Метод конечных элементов (1061787), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В самом деле, во многих практических задачах вся конструкция или по крайней мере часть ее, по существу, составлена из плоских поверхностей, а такие поверхности легко аппроксимируются. По этим причинам криволинейные тонкие оболочечные элементы рассматриваться здесь не будут, а вместо этого в гл. 13 будет изложен общий подход к решению задач о толстых криволинейных оболочках (на основе трехмерного анализа, что дает возможность избежать неточностей уравнений теории оболочек). В следующей главе, посвященной осесимметричным оболочкам, будут применяться как плоские, так и криволинейные элементы.
11.2. Жесткость плоского элемента в локальных координатах Рассмотрим типичный плоский элемент, находящийся одновременно под действием мембранных и изгибающих сил (фиг. 11.2) . Остановимся сначала на действии мембранных сил (плоское напряженное состояние). Из гл. 4 известно, что деформированное состояние однозначно описывается величинами перемещений и и и каждой узловой точки к. Минимизация общей потенциальной энергии приводит к матрицам жесткости Г; 6~' = [йр) (11.1) где Аналогично деформированное состояние, вызванное изгибом, однозначно определяется узловым смещением в в направлении оси а и двумя углами поворота В, и О„.
Это позволяет представить матрицы жесткости в виде Р~ б~ =И (11.2) 234 где И~ В'~ ®= О„,, (ГД= М„, Оэ~ Мэ~ Прежде чем объединить эти матрицы, важно отметить два обстоятельства. Во-первых, перемещения, вызванные мембранными силами, не влияют на изгибные деформации и наоборот. Во-вторых, угол поворота О, не входит в число узловых параметров, определяющих деформации. Хотя на этой стадии пово- аЫмЫ 1р Г ! Маифаиные силы и Ре~юрнции гийюи~ж аию и июи5ные 0ефприацш Фиг. П.2. Плоский элемент под действием мембранных и изгибающих сил.
ротом вокруг оси я можно пренебречь по причинам, которые станут ясными позднее, уже сейчас при составлении'ансамбля элементов целесообразно учесть этот поворот и связать его с фиктивным моментом М,. Тот факт, что О, не участвует в процессе минимизации, просто учитывается включением соответствующего количества нулей в матрицу жесткости. Записывая теперь узловые перемещения в виде Оболочки как совокупность т»лосках элементов и соответствующие силы как У» $'» Вт» М„» Ми» (11.4) получаем Р» б» ° =Щ * (Р)'= Я ®' (1 1.5) Нетрудно видеть, что матрица жесткости состоит из следующих подматриц' О О.
ОО "!О О О':.О О О: .'.=О О О':: ~а'„3::,О О О': ~О О О,-'О О О~О (11.6) (й„1 = если учесть, что бР (о») = б~» (11.7) Зти соотношения справедливы для любого многоугольного эле- мента, и в частности для двух важных случаев, иллюстрирован- ных на фиг. 11.2. $1.3. Переход к глобальным координатам и составление ансамбля элементов Полученная в предыдущем разделе матрица жесткости за" писана в локальной системе координат, так как компоненты изгибающих и мембранных сил выражень» в локальных координатах. Преобразование к глобальным координатам (которые будем обозначать через х, »», г в отличие от локальных координат х', 1"Лава 11 236 у', а') необходимо для составления ансамбля элементов и записи соответствующих уравнений равновесия.
Кроме того, координаты узлов удобнее задавать в глобальной системе, а затем переходить к локальным координатам, т. е. осуществлять обратное преобразование. К счастью, все преобразования достаточно просты. На фиг. 11.3 показаны две системы координат. Узловые силы и перемещения преобразуются из глобальной в локальную си- Фиг. 11.3. Локальные и глобальные координаты. стему координат с помощью матрицы 1Ц: (11.8) (1 1.9) а Я представляет собой матрицу размерности 3 Х 3 косинусов углов между осями этих систем, т.
е. (11.10) ~фа я у Ряа где 1„„— косинус угла между осями х' и х и т, д. ОбОЛОЧКЫ КОК СОВОКУПНОСТЬ ВЛОСКНХ 9ЛИМСНТОВ Следовательно, для полной системы узловых сил элемента можно записать (б'Г= И ЙГ, (Г'Г= Р'1 (ГГ. (11.11) По правилам ортогональных преобразований (см. разд. 1.4) матрица жесткости элемента в глобальных координатах принимает вид И = Я' И'ИМ. (11.12) В обоих последних соотношениях Х, 0 0 ...
0 Л 0 0 0 Х. и является диагональной матрицей, составленной из нескольких матриц 1Ц, количество которых равно числу узлов элемента. Несложно показать, что типичная подматрица жесткости записывается как ~И„~ = (цг (й,',~ ~ц, (11.14) у' =Я у 2 Я (11.15) Так как при получении матрицы жесткости положение начала координат несущественно, то такого преобразования всегда достаточно для определения локальных координат в плоскости элемента (или в плоскости, параллельной ему). После получения матриц жесткости всех элементов в общей глобальной системе координат составление ансамбля элементов и окончательное решение производятся обычным образом. В результате искомые перем=щения определяются в глобальной системе координат, и для определения напряжений необходимо в каждом элементе перейти к локальным координатам.
После этого можно использовать обычные матрицы мембранных и изгибающих напряжений. где подматрица 1К,1 в локальных координатах определяется соотношением (11.6). Определение локальных координат осуществляется аналогичным образом. Если начала локальной и глобальной систем координат совпадают, то Глава 11 $1.4. Жесткость фиктивного поворота Если все элементы, пересекающиеся в узле, компланарны, то при использовании описанного подхода встречаются некоторые трудности, связанные с тем, что жесткость в направлении 6„.
(фиг, 11.2) равна нулю. В такой точке последнее из шести уравнений равновесия (соответствующее направлению О,) в локальных координатах обращается в равенство (1 1.16) Само по себе уравнение такого типа не вносит особых трудностей (хотя в вычислительной программе может привести к ошибочным результатам). Однако если направления глобальных и локальных осей координат отличаются, то после соответствующего преобразования получаются шесть на первый взгляд корректных уравнений. Эта система будет особенной, ибо она содержит равенство (11.16), умноженное на действительные числа ').
Существуют две возможности обойти эту трудность: а) составить систему уравнений для ансамбля в точке, где элементы компланарны, в локальной системе координат (и исключить уравнение О = О); б) ввести в этой точке некоторый произвольный коэффициент жесткости Йв. Это приведет в локальных координатах к замене уравнения (11 16) уравнением йв,8,~ = О.
Последнее после преобразований позволяет получить хорошо обусловленную систему уравнений ~), из которой обычным способом находятся все перемещения, включая О,~. Так как О,~ не входит в уравнения равновесия и напряжения от него не зависят, величине жесткости Ав, можно придать произвольное значение. Результат при этом не изменится, Оба предложенных способа связаны с определенными трудностями программирования (хотя второй несколько проще). В работе 1Щ приведены результаты определения реального коэффициента жесткости для дополнительных степеней свободы типа описанных поворотов. ') Читатель может вспомнить логическую ошибку в доказательстве равенства 2 =- 4 и другие, основанные на умножении обеих частей равенства (11 16), ») По-видимому, автор имеет в виду разрешимость приведенной системы уравнений (11.б). Для хорошей обусловленности, кроме однозначной разрешимости, требуется еще малость изменения решения этой системы при малом изменении правых частей (см.
С. Н. Годунов, В. С, Рябенький, Разностные схемы, изд-во «Наука», гл. 2, $4, 1973 г.). — Прим. рад. Оболочки как совокупность плоских элементов 239 В программе, неоднократно применявшейся автором 16), использовалась система фиктивных коэффициентов жесткости поворотов для всех элементов, как компланарных, так и некомпланарных. Для треугольных элементов они вводились в виде такой матрицы, что равновесие в локальных координатах не нарушалось, т. е. М,~ 1 — 0,5 — 0,5 О,~ М,~ — — аЕИ 1 — 0,5 О,~, (11.18) М,ь Симметрично 1 О,а где а — некоторый коэффициент, который следует еще задать.
Из-за того что дополнительные жесткости вводятся в некомпланарных узлах, их величины влияют на результат, так что этот прием является приближенным. Однако изменение в довольно широких пределах величины коэффициента а мало сказывается на конечном результате. Например, в приведенной ниже табл, 11.1 содержатся величины перемещений арочной плотины для различных значений и, взятые из работы 12). Таблииа 1И Узловые козффипиеиты жесткости поворота в арочной плотине 121 1.оо о„5о о,оз о,оо 61,13 63,35 64,52 Радиальные перемещения, мм 11.5.
Локальные направляющие косинусы После определения матрицы направляющих косинусов Я для каждого элемента решение задачи не представляет никаких трудностей и производится обычным образом. Однако само Из таблицы видно, что при и= О перемещения близки к точным. На практике рекомендуется использовать значение ст, = 0,03 или ниже. Некоторые авторы 15) пытаются избежать этой трудности за счет уменыпения числа степеней свободы, пренебрегая одной из них и объединяя все уравнения по нормали к оболочке. Этот метод используется-в гл. 14. Однако он в свою очередь вносит новую трудность, так как если учесть действительное изменение направлений в оболочке, то не так просто задать «нормаль».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
