Метод конечных элементов (1061787), страница 36
Текст из файла (страница 36)
!Гщч о$ СаЫогиа, БЕ БА 67 — 68, !967 0е!раЬ К, Ах~ Бупппе!пс %Ьга!юп о! БЬе11з о! Кечо1и!юп Ьу Же Гпп!е Е1етеп! МеЖой, М Бс ТЬеяз, !.!щч о! %а1ез, Биапяеа, 1967 О~апппи М, М~1ез О А, А Сигчей Е1егпеп! Арр~охппа1юп ~п !Ье Апа1узгя о! Ах~ Буптгпе!пс ТЬп БЬе11я, 1п1 У Иит Ме1Ь ш Епа, 2, 459 — 476 (1970) %еЬз!ег У У, Г~ее ИЬга!юп о! БЬе11з о! Кечо!и!юп (Уяпн К~пд Е1егпеп!я, УаУ У МесЬ Юсг, 9, 559 (1967) Новожилов В В, Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1951 На~я1ег % Е Б!псЫа У А, К~уй Войу В~зр1асетеп!з о! Сигчей Е1е гпеп1я ~п Же Апа1уяз о! БЬе11з Ьу !Ье Ма1пх В~яр1асегпеп! Ме!Ьой, УА1АА, 5, 1525 — 1527 (1967), есть русский перевод Хейслер, Стриклин, Переме- щенчя недеформируемых криволинейных элементов в расчете оболочек матричным методом перемещений, Ракетная техника ц космонавтика, 5, М 8, стр 207 — 209 (1967) ГЛАВА 13 ПОЛУАИАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 13.1. Введение С помощью обычного метода конечных элементов можно решать любые двумерные и трехмерные (или даже четырехмерные) -задачи'). Однако добавление каждого нового измерения увеличивает необходимое для расчета время, и иногда решение задачи выходит за рамки возможностей машины. Поэтому желательно искать пути сокращения объема вычислений.
Ниже будет рассмотрен один класс таких методов, имеющих широкое применение. Во многих физических задачах геометрия и свойства материала не зависят от одной из координат. Однако нагрузка в этом направлении может быть переменной, что мешает непосредственному переходу от трехмерной задачи к двумерной задаче о плоском деформированном состоянии.
В таких случаях все же можно рассматривать упрощенную задачу меньшей размерности (без координаты, вдоль которой свойства не изменяются) и полное решение составить из набора упрощенных решений. Излагаемый здесь метод носит-достаточно общий характер, и, разумеется, его применение не ограничивается только задачами строительной механики. Однако удобно использовать терминологию строительной механики и применить теорему о минимуме потенциальной энергии.
Итак, рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала, описанного в гл, 2 и 3. Пусть х, у, г — координаты в некоторой области (не обязательно декартовы). Вдоль координаты е геометрия и свойства материала не изменяются, а значения этой координаты заключены в интервале Предположим, что функции формы Я, определяющие закон изменения перемещений 1равенство (2.1)1, можно записать в ') См.
гл. 16, посвященную применени~о конечных элементов в нестаниоиарных задачах, Лолуаналатичеекий метод конечных элементов виде произведения И=В(х, У, а)11оГ=— =~((У(х, у)(сох — "'+[у(х, у))с1 ' )(С)'. ((2ц При этом мы не ограничиваем общности, ибо с помощью рядов Фурье можно представить любую непрерывную функцию внутри заданной области (при условии„естественно, что функции формы Л(' и У в области определения х, у удовлетворяют тем же самым требованиям).
Лналогично и для нагрузки получаем (р) =„~ ((Р~(х, уосох — + (р|(х, у))с)п — ), ~!32) ~Х ще д ф)е (13.3) ~рс)у Р'Г В этом выражении, чтобы избавиться от знака суммы, в векто- ры Щ' включены компоненты для каждого значения (,. Теперь типичная подматрица Щ будет иметь вид (й'")' = ~ ~ ~ (В'(х ())) (В") Шх с(у с(х, (13.4) а типичная компонента вектора силы Ясно, что матрица, определяемая соотношением 113.4), содержит в качестве множителей при различных подматрицах сле- причем это выражение справедливо как для массовых так и для поверхностных нагрузок (см. гл; 2). Начальные деформации или напряжения, если они существуют, можно представить в таком же виде. Применяя стандартные приемы гл.
2 для определения вклада элемента в уравнение, минимизирующее потенциальную энергию, и рассматривая только вклад (р), можно записать Глава 33 дующие интегралы: йм тяя 1 =1 з(п — соз — Ыг а и ляг . тяг 12 а а 0 (13.6) 1', = соз — соз да. Ьы тяг а а о Эти интегралы появляются при перемножении производных, входящих в выражение для 1о1, и благодаря известному свойству ортогональности (13.7) Ь=1в=О для 1 =,4 и при1=1,2,...
и и =1,2,.... Интеграл 1[ равен нулю, только когда 1 и и одновременно четные или нечетные. Однако в большинстве практических случаев член, содержащий 1[, пропадает. Это означает, что матрица 1й~' становится диагональной, уравнения для ансамбля имеют вид Я[11 = 0 (13.8) и полная система уравнений разбивается на Е отдельных под- систем (13.9) где (13.10) (13.11) Отсюда видно, что 1-я гармоника нагрузки входит только в 1-ю подсистему (13.9) и не влияет на остальные уравнения. Это крайне важное свойство имеет большое практическое значение, Из соотношений (13.5) и (13.2) следует, что вследствие свойства ортогональности (13.6) типичное выражение для компоненты нагрузки принимает вид Полуаналитический метод конечных элементе поскольку оно означает, что если разложение нагрузки в ряд : содержит только один член, то необходимо решать лишь одну подсистему уравнений.
С уменьшением размеров разбиения лишь в области х, у решение будет стремиться к точному. В итоге трехмерная задача сводится к двумерной, что приводит . к сокращению затрат машинного времени. Очевидно, что аналогичным образом можно свести двумер- ные задачи к одномерным и т. д., причем это относится не толь- ко к задачам теории упругости.
К любой физической задаче, . сводящейся к минимизации квадратичного функционала (гл.3), можно применить этот подход, который в том или ином виде ис- пользовался в строительной механике с незапамятных времен. Следует обращать особое внимание на граничные условия, накладываемые на Щ.
Для полного разделения задачи гранич- . ным условиям должен удовлетворять каждый член ряда (13.1)'. Задание нулевых перемещений в упрощенной задаче фактически означает задание нулевых перемещений вдоль оси г. Поэтому : составление окончательной матрицы довольно затруднительно. Это несколько ограничивает возможности применения описанного метода. Когда пагружение таково, что требуется учитывать большое число фурье-компонент, преимущества изложенного метода уменыпаются и иногда бывает экономичнее решать исходную . задачу. Очевидно, что возможны видоизменения основного соотноше- ния (13.1). Так, например, с каждым из тригонометрических членов можно связывать свою независимую систему парамет- .
ров Я'-. Кроме того, можно использовать другие ортогональные функции, Так как особенно часто применяются тригонометри- ческие функции, напомним читателю следующие соотношения." а йсг 1 ля а|п — соз — с1г = О, когда 1 = О, 1, ..., 0 (13.12) з|п — с1г — соз — с1г — —, когда 1 — 1, 2, .... . рйтг Г 2~яг а 0 0 13.2. Призматический брус Рассмотрим призматический брус, показанный на фиг, 13;1, который при г= О и я= а закреплен так, что исключаются какие-либо перемещения в плоскости х, у, а в направлении я брус перемещается свободно. Задача существенно трехмерная, поэтому должны быть рассмотрены три компоненты перемещений и,о им.
Разбивая область в плоскости х, д на конечное число элементов, можно задать 1-ю компоненту перемещения в направлении х в виде и1=(а, Ул,, ) 'п ~ (и1). (13.13) Для о' и гэ' можно записать аналогичные выражения„но в последнее будут входить косинусы. В этих выражениях И~ и т. д.— Фиг. 13.1.
Сведение задачи о призматическом брусе к набору двумерных конечно-элементных задач (скалярные) функции формы, соответствующие используемому элементу. Если, как показано на фиг. 13.1, применяются треугольники, то функции формы задаются соотношением (4.8) гл.4. Однако могут использоваться также более точные элементы, описанные в гл. 7 (с использованием преобразований гл. 8 или без них).
Разложение (13.13) обеспечивает равенство нулю перемещений и и о и осевых напряжений на концах бруса, Нагрузку тоже можно представить в виде рядов Фурье, тогда для компонент в плоскости х; и имеем 'Р) 'Р) а Если задача существенно трехмерная, то выражение для деформации должно содержать все шесть компонент. Такое выраже- Глава И 280 чальными напряжениями и т. д., имеют вид (13.14), Сосредоточенные вдоль линий нагрузки представляются непосредственно в виде узловых сил где Я вЂ” интенсивности на единицу длины. Граничные условия, которым удовлетворяют использованные выражения„соответствуют условиям свободного опирания бру- Фиг.
И.2. Сведение расчета коробчатого моста к двумерной задаче с нсполв. зованием изопараметрических элементов второго порядка. са. С помощью аналогичных разложений можно удовлетворять другим граничным условиям. Рассмотренный метод может быть применен ко многим практическим задачам, в частности к расчету бетонного моста, показанного на фиг. 13.2.
Здесь особенно удобны криволинейные элементы сирендипова семейства второго или третьего порядка, описанные в гл. 7 и 8. Отметим, что удвоение числа параметров и запись рядов в виде двух сумм Е Ь ()) = ~ У(х, д)сох — — (6") + ~ у(х, и) х|п — (ох) ()ЗЛц ~=) 1=-) 281 Йолуаналитический метод конечных элементов позволяют устранить некоторые ограничения на- функции формы, определенные выражениями (13.1) или (13.13). Параметры 1о") и 1ов') являются независимыми, и для каждой компоненты перемещений необходимо определять два значения и составлять два уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
