Метод конечных элементов (1061787), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Оболочки как совокупность плоских элементов Очевидно, что для оси х' направляющие косинусы имеют вид ~'х" х Хх р — — О, ~ х'х — 0 (11.19) Направляющие косинусы оси д' выражаются через координаты различных узловых точек. Выражения 1.„,=0, (11.10) ((е — е.)2+ (у — у )2) 2' представляют собой простые геометрические соотношения, которые получаются из рассмотрения вертикальной секущей плоскости, проходящей через точки Ц. Рассматривая то же сечение, для оси г' получаем г = 0 (11.21) '~»((»») +(у» у»)Ч у» — у ° 2 'е=+ ,~/((е х )2+ (у у )2) Ясно, что для сохранения правильных знаков выражений важен порядок нумерации узловых точек.
11.5.2. Произвольно ориентированные в пространстве треугольные элементы На фиг. 11.5,а показана произвольная оболочка, разбитая на треугольные элементы. Все элементы ориентированы по отношению к координатным плоскостям совершенно произвольно. Определить локальные оси и их направляющие косинусы в этом случае значительно сложнее, чем в предыдущем более простом примере, Проще всего эта задача решается с использованием =векторной алгебры; читателям, которые успели забыть ее основы, полезно обратиться к приложению 5.
Направление одной из локальных осей произвольно, и ее выбор должен быть сделан заранее. Будем считать, что ось х' 'направлена вдоль стороны»1 треугольника, как показано ца фиг. 11.5, б. Фиг. 11.5 й †ансамб треугольных влементов, аппрокснми ю вй п зв кальные и глобалъные н ирующв произвольную оболочку; б — лолъные коорнннаты Нля треугольного злемента. динатами: Эта сторона определяется вектором Гц с глобальными ко "- ц коор- Оболонки как совокупность плоских влементов Направляющие косинусы получаются делением компонент этого вектора на его длину, т. е. в виде компонент вектора единичной длины: Ах'х хд Хх'у — ' Уу~ 1 ~х'е 1ц (11.23) где ~ц= Здесь для краткости положено х;~ — — х; — х; и т.
д. Направим ось х' перпендикулярно плоскости треугольника. Это направление в соответствии со свойствами векторного произведения можно определить как векторное произведение двух сторон треугольника (11.24) 1~ ' = ~ ц Х 1~и = т. е. нормальным к плоскости треугольника вектором, длина которого по определению (см. приложение) равна удвоенной площади треугольника. Таким образом, 1~=4(у~ хм — гуьу У+( ° )'+(" )' =2ь.
Направляющие косинусы оси х' получаются просто как направляющие косинусы вектора Р,; их можно представить в виде- единичного вектора "а'х лх — — . ° ° ° . ° ° ° Ф Ф ° Э гье "е (11.25) Наконец, направляющие косинусы оси у' получаются как направляющие косинусы вектора, нормального одновременно к осям х' и х'. Так как векторы единичной длины в каждом из этих направлений фактически определены соотношениями (11.23) и (11.25), имеем А гл Ов' = Хв'в без деления на длину, которая в данном случае равна единице. Все векторные операции можно записать в виде специальной подпрограммы, автоматически осуществляющей векторное умножение, нормировку (т, е, деление на длину) и т.
д. 1191, по- Поскольку длина вектора равна единице: ~~х'х + 1~х'у (11.28) а скалярное произведение векторов о, и 6, должно быть рав- но нулю, можно записать ~х'х ~а'х+ Хх' ' Х~' = О. (11.29) Эти два уравнения позволяют 'единственным образом определить вектор оу. Наконец, как и раньше, 6 ' — пх' Х пя' (11 ЗО) Еще один способ однозначного определения оси х' описан в гл.
14. 11.6. Некоторые практические примеры Первый пример посвящен расчету оболочки арочной плотины. Для расчета взята простая геометрическая конфигурация, показанная на фиг. 11.6, что позволило применить различные численные методы и пронести сравнение с результатами экспериментов на моделях.: Благодаря цилиндрической форме оболочки использовались, прямоугольные элементы, хотя линия жесткого основания аппроксимировалась при этом довольно грубо.
Расчеты провбдились для двух размеров элементов. Результаты расчета прогиба и напряжений на оси симметрии, приведенные на фиг. 11.7 — 11,9, показывают, что использование более этому нет необходимости подробно останавливаться на выполнении описанных выше операций. Ранее предполагалось, что ось х' направлена вдоль одной из сторон элемента.
Иногда бывает полезно направить ее по линии пересечения плоскости треугольника с плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Так, например, если желательно направить ось х' вдоль горизонтальной сто- . роны треугольника (т. е. параллельно плоскости хд), можно поступить следующим образом. Во-первых, направляющие косинусы о, определяются по соотношению (1 1-;25);- Матрица направляющих косинусов оси х' должна теперь иметь нулевую компоненту в направлении г. Таким образом, имеем Д, г пх' = ~х' ° (11.27) О Йвйсгпбие дабления Воды В биде дисное~пньт сил ,Узлобые силы осно ания В оснобания Г~ибое разбиение более мелное разбиение Фнг. 11.6.
Арочная плотина как совокупность прямоугольных элементов. 0 У 4 б 8 Перемещения, мм Фнг. 11.7. Арочная плотина. Горизонатальные перемещения центральной линии. С1 решение методом конечных элементов (крупная сетка); Ху решение методом конечных элементов 1мелкаи сетка1," — — — решение методом прооиых иагруэок (0$ВЮ. (Коэффи- циент Пуассона т=ЬИ4 попрана бор ееп Йорана дерхнеео бьега дд 0)пп пна нио)бт)еео Йе)ра 18 О -2,84 -1,88 088 0 0.88 1,88 484 Наполнения б еояизпнл)альном напроблении д сечении, про~кобящем через бериилу прни(+растяжение), й/м" 10 е Фиг. П.9, Арочная плотина.
Напряжения в горизонтальном направлении )вдоль дуги арки) на центральной линии, П,80-8Ы -г,ж -188 абб 0 088 188 Я,8О б„ю ~„80 ббб Напряжения б берл)икаяьноя) налрабяеийи д печенйи, пржодяи1еьг через дамиани ирки ~+расяяп)пение), й/и'1О е Фиг. )).8. Арочная плотина. Напряжении в вертикальном направлении на центральной линни. С) решение методом конечных злсмеитоз )крупная сетка); сЪ решение методом конечных элементов (мелкая сетками — -- решение методом пробных нагрузок ())ВВК),(Козф- фнцнеит Пуассона т 0,16.) Оболочки как совокупность плоских элементов мелкого разбиения дает незначительное уточнение. Это свидетельствует о том, что физическая аппроксимация реальной формы плоскими элементами и математическая аппроксимация при использовании метода конечных элементов дают хорошие результаты.
Для сравнения на рисунках показаны напряжения и прогибы, полученные другим приближенным численным методом. 1,б 1,2 0,8 -4 ь 0,4 ~Ь 0 3 Р,-0,4 В 'а~-0,8 0 Зо 80 М ао 150 180 д,фюзи Х Фнг. 11.10. Градирня 1211. Закон изменения давления по окружности. — деаетаителъиые аиачеиин; — — — предполагаемые аиачеиии, Глава 11 С помощью плоских треугольных элементов аналогично была рассчитана арочная плотина двойной кривизны. Результаты показали даже несколько лучшую аппроксимацию ~61, Решение большого числа задач с треугольными несогласованными элементами Парехом 1201 показало, что при одинаковом числе разбиений такие элементы приводят к лучшим результатам, чем согласованные треугольные элементы, использованные Клухом и Джонсоном 151. Ниже приведены некоторые примеры расчета. Градирня.
Эта задача относится к классу осесимметричных. Очевидно, что более эффективно ее рассчитывать методами, изложенными в гл, 12 и 13. Однако здесь этот пример использует- Фин. 11.11. Градирня. Конечные элементы. — метод конечных эиемеитов; — — — рещеиие Ллбааиии и мартича, ,г7В И/м-Ю 3 - -305 Фнг, 11.12. Градирня, изображенная на фиг. 1111. а — мембранные силы при О О~, Л'~ — тангенднальиые силы, Ал — меридиональные сильц' б — радиалъиье перемешения при 6= О~; в, а — нагнбаюшне моменты при О=О', Мь-тангенцнальный момент, М,— меридиоиальный момент. — метод конечных элементов; — — — реьпенис Албааинн и Мартина, Глава 11 Толщ авар 1г -Я5 1ЗОХ АР ФЯ,5 0 Нм/к Фиг. 11.12, Продолжение.
ся как хорошая иллюстрация достижимой точности. Результаты. численного решения сравниваются с данными Албазини и Мартина [2Ц. На фиг. 11,10 — 11.12 показаны использованное разбиение и некоторые результаты. Рассматривалась несимметричная ветровая нагрузка. Цилиндрический свод. Оболочка такого типа, часто используемая в гражданском строительстве, обычно рассчитывается методом Скордели и Ло [221. Оболочка опирается на жесткие диафрагмы и нагружена собственным весом. На фиг. 11ЛЗ и 11.14 сравниваются некоторые результаты.
Складчатая конструкция из пластин. Так как точное решение этой задачи неизвестно, сравнение проводилось с экспериментальными данными Марка и Риза [231. Это пример задачи, для которой конечно-элементное представление физически точно. Жесткость каркаса при расчете учитывалась введением элементов балочного типа. На фиг. 11.15 и 11Л6 приведены результаты решения. Оболочка произвольной формы. На фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
