Метод конечных элементов (1061787), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Матрица (Й')' представляет полную жесткость выделенной части, а (г')' — эквивалентную систему узловых сил. Если разбиение на треугольные. элементы, показанное на фиг. 7.8, интерпретировать как совокупность шарнирно соединенных стержней, читатель без труда узнает хорошо известный прием выделения подконструкций, часто используемый в строительной механике. Такая подконструкция, по существу, представляет собой сложный элемент, внутренние степени свободы которого исключены.
Описанный прием позволяет строить сложные элементы, которые обеспечивают получение более точного решения. На фиг. 7.8,п изображена разделенная на треугольные элементы часть сплошной среды. Подконструкцней в этом случае является один ~нг 7 9. Четыре~уголвни" составленный из четырех сложный элемент с несколькими гра- простых треугольников.
ничными узлами (фиг. 7.8, б). Единственное отличие таких элементов от элементов, построенных в предыдущем разделе, состоит в том, что неизвестная функция Ф аппроксимируется не гладкими функциями формы, а набором кусочно-гладких функций. Это, по-видимому, приводит к несколько худшей аппроксимации, но зато может позволить сократить общее время расчета всей конструкции. Выделение подконструкции удобно при решении сложных задач, особенно если рассматриваемая область составлена из повторяющихся элементов. Результаты решения простейших задач методом конечных элементов показывают, что использование сложных элементов, составленных из треугольников (или тетраэдров), приводит к лучшим результатам, чем применение .простых треугольных элементов.
Например, использование четырехугольника, составленного из четырех треугольников, с исключенной центральной точкой (фиг. 7.9) выгоднее использования простых треугольников. Этот и другие виды составленных из треугольников элементов подробно рассмотрены Уилсоном (8$ 7.7. Семейство треугольных элементов В предыдущих главах в достаточной мере продемонстрированы преимущества произвольного треугольника при аппроксимации любой формы контура. Превосходство его перед 5 Зак. 6И прямоугольником очевидно и не нуждается в дальнейшем обсждении.
ем о су- 4 1 2 Фнг, 7,10. Семейетно треугольных элементов. а-элемент первого порядка; б — элемент второго порядка э — элемент т"етв 1 т его порядка Рассмотрим ряд треугольников, изображенных на фиг. 7.1О. Число узлов в каждом элементе этого семейства таково, что Е =О позволяет построить полный полином порядка, необходимого ~а' у ~ для обеспечения совместности / между элементами. Это харак- ~ =Оо ~/ терное свои ство ставит семейЕ =076 ~ 1 э ство треугольников в привилегированное положение, так как ~, ~ а) обращение матрицы [С) всегда будет существовать Я (см. ~7,3)~. Однако, как и ранее, пред- 2 ~ почтительнее прямой путь полу- ~ у ~ чения функций формы, и, как Фнг, 7,11.
Е-коордннаты. будет показано, он достаточно прост. Удобно ввести для т е гг р у.ольника специальную систему нор- мализованных координат. Фунниии Формы элемента 7.7.1. 1=координаты ') При рассмотрении прямоугольных. элементов выбор декартовой системы координат с осями, параллельными сторонам прямоугольника, был естественным.
Однако для треугольника такая система неудобна. Для треугольника с узлами 1, 2, 3 (фиг. 7.11) удобно ввести систему координат ~ь Ез и Ез, связанную с декартовой следующими линейными соотношениями: х = Е1Х~ + Езхз + 1,зХз, у = т'1у1 + ьзуз + ~-зузь (7.23) 1 = Е, + 1.з + Цз. плищадь Р23 площадь 123 Разрешая соотношения (7.23), получаем и, + Ьр+е,у $~1 2Ь Ф ~~~ + Ь х + а,д 3= 2Ь (7.25) аз+ озХ+ ези 1 1 хз уз 1 Хз Уз Ь = — йе1 1 2 (7.26) = площадь 123 %1 — хзУз — х. Уъ 1з~ — Уз — Уз1 с1 = хз — хз. - Отметим, что эти выражения тождественны полученным в гл.
4 1соотношения (4.56), (4.5в)1. ') В оригинале Агеа соогйпа1ез, т. е. координаты, связанные с площадью. — Прим. реА Каждой совокупности координат Еь Ез, Хз (которые не являются независимыми и связаны между собой третьим соотношением) соответствует единственная пара декартовых координат. Узел 1 имеет координаты 1.1 — — 1, Аз — — Ез = О и т.
д. Линейная связь между новыми и декартовыми координатами означает, что линии Е1 — — сопз1 представляют собой прямые, параллельные стороне 2 — 3, на которой 1.1 —— О. Легко видеть, что координату Е, точки Р можно определить как отношение площади заштрихованного треугольника к площади всего треугольника: Глава 7 7,7.2, Функции формы Для первого элемента семейства, изображенного на фиг. 7.10, а, функции формы — просто Е-координаты. Таким образом, У1 ~!» ~2 12ь Жз ~зь (7.27) поскольку каждая из этих координат равна единице в одном узле и нулю — в остальных узлах и изменяется линейно.
Для построения функций формы остальных элементов можно получить простое рекуррентное соотношение [21. Предполо! и' пораЬ~ ~я+~/-и поряввк Фнг. 7.12. Рекуррентное правило построения функций форыы для треуголь- ников, жим, что функции формы для треугольника и-го порядка известны, Построим функции формы для треугольника (и + 1) -го порядка.
На фиг. 7.12 показаны два таких треугольника с равноотстоящими друг от друга узлами. Для типичного узла 1 известная функция формы гг-го порядка (7.28) выражается через Х.-координаты треугольника 123. Эта функция формы может быль выражена через Е-координаты большего треугольника 12'3' после установления связи между координатами.
Она будет принимать единичное значение в точке 1 и нулевое во всех остальных узлах нового треугольника, кроме узлов, расположенных на основании 2"3' треугольника. Легко показать, что Л~а+1 ~ и+1 а (7.29) будет искомой функцией формы, если с — масштабный множитель, обеспечивающий единичное значение в точке 1 при равенстве Е~ нулю на основании большего треугольника.
Масштаб- Функции 4ормы элемента ный множитель задается соотношением и+1 с=— 1 (7.30) где 1 — число слоев, для которых номера узлов меньше 1', Функ- ции формы для узлов, расположенных на основании треуголь- ника, могут быть получены простой перестановкой индексов. Связь между этими двумя координатами ясна из фиг.
7.12, откуда видно, что а площадь Р13 р+1 площадь Р13 площадь 123 ' площадь 12'3* ' Следовательно, площадь Р13 площадь 12 3' т. а+1 площадь Р13* площадь 123 Аналогично ~3= Лз а+ 1 и+1 И (7.31б) и, учитывая, что Е, + 1~+ Х.,=1, получаем Л1 = — ((и+ 1) Е.1'+ — 1~. Треугольник второго -порядка (фиг. 7.10, б).
Для угловых узлов у1 =(2Х,1 — 1) Ь1 и т. д., для узлов на сторонах У4=4Ь,А2 и т. Д. (7.32) Треугольник третьего прядка (фиг, 7.10, в). Для угловых узлов Л 1 =,1 (3~ 1 — 1) (ЗЛ1 — 2) Е3 и т. д., для узлов на сторонах 9 ~1~4 2 1 1~'а (3 1'1 1) и т. д. р Читатель может легко проверить, что приведенные ниже функции являются функциями формы для элементов второго и третьего порядков, и получить аналогичные функции для элементов более высоких порядков, и, наконец, для внутреннего узла (~'10 = ~7~ А2~-3 Последняя функция обращается в нуль на границе.
В гл. 10 она используется в другом смысле. Треугольник второго порядка впервые был построен Вебеке [9~ и применен Лргирисом 1101 для исследования плоского напряженного состояния. При получении матриц элемента возникает проблема интегрирования по площади треугольника величин, зависящих от Х.-координат.
Поэтому полезно иметь в виду следующее соотношение: ~ ~(.~ййдхНд= + „~, 2Л. (7.34) одноии нш ки(минты 7.8. Линейные элементы До сих пор рассматривались только двумерные и трехмерные задачи. Для одномерных задач метод конечных элементов не применялся, поскольку для них, как правило, можно получить точное решение. Однако во многих встречающихся на практике случаях могут потребоваться и такие элементы, поэтому желательно рассмотреть их с тех же позиций, что и остальные. При решении задач упругости одномерными элементами можно аппроксимировать армирующие волокна (в двумерных и трехмерных задачах) или тонкие листовые обшивки в осесимметричных и трехмерных телах. При исследовании задач теории поля, типа рассматриваемых в гл.
15, они могут аппроксимировать вдне(((ент рвснодожен дренаж в пористой среде меньшей провоный между двумя димости. дву(,"(ерными эдемен- Если для элемента такого типа выбрана функция формы, то можно определить его характеристики, причем такие величины, как деформация и т. д., должны рассматриваться только в одном направлении. На фиг. 7.13 показан такой элемент, расположенный между двумя соседними элементами третьего порядка.
Ясно, что для выполнения условий совместности необходимо, чтобы функция формы была полиномом третьего порядка относительно единственной переменной ~. Такими функциями формы являются полиномы Лагранжа, определяемые формулой (7.15), Функции фориь~ элемента ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 7.9. Прямоугольные призмы. Сирендипово семейство ~11.
121 По аналогии с предыдущими разделами можно построить трехмерные элементы с дополнительными узлами. Однако тедерь описанные ранее простые правила обеспечения непрерывности между элементами нужно изменить. Необходимо, чтобы изменение функции формы на грани элемента единственным образом определялось узловыми значениями. Для некоторых полиномов это можно обеспечить только подбором. Семейство элементов, показанное на фиг. 7.14, эквивалентно семейству, изображенному на фиг.
7А. Используя трехмерные Фиг. 7.14. Правильиые призмы с узлами иа границе (сиреидипово семейство) и соответствующие плоские и линейные злемеиты, Глава У нормализованные координаты и следуя терминологии разд, 7.3, получим следующие функции формы: Элемент первого порядка (8 узлов): У, = — (1+ $о) (1+ т1о) (1+ ~о). (7.35) Элемент второго порядка (20 узлов): угловые узлы % — 8 (1+ ВО)(1+ Чо) (1+ ~0) Йо+ Чо+ Со — 2)> (7 36) типичный узел на ребре 5~=0, г1,= +. 1, ~~=-Ь1, 4 ( ~ ) ( + т)о) ( + ~о)' Элемент третьего порядка (32 узла): угловой узел У; = — (1+% )(1+Ч )(1+ Ы19(Р+ Ч'+Р) — 191; (7.37) типичный узел на ребре 1 Ь-=1= —,, Ч,==1=1, ~,==Ь1, Ж= ~ (1 — О(1+Но)(1+т1о)(1+~о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
