Метод конечных элементов (1061787), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Некоторые детали метода описаны в гл. 13. Б работе (51 можно найти полное его изложение. ЛИТЕРАТУРА 1. С1оциЬ К. %., СЬ. 7 !и: Ягевв Апа1ув!з, Лепи!еысх О. С., Но1!з(ег й. $., едв., Ъ'!1еу, 1965. 2. С!опии К. %., КазЬЫ г'., Г!и!1е Е1егпеп1 Апа1ув1в о1 Ах1-Буп1гпе!г!с Бо1Ыв, Ргос. АЯСЕ, 91, ЕМ.1, 71 (1965).
3. Т!гповЬепио $., боог!!ег,). К., ТЬеогу о1 Е!аз1!с!1у, 2пд ед., Мсйгаж-Н!11, 1951. 4. 1гопв В. М., Сопппеп! оп «Б!!1(певв Ма1г1ссз 1ог Яес1ог Г!егпеп1», Ка1ц 1. К., Као А. К., 1А1АА, 7, 156 — 157 (1969); есть русский перевод: Айронс, Замечание к статье «Матрицы жесткости злементов в форме сектора», Ракетная техника и кос.ионаетика, 8, М 3, стр. 271 (1970). 6. %!1воп Е.
1., Ягцс1цга1 Апа1ув1в о1 Ах1-Ьугпгпе(г!с Бо!Ыв, 7А!АА, 3, 2269— 2274 (1965); есть русский перевод: Вильсон, Расчет на прочность осесимметричных тел, Ракетная техника и космонавтика, 3, Ме 12, стр. 124 †1 (1965). ГЛАВЛ В ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Введение Метод конечных элементов применяется и для решения трехмерных задач. Такие задачи охватывают почти все практические случаи, хотя иногда предположение о том, что напряженное или деформированное состояние двумерно, дает вполне приемлемую и более экономичную «моделью Простейшим элементом для двумерных задач был треугольник.
В трехмерном случае его аналогом является тетраэдр— элемент с четырьмя узлами. В настоящей главе будут рассмотрены основные характеристики этого элемента, Трудность, не встречавшаяся ранее, состоит в порядке индексации узлов, т. е. в построении конечно-элементной модели тела.
Впервые тетраэдральный элемент предложили использовать Галлагер и др. ~Ц и Мелош Д. Позднее Аргирис [3, 41 подробно разработал этот вопрос, а Рашид 15~ показал, что с помощью больших современных ЭВМ могут быть решены поставленные таким образом практические задачи. Очевидно, однако„что для получения заданной степени точности количество простых тетраэдральных элементов должно быть очень большим. Это приводит к огромному числу уравнений, что несколько ограничивает на практике применение метода.
Кроме того, ширина ленты матрицы основной системы уравнений становится большой и в результате увеличивается необходимый объем памяти вычислительной машины. Чтобы представить себе степень сложности такого рода задач, предположим, что точность аппроксимации двумерных задач треугольными элементами сравнима с точностью аппроксимации трехмерных задач тетраэдрами. Если, например, для достижения заданной точности при определении напряжений в квадратной двумерной области требуется сетка размерности 20 Х 20, т. е.
надо рассмотреть 400 узловых точек, то число уравнений для определения двух компонент перемещений каждого узла будет около 800. (Это вполне приемлемая цифра.) Лента матрицы системы содержит 20 узлов (см. главу, посвященную методам вычислений), т. е. около 40 переменных. Эквивалентная трехмерная область представляет собой куб с 20Х20Х20 = 8000 узловых гочек. Так как теперь должны !05 Трехмерное напряженное состояние быть определены три компоненты перемещений в каждой узловой точке, общее число уравнений достигает 24000, а лента матрицы содержит 20р',20=400 взаимосвязанных узлов, т. е.
1200 переменных. Если учесть, что вычислительные трудности при использовании обычных методов решения, грубо говоря, пропорциональны количеству уравнений и квадрату 'ширины ленты матрицы, то нетрудно представить себе сложность решения таких задач. Не удивительно поэтому, что попытки уточнить решение трехмерных задач связаны в основном с использованием сложных элементов, обладающих большим числом степеней свободы [6 — 101, В последних главах будут приведены примеры практического применения таких элементов.
Эта глава содержит все необходимые сведения для постановки трехмерных задач теории упругости. Обобщение на случай более сложных элементов не вызовет затруднений. 6.2, Характеристики тетраэдрального элемента 6.2.1. Функции перемещений На фиг. 6.1 изображен тетраэдральный элемент цри~ в системе координат х, у и г. Перемещение любой точки определяется тремя компонентами и, о и !е в направлениях координат х, у и г. Таким образом, вектор перемещений имеет вид и (6.1) Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения.
По аналогии с представлением (4.3)' можно записать, например, и = а, + а,х+ азу + а4а. Приравнивая эти выражения перемещениям узловых точек, по- лучаем четыре уравнения типа и4 = а, + а~х~ + а,у; + а4гт и т. д., из которых определяются коэффициенты а~ — а4. Запишем теперь соотношение (6.2)' в форме, аналогичной (4.5), с испольаоаанием определителя 1 и = бь, ((й~ + Ь|х+ с~у + д~а) и~+ + (а~ + Ь~х+ с~у + И;г) и~+ + (а„+ Ь х+ с д + И г) и + + (йр + Ьрх + сру + Юла) ур) ~ (6А) 1 хг у» 1 х~ д~ я~ х~н уя хщ 1 хл д, 6У = ($е1 Фиг. 6Л.
Тетраэдральный элемент. (При нумерации узлов следует придерживаться определенного порядка, начиная, например, с гочки р, остальные узлы нумеруются в направлении против часовой стрелки по отношению к ней— рЦ~п или т1р~ и т. д.) Трехмерное напряженное состояние Величина 1т в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами а~, Ь;, с~, А обозначены определители Х~ Уу 8~ а~ — — Йе1 х у 'г с~ — — — де1 Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов р, ~, 1, и. Как видно из фиг, 6.1, узлы р, т, ~, т пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла. Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов; где ию (Ью) = от и т. д.
Перемещение произвольной точки можно записать в виде Щ = ~1М~~. 1Ц„И",„, 1ИД (о)', (6.7) где скалярные величины определяются соотношениями а~ + Ь|х+ с3у+ др К 6У и т.д., (6.8) а 1 — единичная матрица размерности ЗК 3. Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах .между элементами. Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений. хр Ур х; 1 г~ х 1 х хр 1 Ью М'= бр 1 У1 а~ ут ят 1 Ур хр х~ у~ 1 х у 1 Хр Ур 1 Глава 6 6.2.2. Матрииа деформа1ий В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде С помощью соотношений (6.4) — ~6.7) легко убедиться, что где О О (6.11) дУ; дк 0 О 0 Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.
Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шести- компонентного вектора, имеющего, например, для изотропного дМ',. 1 О ду дй', 0 дк дй',. ду дУ', дк — +— дк ду дэ да — +— дх дк Трехиернае напряженное состояние теплового расширения простой вид: аЕ' аО' а6' О э где а †коэффицие линейного расширения, а О' — средняя по элементу температура. 6.2.3. Матрииа упругости В случае материала с анизотропией свойств матрица Щ связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более 'чем 21 независимую постоянную (см.
подразд. 4.2.4). В общем случае (6,13) Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу Щ только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона ~ — матрица имеет вид Е (1 — м) (1 + ~)(! — 2м) ~ О О О 1 — 2ч Симметрично Глава 6 6.2.4.
Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случае соотношением (2.10), можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постоянны внутри элемента. Подматрица с индексами гз матрицы жесткости имеет размерность 3 «( 3 и определяется соотношением И-1 = Р.ГР1 Р.1 1~. (6.15) где Р— объем тетраэдра.
Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, записываются в виде, аналогичном (4.31): (Р),' = — (В~~ (Ц (а~) К, (6.16) или для 1-й компоненты Фд:, = — Р 1' Р1 И ~'. Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных начальными напряжениями. Фиг. 6.2. Способ разбиения трехмерного тела на элементы типа «кирпичиков». Сходство с результатами гл. 4 очевидно, так что необходимость в дальнейших выводах отпадает. Читатель не встретит никаких трудностей при составлении вычислительной программы. Распределенные объемные силы снова могут быть заданы их составляющими Х, У, Е нли потенциалом объемных сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
