Метод конечных элементов (1061787), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В качестве упражнения читатель может получить матрицу жесткости для этого элемента. 10.8. Примеры 10,8,1. Прямоугольные элементы Для иллюстрации точности и ожидаемой скорости сходимости была составлена программа расчета с использованием функций перемещений, определяемых выражением (10.13), и по ней просчитано несколько простых тестовых задач. Квадратная изотропная пластина. На фиг. 10.8 в виде графиков представлены результаты расчета квадратной пластины Фариды ю Фиг. 10.3. Квадратная пластина с защемленными краями. Равномерно распре- деленная нагрузка д.
Квадратные элементы, — решение методом конечных рааностея при сетке 16 х!6 (саувелл, 1858); о метод КОНЕЧИЫХ аЛЕМЕНтОВ. СЕтКа 6Х6; ~ МЕтОд КОНЕЧНЫХ аЛЕМЕНтОВ, СЕтКа 4Х4; О МЕтОд КОНЕЧ- ных элементов, сетка 2 Х 2, 207 Изгиб пластин с защемленными краями, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, Результаты соответствуют разбиениям всего лишь на 2 К 2, 4 К 4 и 6 Х 6 элементов, но точность и сходимость убедительны. При любом количестве элементов линейное распределение моментов, как и ранее, близко к тонному. Еще более удивительные сходимость и точность демонстрируются в табл. 10.4. В этой таблице сравниваются перемещения центра пластины при действии сосредоточенной и распределенной нагрузок для различных условий закреплений сторон.
При разбиении 8 К В элементов максимальная ошибка составляет 3%. Дли всех случаев разбиения решение сходится. Таблииа 10,4 Перемещения центра квадратной пластины, подсчитанные прн различном числе разбиений (прямоугольные элементы) Защемленная пластина Свободно опертая пластина Общее количество узлов равномерно распреде- ленная нагрузка и равномерно распреде- ленная нагрузка а Разбиение' сосредото- ченная нагрузка б сосредото- ченная нагрузка 6 2Х2 4)с,4 8~(8 12Я12 16Х16 'Точное решение (Тимошенко) 0,005919 0,006134 0,005803 0,005710 0,005672 0,00560 0,001480 0,001403 0,001304 0,001283 0,001275 0,03126 9 25 81 169 289 0,013784 0,012327 0,011829 0,011715 0,011671 0,01160 0,003446 0,003939 0,004033 0,004050 0,004056 О 094062 АХ,~ и - — для равномерно распределенной нагрузки д; макс Я32~ ю — для сосредоточенной нагрузки Р, приложенной н центре пластины 1Щ. макс Ю Консольная пластина.
На фиг. 10.9 показаны перемещения в такой же пластине, но закрепленной консольно. Сравнение с другими численными решениями н экспериментальными данными снова демонстрирует высокую точность метода. Опертая по углам пластина 1121. Квадратная пластина, опертая по углам, исследовалась различными экспериментальными н приближенными аналитическими методами. В табл. 10.5 результаты решения методом конечных элементов сравниваются с некоторыми другими приближенными решениями, Даже в том Глава 10 ,125 ыР~уР Орогий~ Мю линии А-А о„|зо О,! 35 юп/ч64 4юкийг и~ своХодншк наиль Н-.Ю Фиг. Ю.9. Нагруженне равномерно раснределенной нагрузкой д квадратной кОнсОльнОЙ Пластины.
4, метод конечных алемеытов, сетка ЗХ 3; П метод конечных разностей, сетка а Х 6 (Лкаса и Виркелл, 19МК 6 зксперимеатальиые результаты (делла, 1948). случае, когда наличие концентрации напряжений в узлах создает определенные трудности, ясно видно достаточно хорошее совпадение результатов как по перемещениям, так и по напряжениям, 10.8.2. Треугольные влементы.
Квадратная азотропная пластина Для иллюстрации сходимости снова рассмотрена квадратная пластина. Теперь она различным образом аппроксимируется треугольными элементами. В одних случаях они получены на Изгиб пластин 209 Опертая по углам квадратная пластина (точка 1 — середина стороны пластины; точка 2 — центр пластины) Точка ! Точка 2 Метод конечных влементов . 2Х2 4Х4 6Х6 0,0126 0,0165 0,0173 0,0180 0,0170 0,0176 0,0232 0,0244 0,0281 0,0265 0,139 0,149 0,150 0,154 0,140 0,095 0,108 0,109 0,110 0,109 Маркус Ли и Баллестероз Множитель основе прямоугольной сетки, в других — совершенно нерегулярно.
На фиг. 10.7 показано несколько способов разбиения, а на фиг. 10.10 представлены перемещения, определенные при различных краевых условиях и нагрузках. Как и ранее, точность и сходимость по перемещениям оказываются хорошими (хотя, возможно, и несколько хуже, чем при использовании прямоугольных элементов) . На фиг. 10.11 показано изменение изгибающих моментов вдоль оси симметрии пластины. Средние величины моментов хорошо согласуются с точными.
Однако в этом случае уже нельзя сказать, что линейный закон распределения напряжения наилучшим образом согласуется с реальным. Поэтому в практических целях рекомендуется вычислять напряжения (моменты) в центре тяжести элементов. Пластина с центральным круглым отверстием. Хотя эта задача и не имеет точного решения, она приведена для того, чтобы продемонстрировать, как с помощью треугольных элементов легко рассчитывать пластины произвольной формы с любыми отверстиями. На фиг.
10.12 показана использованная сетка и нанесены линии равных прогибов в. На фиг. 10.13 линии равных углов наклона сравниваются с экспериментальными результатами, полученными методом Муара. Расхождение нв превышает ошибки эксперимента. Сдобами опираиие пластины ж Фнг, 10.10. Прогибы вдоль центральной линни квадратной пластины (треуголь- ные элементы). Фнг 10.11. Квадратная пластина.
Распределение М, вдоль центральной линии 1треугольпые элементы), О средние значении 1нри линейном законе изменении); — — — действительное расире деление н элементах. 211 Изгио пластин „1875Е П~ИИПЖ*~УЛМ плвенаой 2РДУ/ш ф Радиус ~2 Х, 8 = О,!766Ь Фиг. 10.12. Квадратная пластина с отверстием Линии равных безразмерных прогибов ай7/рЫ Треугольные элементы. 10.8.3. Некоторые практические приложении Вычислительная программа расчета, особенно основанная на использовании треугольных элементов, широко применяется на практике.
С ее помощью легко можно рассчитывать плиты фундамента, настилы мостов или обшивки кораблей. Одной из широко распространенных па практике задач является задача расчета мостовых конструкций, для решения которой очень часто применяется метод конечных элементов. На фиг. 10.14 приведена автоматически вычерченная схема распределений напряжений многопролетиого моста, Мост более сложной формы показан на фиг.
10.15 и 10.16. Результаты расчета представлены в виде автоматически вычерченных изостат. При расчете предполагалось, что нейтральные оси парапета совпадают с нейтральной осью настила. Балочные элементы для расчета парапета без труда соединяются с плоскими, и результирующая система уравнений для всего ансамбля получается обычным путем, описанным в гл. 1, $~ р 'Ф", у ~~~С», '( ~ )~ 1 ! 3 1 ! ~ ф ФФ ~ Д~~ *.~~' ! 1 4 ю. Ф Е Ф У Ю О Е Ецр Я Ф Ф М Ц (Р Ж О Р1 Е' с~ .~ "(3 й~ во М ~ о о Ф 214 Фиг. 10.15. Кастлтонский мост. Общая геометрия и схема разбиения на конечные элементы.
Края моста свободно оперты без стеснения поворотов. Опоры учитываются как искусственные утолщения затемненных участков, прогиб которых ограничен величиной ч = 0,17, а — типичное реальное сечение; б — использованная идеализация. «СОГЛАСОВАННЫЕ» ФУНКЦИИ ФОРМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ 10.9. Общие замечания В разд. 10.5 было показано, что для элемента с тремя степенями свободы в узлах невозможно построить функцию формы в виде простого полинома, которая удовлетворяла бы требованиям непрерывности угла наклона. Введение в узлах параметров кривизны имеет, однако, тот недостаток, что накладывает на функции чрезмерные требования непрерывности. Более того, по многим причинам желательно, чтобы общее число узловых переменных не превышало трех.
В этом случае, основываясь на простой физической интерпретации, от плоских элементов для расчета пластин легко перейти к элементам для расчета оболочек. Кроме того, при трех узловых переменных упрощаются вычисления. Изгиб пластин 215 Фиг. 10.16. Компоненты моментов 1т м/м) для изображенного на фиг. 10.15 моста при действии равномерно распределенной нагрузки 7,16 10' Н/и'. Вычерченные ЭВЯ линии равных моментов.
Видно, что в рассмотренном примере мост в основном работает на изгиб, Еще один простой способ состоит во введении дополнительных функций формы, производные второго порядка которых в узлах неоднозначны. При условии, что они не обращаются в бесконечность, сходимость гарантируется, Глава 10 Рассмотрим функции формы для треугольных и четырехугольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследоваться не будет. Рассмотрим, например, любую из двух систем функций ~1АФз ее — + + и т.
д., (10.28) или ~ ~'ь'(1+ ~) (~ю + Хг) (~г + ~г) И ™ (10.29) Эти функции и их производные по нормали вдоль двух сторон греугольника 1 — 2 и 1 — 3 (фиг. 10.17) обращаются в нуль. На третьей стороне 2 — 3 эти функции также принимают нулевые 3 Фиг. 10Л7. Некоторые особые функции Е;координат. значения, но нормальные производные отличны от нуля и изменяются по параболическому закону. Вторая из этих функций показана на фиг. 10.17, а. Все функции, использованные для задания несогласованного треугольника 1см. выражение (10.25)1, имеют третий порядок и, следовательно, допускают параболический закон изменения нормальной производной, который неоднозначно определяется двумя краевыми узловыми значениями (результатом чего и является несогласованность). Однако если в качестве еще одной переменной задать значение нормальной производной а~ в середине каждой из сторон, то, комбинируя новую функцию е с введенными ранее функциями, можно получить одяозп параболический закон изменения яормальиой производной на гра- 10.10.
Сингулярные функции формы для простого треугольного элемента Изгиб пластин ницах между элементами, т. е. построить согласованный элемент. Очевидно, что для достижения согласованности нужно добавить три такие дополнительные степени свободы в выражение Фиг. 10.18. Различные согласованные треугольные алементц. степени свободы 5~щ — —, — ); й ~ — ); п~в, —, — ~1; 9~в дтпл д~ж д'и д~ш 1 дп дФ д~~' ' дтдуЛ' (10.25) и выполнить все описанные ранее операции. В результате получается показанный на фиг. 10.18,а элемент с шестью узлами, три из которых — обычные угловые узлы, а три — дополнительные узлы, в которых заданы только значения нормальных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
