Метод конечных элементов (1061787), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Понижение порядка интегрирования по $ и т~ не только позволяет сократить время счета, но и приводит к заметному улучшению характеристик элемента. Этот вопрос будет рас- сматриваться в разд. 14.9 и 14,10. 14.6. Некоторые замечания относительно аппроксимации напряжений После получения характеристик элемента процесс составления ансамбля и дальнейшее решение стандартны. Остается обсудить вопрос об аппроксимации напряжений.
Так как деформации определены в локальных координатах, то легко получить матрицу (а') Непосредственный интерес представля|от именно эти компоненты, но, поскольку направление локальных осей пе всегда можно легко себе представить, иногда удобно преобразовать компоненты к глобальной системе, используя соотношение ох тху тху оу тур ° [Щ . 0 (14.20) тх'~' ту'л' Если напряжения вычисляются в узле, в котором соприкасаются несколько элементов, они усредняются. Напряжения в глобальных координатах, однако, не дают достаточно наглядной картины распределения напряжений на поверхности оболочки произвольной формы. Поэтому удобнее с помощью соответствующего преобразования вычислять главные напряжения. При более тщательном исследовании напряжений на поверхности оболочки целесообразно, заметив, что касательные напряжения т„., и т.„, на ней отсутствуют, положить их равными нулю перед переходом к глобальным напряжениям. Значения, полученные для -касательных напряжений, являются средними по сечению.
Касательные напряжения максимальны на нейтральной оси, и их значения превышают средние в 1,5 раза, 14.7. Частный случай осесимметричных толстых оболочек Очевидно, что для осесимметричных оболочек все соотноше'ния упрощаются [Ц. Теперь срединная поверхность элемента определяется только двумя координатами $, и, в результате чего значительно экономится машинное время, Элемент строится точно так же, но за основу берется двумерный элемент, изображенный на фиг. 14.4. Соотношения (14.1) и 114.2) заменяются их двумерными аналогами, определяющими зависимость Расчет толстюстеннык оболочек между координатами в виде Фиг. 14.4. Координаты для расчета оеесимметричиой ободочии, Глава И ф; — угол, показанный на фиг. 14.4,б, и 1~ — толщина оболочки, Выражение для перемещений определяется в соответствии с формулой (14.3).
Для общности рассмотрим случай несимметричного нагружения, указывая лишь члены, которые можно заранее исключить в симметричном случае. Следуя изложенному в гл. 13, предположим, что выполнено разложение по тригонометрическим функциям, Определим три компоненты перемещения и-й гармоники в виде и" соз пО 0 0 о" = 0 созиО 0 И 0 0 созпΠ— з1п ф~ 0 О' + ~> Шд — ' сов ф, О „. (14.22) 0 Здесь я; — угол поворота, показанный на фиг. 14,5; и; и др.— перемещения узла срединной поверхности и р; — угол поворота к'(э') Фиг.
14.5. Глобальные перемещения осееимметричной ободочки. относительно вектора, касательного (приблизительно) к срединной поверхности. Для осесимметричного случая дальнейшее упрощение осуществляется путем исключения членов, содержащих в, первой матрицы тригонометрических постоянных и угла поворота ~~. Расчет толстостенных ооолочек Локальные деформации удобнее определить соотношением (14.7), записанным в глобальных цилиндрических координатах: 1 аг е, 1вв 1ГЯ Утв Ь,в) (14.23) Эти деформации преобразуются к локальным координатам, причем компонента, нормальная к поверхности и = сопз1, исключается. Матрица 1Щ принимает вид (14.9). Для осесимыетричного случаи соответствующие члены просто опускаются.
Все преобразования осуществляются так же, как и в предыдущих разделах, поэтому дополнительных пояснений не требуется, за исключением, возможно, замечания, что теперь они производятся только относительно пар переменных $, Ч; г, г и т', г'. Аналогично интегралы, входящие в характеристики элемента, вычисляются численно только по координатам ~ и и, Заметим, однако, что элемент объема определяется выражением дхду На = де1~ У ~Й'„ЙцтЙВ. (14.24) Элементы переменной толщины второго и третьего порядка (фиг. 14.6) получаются при соответствующем подборе функций формы Л'~(5).
14.8. Частный случай толстых пластин Описанные в этой главе преобразования довольно сложны и запрограммировать их непросто. Основные идеи метода можно применить при расчете толстых пластин. Упрощения;достигаются за счет того, что: 1) ~ = а н "направления единичных векторов чы, ~Ъ, ~Ъ можно взять совпадающими с направлениями осей х, и и г; 2) к; и р; в этом случае являются просто углами поворота В„и 0„(см гл. 10); 3) нет необходимости преобразовывать компоненты напряжений и деформаций к локальной системе х', у', а' и всюду Фиг.
14.6. Элементы осесимметричиой оболочки: а †перво порядка, 6— второго порядка и в — третьего порядка, можно использовать соотношения в глобальных координатах. Для элементов простой формы можно обойтись без численного интегрирования, и в качестве упражнения читателю рекомендуется получить все необходимые выражения (матрицы, жесткости и др.), скажем, для прямоугольных элементов йервого порядка. 14,9.
Сходимость Если при расчете трехмерных задач можно говорить об абсолютной сходимости к точному решению упругой задачи, то в аналогичных задачах для пластин или оболочек такой сходимости быть не может. Так называемое сходящееся решение задачи об изгибе пластин при уменьшении размеров элемента сходится к точному решению для некоторой приближенной модели, используемой в расчете. Следовательно, будет наблюдаться схо- Расчет толстостенных оболочек димость к решению, удовлетворяющему гипотезе плоских сечений. В элементах конечных размеров деформации чистого изгиба всегда сопровождаются некоторыми сдвиговыми напряжениями, которые фактически ие учитываются в теории изгиба пластин или оболочек. Большие элементы, деформирующиеся главным ~ОЧ~06 тео,пи пл Р 2 4 б $ 2х Фиг. 14.7.
Свободно опертая квадратная пластина под действием равномерно распределенной нагрузки ое, а †проги иа цеитральиоа ливии, полученные при использоваиии элементов, построеииых в работе Щ; б-прогибы, полч4 чеииые при использоваиии числеииого иитегрироваиии беа учета сдвигов. Ф, 0,004062 Оса /О (результат расчета по теории тоикил пластин), г-тол- щииа пластины, О-жесткость пластииы. образом под действием изгибающих моментов ~например, когда элемент оболочки вырождается в пластину), становятся заметно более жесткими.
Чтобы избежать этого„вводятся некоторые ограничения на отношение длины стороны элемента к его толщине, Однако можно показать, что эти ограничения могут быть ослаблены за счет понижения порядка интегрирования. Например, на фиг. 14.7 показано применение элемента второго порядка при расчете квадратной пластины.
Приведены результаты, соответствующие интегрированию с девятью ~ЗК 3~ 310 и четырьмя (2Х2) гауссовыми точками, в виде графиков для различных отношений толщины к длине стороны пластины. Для оболочек средней толщины результаты близки между собой, и в обоих случаях получаются сдвиговые деформации, которые вообще ие рассматриваются в теории тонких пластин. Для тонких пластин результаты при более точном интегрировании значительно отличаются от точного решения, полученного с использованием теории тонких пластин, тогда как более грубое интегрирование (при исключении влияния сдвигов) по-прежнему дает хорошие результаты.
Ограничения на применение рассматриваемых в этой главе элементов хорошо известны, и неоднократно предпринимались попытки исключить их 15 — 7]. Как видно, весьма эффективным и достаточно общим средством является такой простейший прием, как понижение порядка интегрирования. 14.10. Некоторые примеры Ниже приведено несколько примеров, иллюстрирующих об.ласть применения и точность описанного метода расчета толстых оболочек.
Другие примеры можно найти в работах 11 — 31. Сферический купол под действием равномерно распределенного давления. На фиг. 14.8 показано известное точное решение этой осесимметричной задачи, полученное с использованием теории оболочек. Для решения применялись 24 элемента третьего порядка. Размеры элементов по мере приближения к краям уменьшались. Полученное решение, по-видимому, даже более точное, чем аналитическое, поскольку оно позволяет учесть, приложено давление на внутренней или на наружной поверхности. Цилиндр, нагруженный по торцам. Следующий пример осесимметричной задачи, показанный на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
