу. Во всех остальных случаях в угловых точках получается отрицательная нагрузка — факт совсем пе очевидный.
7 х Ф 4 х Ь вЂ” х Если элементы к тому же искривлены, то нагрузка распределяется еще более сложным образом и в этом случае нужна особая осторожность. Здесь инженер может сказать, что с физической точки зрения в пределе результат должен быть таким же, как и при распределении нагрузки по узлам поровну. Конечно, это должно быть именно так, но при разбиении на конечные элемеить~ такое противоестественное, но согласующееся с теорией распределение нагрузки гарантирует ббльшую точность, Фиг. 9.13. Распределение равномерной массовой силн по узлам. Семейство прямоугольных элементов.
Показаны доли общего веса. Ь' !6 х Фиг. 9.! 4. Распределение . по узлам равномерной поверхностной нагрузки, действующей на границе двумерных н трехмерных элементов. Как следует из фиг. 9.14, распределение поверхностной нагрузки также нельзя предсказать. Следует иметь в виду, что все эти рассуждения относятся и к представлениям сил между элементами обычными инженерными способами. И наоборот, в областях, близких к месту приложения сосредоточенных нагрузок, распределение напряжений описывается неверно, и в окрестности таких нагрузок иногда можно получить несколько неожиданные значения напряжений. Это вовсе не Фпг. 9.15. Аномалии, которые могут появляться в окрестности точки прило- жения сосредоточенной нагрузки при использовании сложных элементов.
— — — элемент с постоянной деформацией; — — — элемент с линейно изменяющейся деФормацией. говорит об уменьшении точности, а указывает на то, что усреднение по элементу позволяет лучше представить действительную картину напряжений. На фиг. 9.15 проводится качественное сравнение напряжений вблизи такой особой точки, определенных при постоянных деформациях и линейном законе изменения деформаций в элементах, Попытка улучшить аппроксимацию напряжений с помощью использования более сложных элементов иногда дает возможность получить более точное значение напряжения в особой точке. Однако при этом вблизи такой точки может произойти противоестественная смена знака напряжения, чего не бывает при использовании простых элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
