Метод конечных элементов (1061787), страница 19
Текст из файла (страница 19)
9 При ~ = 1 = ~о приведенные выражения сводятся к (7.12)— (7.14). Такие трехмерные элементы могут соединяться с пло- скими или одномерными элементами соответствующего типа, как показано на фиг. 7.14. 7,10. Прямоугольные призмы.
Лагранжево семейство Функция формы для элементов показанного на фиг. 7.15. типа может быть построена в виде полинома Лагранжа. Обоб- щая обозначения, использованные в (7,16), запишем %и = ~ "й) ~7(ч) ~ ~ (О. (7.38) Элемент такого типа предложен Зргатудисом 16) и подробно изучен Аргирисом 171. Все замечания относительно внутренних узлов и пределов применимости, сделанные в разд. 7.4, спра- ведливы и здесь, 7.11. Тетраэдральные элементы Не удивительно, что семейство тетраэдров, показанное на фиг. 7.16, обладает свойствами, сходными со свойствами семейства треугольников. Во-первых, снова на каждом этапе используются полные полиномы от трех координат.
Во-вторых, поскольку грани раз- Фиг. 7.15. Правильная призма из лагранжева семейства. Фиг. 7.16. Семейство тетраэдров. а — элевент первого порядка; 6 †элеме второго порядка; в †элеме третьегО порядка~ 138 деляются, как и соответствующие треугольники, то в плоскости грани получается полипом одинакового порядка по двум коор- динатам и, таким образом, совместность элементов обеспечи- вается. (7.39) 2 Фиг.
7.17. Пространственные Е-координаты. точки Р представляют собой отношения объемов тетраэдров с вершиной в этой точке к объему всего тетраэдра (см,, например, фиг. 7.17): Объем Р23:1 объем 1234 (7.40) ') В оригинале Чо1нн1е соогйоа1ея, т. е. координаты, свяааннне с объемом.— 77рцм. рад. 7,11.1.
Пространственные 1 -координаты ') Введем специальные координаты (фиг. 7.17) с помощью соотношений ~-1% + ~-2-т2 + '~ 3~3 + ~ 4х4* Д = 1 1У~ +.1~В2 + Е3Д3 + Е4Д4, а = ~ ~ а ~ + ~-За3 + ~-заз + ~-4'4 + ~3+ ~3 + ~Ч. Разрешая эти соотношения относительно Е;, получаем выражения типа (7.25) и (7.26), коэффициенты которых определяются соотношениями, тождественными (6.5). Координаты 4 Фуй~~~й форм~ ~~~м0~~й 7Л12. ФункИия Формы Поскольку пространственные Е-координаты связаны с декартовыми линейно и принимают значения от единицы в какой- либо вершине до нуля на противоположной грани, то функции формы элемента первого порядка (фиг. 7.16) имеют вид У1=11, Уя=Е2 и т д (7А1) Выражения для функций формы тетраэдров более высоких порядков получаются, как и для треугольников, с помощью соответствующего рекуррентного соотноп1ения.
Оставляя его получение в качестве упражнения, приведем ряд примеров. Тетраэдр второго поряка (фиг. 7Л6, 6): для угловых узлов У1=(2Е1 — 1)Л1 и т. д., для узлов на ребрах Л~5=4~А2 и т д. Тетраэдр третьего порядка: для угловых узлов У1 = Х (371 — 1) (зь1 — 2) Ь1 и т д, 1 для узлов на ребрах 9 У5= ~ Л,У-~(ЗЬ, — 1) и т. д., для узлов на гранях У,8=271;1.~1 и т. д. Приведем формулу интегрирования 7.12.
Некоторые другие простые трехмерные элементы Ясно, что возможности построения элементов простых форм в трехмерном случае гораздо шире, чем в двумерном. Например, ряд элементов можно построить, исходя из трехгранной призмы (фиг. 7.18). При этом опять можно использовать лаграижев и сирендипов подходы. Первые элементы обоих семейств одинаковы, и функции формы для них столь очевидны, что приводить их здесь нет необходимосги. !! р~ Х Ф~ ~) Ю, о д„й и о О ь Й Ф д~ .$" Ю у, $ Х О Ф ~ Ф О Ф Ф д о а ~ ~ о в~ В СЪ в о б) О~ ~й Ю $ й э~ Я Ф й Ф ц> Ю О 3~ С;ц ~ о Ф а», о~ Ф ц а СО Ф й Ф 141 Функции формы элемента Для элемента второго порядка, изображенного на фиг.7.18, б, функции формы имеют вид: для угловых узлов (Ь, =5, =1) Ф! = — ~! РЕ1 — 1Н1+0 — 2 ~! (1 — О, Р.45) 1 1 для узлов на сторонах треугольников и!0=2Е!йг!1+(,) и т.
д., для узлов. на сторонах прямоугольников У„=Е,(1 — ~з) и т. д. Сами такие элементы используются мало, но иногда находят практическое применение как составляющие сложного элемента в виде параллелепипеда с двадцатью узлами. 7.13. Заключительные замечания В настоящей главе было описано множество различных типов элементов, причем возможности построения элементовэтим не исчерпываются 14, 121, Что же можно сказать о применении сложных элементов? За исключением треугольников и тетраэдров, все остальные рассмотренные элементы применяются только в тех случаях, когда исследуемая область может быть представлена в виде некоторой совокупности правильных призм.
Это очень сильное ограничение, и построение функций формы для таких элементов было бы практически бесполезным; если бы не существовало возможности деформирования элементов в соответствии с границами области. Методы деформирования в настоящее время существуют, и они будут описаны в следующей главе.
ЛИТЕРАТУРА 1. Раппе Р. С., Согпр!е!е Ро1упопп(а! О!вр1асегпеп! Яе1дз-!ог Р!и!!е Е1егпеп! МеПодв, Тгинв. Яоу. Аего. Бос., 72, 245 (1968). 2. !гопя В, М., Егьа!опг(!в Х. б., Беппаев'!св О. С., Сопппеп! оп ге!. 1, Тгапя. !!оу. Аего. Кос., 72, 709 — 711 (1968) 3. Егьа!опйв Я. 0„!гопв В. М., 2!епЫе~лса О. С, Спгтег(, !яорагагпе!г!с, Яраг(г!1а!ега! Е1егпеп!я !ог Г!п1!е Е1апеп! Апа!ув!в, !н!. Х.
Вой(я 8(гис!., 4, 31 — 42 (1968). 4. Х!епИеа!св О. С, е! а1., !ворагагпе!г!с апс! Аввос1а!е Е1етеп!я Рапп!!ев !ог Тжо апг! ТЬгее О!гпепв!опа! Апа1уя!в, СЬ. 13, !и; Г!и!1е Е)е~пеп! Ме!пода !и 8!гевя Апа1ув!я, Но1апд 1., Ве!1 К. ег(в., Тесйп. !.!пгг. о! Ногаеву, Тар!г Ргеяя, Ногаеву, Тгогийепп, 1969. 5.
Бсо!! Г., А шпаг!!с, Т~чо Игпепв!опа1 1яорагагпе!г!с Е1егпеп(, !!пйе8тадпа!е Рго!ес(, Спи. о! ~Ча!ез, Бвапвеа, 1968. 6, Егьа!опав Л. О„Япайг!1а!ега! Е1егпеп!я 1п Р1апе Апа1ув!я: 1и!гог(ас!!оп !о $о1Ы Апа1уя!я, М. Бс. ТЬея!в, 1.!пп. о! Жа1ея, Б~чапвеа, 1966. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8 1. Введение В предыдущей главе было показано, как можно построить некоторые семейства элементов. Каждый новый элемент этого семейства характеризуется увеличением числа узлов и повышением точности; число таких элементов, необходимых для получения достаточно точного решения, по-видимому, будет быстро уменьшаться. На практике часто приходится рассматривать тела гораздо более сложной формы, чем в академических задачах, поэтому для аппроксимации тела относительно сложной формы небольшим числом элементов нельзя довольствоваться только простыми прямоугольниками и треугольниками, В этой главе рассматривается вопрос преобразования этих простых элементов в элементы произвольной формы, На фиг, 8.1 и 8.2 изображены одномерные, двумерные и трехмерные элементы и соответствующие криволинейные элементы.
Здесь показано, что координаты 5, т~, ~ или Х.ь 1, 4 Ь4 могут быть преобразованы в новые криволинейные координаты. Двумерные элементы можно деформировать не только вдвумерные, но и в трехмерные элементы, как показано на фиг. 8.2. При деформировании должно иметь место взаимно о~1нозначное соответствие между декартовыми и криволинейными координатами, т.
е. должны существовать соотношения типа ~2 или з Ь4 (8.1) Если связь между координатами известна, то, построив функции формы в локальной системе координат, после соответствующих преобразований можно определить характеристики элементов. Однако необходимо исследовать, удовлетворяют ли функции формы критериям сходимости. Можно показать,.
что при определенном виде преобразований координат эти критерии вь1- полняются. Ф о К М й, о о 6$ Ф О Ф Фе о Ф Ф'Ь ч Ъ |~ ФЬ ф ~> ! 146 8.2. Использование функций формы для установления связи между координатами Наиболее удобно для установления связи между координатами использовать функции формы, введенные ранее для аппроксимации неизвестной функции. Если записать, например, Х=ЖЬ +ЯХ2+ 1И 1 У1 у=У,у,+ж,у,+ - . =1й1 г = УЬ~ + Жра2+ ... =1й'1 где ~Ж1 — функции формы в локальных координатах, то сразу же получим искомое соотношение.
Точки с координатами хьуь а~ и т. д. совпадают с соответствующими точками границы элемента ~так как по определению функции формы равны единице в рассматриваемой точке и нулю в остальных). Каждой совокупности локальных координат будет соответствовать одна и, как правило, только одна совокупность глобальных декартовых координат. Однако далее мы увидим, что иногда при значительном деформировании взаимно однозначное соответствие может нарушиться.
Идея использования функций формы для введения криволинейных координат впервые упоминается Тайгом ~Ц. Он применил ее при деформировании прямоугольника в произвольный четырехугольник. Айронс ~2, 3~ обобщил эту идею на другие элементы, Разрабатывая методы получения кривых поверхностей для нужд техники, к аналогичным соотношениям совершенно независимо пришел Кун ~4, 5~. В настоящее..время вопросы теории метода конечных элементов и исследования поверхностей становятся взаимосвязанными. На фиг. 8.3 изображены деформированные элементы, полу- ченные цз элементов второго и третьего порядков сирендипова Криволинейные изояараметрические элеаеитет Фиг, 8.3.
Построенные ЭВМ криволинейные координатные линии для элементов второго и третьего порядков (небольшое искривление). семейства. Очевидно, что между локальными ($, т1) и глобальными (х, у) координатами существует взаимно однозначное соответствие. Если искривление элемента в некоторых точках 'велико, то может появиться неоднозначность, как, например, в двух случаях, показанных на фиг. 8А. Здесь некоторые внутренние точки отображаются за пределы криволинейного элемента. Кроме того, существуют внутренние точки, которым Глава 8 148 Фиг. 8.4.
Чрезмерное искривление элемента, приводяШее к неоднозначности преобразования и «перегибу», Даны элементы второго и третьего порядков. соответствуют разные локальные координаты. На практике следует избегать такого сильного искривления. На фиг. 8.5 приведены два примера искривления двумерного ($, т~) элемента в трехмерном пространстве (х, д, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
