Метод конечных элементов (1061787), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Согласно известной теореме Эйлера, для того чтобы в некоторой области $' интеграл ~ (и) = ~ ~ ~ ) (х, р, г, ), †. — . — ) Нх йу йг )! 5,5) ~т принимал минимальное значение, нсобходимо и достаточно, чтобы неизвестная функция ф(х, д, г) удовлетворяла дифференциальному уравнению ~ — — =О 156 дх 1 д(дФ1дх) 1 + ду ~ д(дФ/ду) ~ + дг 1 д(дФ/дг) ~ дФ в той же области при условии, что ф в обоих случаях удовлетворяет одинаковым граничным условиям.
Можно убедиться, что уравнение (15.1) эквивалентно требованию минимизации интеграла ') (15.8) ') На самом деле (15.6) является необходимым условием существовании акстремали функционала (15.5).— Прим. рад, по всей области при тех же граничных условиях для ф. Однако при подборе функций формы нецелесообразно требовать удовлетворения обоим граничным условиям «а» и «б». Хотя условию «а» удовлетворить легко, выполнение условия «б» привело бы к значительным трудностям. Поэтому лучше не накладывать никаких ограничений на значения функций па тех частях границы, где должно быть удовлетворено условие «б», а добавить к функционалу (15.5) поверхностный интеграл по границе, который после минимизации обеспечивает выполнение этого граничного условия.
В общем случае указанный интеграл в уравнении Эйлера имеет вид Яадая~ о стациона~ных ЖАЛ где 5 — поверхность, на которой задано условие аб». Если интеграл (15.8) добавить к выражению (15.5) или (15.7) для функционала т, то после минимизации граничное условие (15.3) будет выполняться автоматически. Читатель, интересующийся подробностями вывода уравнения Эйлера в этой довольно общей форме, найдет все необходимые сведения в приложении 6. 15.3.
Конечно-элементная дискретизация 15.3.1. Оби1ий трехмерный случай Если неизвестная функция ф определена для каждого элемента в обычной форме: Фг Ф=1Ф Ф~." 1 ~' =1У1®'. (15.9) где ф; и т. д. — узловые параметры, то функционал можно минимизировать приближенно. Следуя обычному порядку, вычислим вклад каждого элемента, используя соотношения (15.7) — (15.9). Дифференцируя (15.7) и (15.8), для произвольного узла запишем Ж Г дУ; дЛу ~=~ д„, .,„, ...~(Я' и т. д. дФ вЂ” =Л' и т. д.
дд 1 ' ° у для всего элемента (см. гл. 3) получаем д ~~). = М'(Й'+ Ж' (15.11) Второй интеграл появляется только для элементов у внешней границы, на которой заданы условия типа «б~. Замечая, что Глава й где матрица жесткости 1Ц' г 1 дУ~ дну дУ~ дИ~ дУ~ дЛ' 1 ~1 " дх дх " д д еды дг ~ строится с помощью соотношений (15.9) и (15.10) и Р~= — ~я№шГ+ ~д№сБ+ ~~ж1а№сБ»(йг ~1513) $' з' зе где ~4I = Х Иь Рс =,Е Раз и суммирование, как обычно, производится по всем элементам. Поскольку не известна лишь одна функция, в приведенных соотношениях фигурируют только скалярные величины. Если интерпретировать соответствующие величины как жесткости и силы, то можно провести аналогию с расчетом конструкций.
Анализируя структуру соотношения (15.13) для сил, легко заметить, что первый член соответствует объемным силам в задачах теории упругости. Второй член представляет собой вклад только от границ, на которых задан поток д. В теории упругости ему соответствует поверхностная нагрузка. Если границы непроницаемые 1Т. е. граничное условие имеет внд (15.4)1, то имеет место точное соответствие со случаем свободной границы.
Последний член соотношения (15.13) отражает новое качество. Соответствующая ему ~граничнаяэ> сила пропорциональна перемещениям на границе и, следовательно, К'. Поэтому этот член эквивалентен некоторой присоединенной внешней жесткости элемента ~Ь1'= ~ ~к1~а~У1ше, (15.15) представляемой в виде интеграла по границе. К дополнительной жесткости приводят, в частности, граничные условия для потерь тепла излучением или конвекцией (в задачах теплопро- ВОДНОСТИ). Так как получена полная аналогия с задачами расчета конструкций, далее могут быть проведены стандартные операции. с учетом того, что Л' = Ых до дг. Минимизирующая система уравнений для всей области составляется по общим правилам.
В результате получаем д ~~» = О = М ® + (Р), (15.14) Задачи о стаииокаопых полях На заключительной стадии расчетов можно вычислить не только значения функции ф (соответствующие перемещениям), но и ее производных (соответствующие напряжениям) . Так, если записать дф 1 (15.16) то получим матрицу производных, аналогичную матрице напряжений (2.17) гл. 2. Ясно, что (15.17) Вычисление этих градиентов часто имеет определенный физический смысл, так как в некоторых задачах они характеризуют скорости потока. 15.3.2.
Условия сходимости Поскольку в функционал входят лишь первые производные от ф, то при выборе функций формы требуется удовлетворить только условиям непрерывности функции ф, Кроме того, функции формы должны быть такими, чтобы любые первые производные принимали внутри элемента постоянные значения при соответствующем задании узловых величин (ф)'. Поэтому при решении практических задач можно использовать функции формы, рассмотренные в гл. 7, и соответствующие элементы.
Кроме того, можно применять все криволинейные элементы, рассмотренные в гл. 8. 15.8.8. Неоднородность и анизотропия Интересно отметить, что в минимизируемый функционал не входят производные от коэффициентов теплопроводности (Й„, А„, А,). Поэтому приведенные вьные соотношения в равной степейи справедливы н для постоянных и для переменных коэф- 11 зак, 643 фициентов.
Они могут скачкообразно изменяться от элемента к элементу или даже принимать различные значения внутри элемента, причем это изменение должно учитываться в процессе интегрирования при вычислении матриц элемента. Однако для анизотропного материала дифференциальное уравнение (15.1) справедливо только в том случае, если оси ,х, у и'г совпадают с главными направлениями анизотропии. Фиг. 15.1. Анизотропный материал;, Локальные координаты совпадают с глав- ными направлениями слоев.
При решении задачи для слоистого материала может возникнуть ситуация, когда это условие не будет выполняться 1фиг. 15.1). В таких случаях характеристики элемента следует записывать в локальных координатах х', у' и з', а вычислительная программа должна давать возможность осуществлять необходимые преобразования. При этом возникает одно важное отличие от расчета конструкций.
Поскольку такие матрицы элемента, как, например, Ще в (15.12), связывают скалярные величины, они не зависят от ориентации локальных осей. Поэтому для каждого элемента при желании можно использовать свою локальную систему, причем это не потребует матричных преобразований и не повлияет на стандартную процедуру составления ансамбля. Задачи о схационарных полях ~Я.Я.4. Двудерцдя з~уДпчо Нетрудно записать частный вид общего уравнения (15.8) для двумерных задач, если предположить, что ф не зависит от я. В этом случае уравнение принимает вид д (д д')+ д (д дд)+Π— 0 (15.18) а минимизируемый функционал Получить все матрицы элемента довольно легко.
Например, из (15.12) находятся элементы матрицы Я'. Ад- ~(й, д„' — „д +Й, д ' — ')Иди. (15.20) Обсуждать этот вопрос дальше, очевидно, нет необходимости. Однако„по-видимому, имеет смысл рассмотреть подробнее са- мый простой, по тем не менее очень полезный треугольный эле- мент (фиг. 15.2). Если принять а~+ Ь~х+ с,у Ж;= как в соотношении (4.8) гл. 4, то получим матрицу жесткости в виде Также просто строятся и матрицы нагрузки; например, для Я читатель может получить очень простой (почти очевидный) ре- зультат 1 Юа= —— д ЯЛ з 1 (15.22) Щ 4 Ь~Ьу Симметрично Ь,Ь с с~ с~с~ с~с Фу Ь,Ь + — с;с~ с~с Ь Ь Симметрично с с,„ (15.21) 324 Глава 15 Фиг.
15.2. Разбиение двумерной области на треугольные элементы, Уравнение 115.8) можно записать в цилиндрических координатах и использовать для решения осесимметричных задач, В этом случае дифференциальное уравнение принимает вид (15.23) Соответствующим образом должен быть преобразован и функционал, но проще считать величины й„» и й,» модифицированными значениями коэффициентов теплопроводности и непосредственно использовать приведенные выше выражения. При этом интегрирование лучше всего производить численно, как в аналогичных задачах гл,5. 15.4. Примеры.
Оценка точности Легко показать, что уравнения, полученные в результате объединения выраженных в явном виде жесткостей треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,а), совпадают с уравнениями, полученными известными конечно-разпостными методами 11О). Очевидно, что и решения, полученные этими ме- 3 Фиг, 15,3. Оорязцы регулярного и нерегулярного разбиений. Фиг. 15.4.
Кручение вала прямоугольного сечения. Числа в скобках-более точное решение Саусвелла нрн испольаованнн сетки 12Х!6 (аяа- чеяия величины Ф/бей. тодами, будут одинаковыми и иметь одинаковую степень точности '). Если используется нерегулярная сетка, изображенная на фиг. 15.3, б, то различие между двумя подходами очевидно. Оно касается в основном вектора нагрузки Щ', При конечно-элементной аппроксимации значения узловых нагрузок несколько отличаются от нагрузок при конечно-разностной аппроксимации, но суммарные значения их одинаковы.
Поэтому решения„ полученные этими двумя методами, будут иметь только локальные отличия, а в среднем они будут одинаковы. На фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением конечно-разностных уравнений, наименьшего порядка аппроксимации методом релаксации. Как и следовало ожидать, оба решения дают результаты одного порядка точности. У читателя, вероятно, может возникнуть вопрос: зачем нужно было вводить другой метод, который, казалось бы, повторяет результаты известного и хорошо зарекомендовавшего себя метода? Причина кроется в том, что новый метод обладает рядом несомненных преимуществ. К ним относятся; а) простота исследования неоднородных и анизотропных тел (в частности, когда направление анизотропии переменное); б) возможность использования элементов различной формы и размеров для аппроксимации произвольных границ и для исследования областей сильного изменения неизвестных функций; в) граничные условия для градиента (условия излучения) вводятся естественным образом и с большей точностью, чем в обычных конечно-разностпых методах; г) точность решения можно увеличивать за счет использования элементов более высоких порядков без усложнения граничных условий, чего нельзя добиться при использовании конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка; д) последнее, но очень важное при широком распространении ЭВМ преимущество состоит в том, что для составления ансамбля и решения систем уравнений можно использовать стандартные (предназначенные для расчета конструкций) программы, Для демонстрации достижимой на практике точности приводятся два более сложных примера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
