Метод конечных элементов (1061787), страница 45
Текст из файла (страница 45)
16.2„Непосредственная дискретизация нестационарных задач 16.2.1. Квазигармоническое уравнение для нестаиионарных задач Во многих физических задачах квазигармопическое уравнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, содержит производные от неизвестной функции ф по времени. Для трех.
345 Нестаиианариые и динамические задачи мерного случая мы имеем (16.1) Все коэффициенты этого уравнения, вообще говоря, являются заданными функциями времени: /г =й (1), Я=ф® и т. д.' В некоторый фиксированный момент времени производные от ф по времени и все коэффициенты могут рассматриваться как заданные функции координат. Для этого момента задача совершенно аналогична рассмотренной в предыдущей главе (равд. 15,2) при условии, что выражение в последней скобке уравнения (16.1) трактуется как величина Я уравнения (15.1), Конечно-элементная дискретизация этого уравнения для пространственных переменных уже подробно обсуждалась, и при заданной для каждого элемента величине (16.2) была получена обычная форма определяющего уравнения: (16.3) Вклад каждого элемента в приведенные выше матрицы определяется соотношениями (15.12) и (15.13), которые здесь не приводятся, за исключением слагаемого «нагрузки», обуслов* ленного величиной Я.
Уравнение (15.13) дает Заменяя теперь Я последним слагаемым в уравнении (16.1), получаем Однако из уравнения (16.2) видно, что ~ аппроксимируется с помощью узловых параметров Щ', Подстановка этой аппроксн- мации дает ру ~~~~тцщ+1 ~ р~т~,р~~дг) ~ ~у~ ~е У' щтр[щ р ~ (р~е (16.5) Записывая (16,3) в окончательной форме определяющих уравнений, получаем следующее матричное диФФеренциальное иравнение: [ОИЙ+Я д~ ®+[Я,~, ®+Я=О, (166) в котором все матрицы составляются по стандартному правилу из подматриц [Ь)' и (Р)' для каждого элемента, заданных соот- ношениями (15.12) и (15.13), и сау = МгИУ1 еУ (16.7) Яц ИЯИ~ дКа ,е (16.8) Как видно из приведенных выше соотношений, эти матрицы симметричны.
Граничные условия 'задаются в каждый момент времени, так же как в предыдущей главе. Физических задач„описываемых уравнением (16.1), настолько много, что подробное их обсуждение невозможно в рамках этой книги. Здесь будет приведено только несколько типичных примеров. При р= О уравнение (16.1) является обычным уравнением нестационарной теплопроводности [1, 21, которое было рассмотрено некоторыми авторами с позиций конечных элементов [3 — 61. Это же уравнение описывает и другие физические явления, например консолидацию грунта, связанную с разновидностями нестациопарной фильтрации [8).
При р = 0 уравнение (16.1) превращается в известное волновое уравнение, описывающее обширную область физических явлений. Электромагнитные волны [9), поверхностные волны в жидкости [101 и волны расширения — сжатия [111 представляют собой лишь несколько явлений, к которым был применен метод конечных элементов. При р Ф О и р Ф О уравнение (16.1), будучи волновым уравнением с демпфированием, обладает широкой областью приме. Неетационарные и динамические еадачи ннмости и имеет важное значение для некоторых волновых яв- лений в механике жидкости и газа.
16.2.2. Динамическое поведение упругих конструкиий с линей- ным демп4ированием ') В предыдущем разделе была рассмотрена чисто математическая задача; рассуждение подобного рода может быть непосредственно применено к широкому классу задач о динамическом поведении упругих конструкций в точном соответствии с общими положениями гл, 2, Перемещения упругого тела во времени обусловлены наличием двух систем дополнительных сил. Первую из них составляют силы инерции, которые характеризуют ускорение д'~дР«Й и, согласно хорошо известному принципу Даламбера, могут быть заменены их статическим эквивалентом Д2 — р — И (16.9) (Здесь Щ является обобщенным перемещением, определенным в гл.
2.) Эти силы совпадают по направлению с перемещениями Щ и обычно отнесены к единице объема, а р — масса единицы объема. Вторая система сил обусловлена сопротивлением движению (силы трения). Эти силы могут быть вызваны перемещением микроструктуры, сопротивлением воздуха и т. д.; в общем случае они связаны нелинейной зависимостью со скоростью перемещения д/д1«й. Однако для простоты изложения будет учтено только линейное сопротивление вязкого типа, которое статически эквивалентно силе, отнесенной к единице объема (16.10) Здесь р — некоторый коэффициент.
Эквивалентная статическая задача в каждый момент времени дискретизируется теперь в соответствии с изложенным в гл. 2, причем распределенная сила «р) заменяется эквивалентом (й — р-у-И вЂ” р ~, И ') Для простоты мы рассмотрим только аффекты распределенных сил инерции и демпфирования; сосредоточенные массовые и демпфирующие сцлц получаются предельным переходом.
Глава Е6 (16.12) (16.14) ~тг~~'= ~ ~ИГр~е~1еу. (16.15) ~е Матрица ~т;Д известна как матрица масс элемента, а матрица ансамбля 1М1 — как матрица масс системы. Интересно заметить, что в ранних попытках исследования динамических задач такого типа масса элементов обычно предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что приводило всегда к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс. Тот факт, что подобная процедура в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксимации, был установлен в 1963 г.
Арчером 112) и независимо от него Лекки и Линдбергом 113]. Общее выражение (16.15) получено Зенкевичем и Ченгом 1141. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин «согласованная матрица масс»; эта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете. Узловые силы элемента, заданные уравнением (2.11), при- нимают теперь вид (е~; = — ~ Р 1' (р) е~ — Ю; + ~ 1е1'р ~, ВИ~ + е е ~ д~т, ~ П1ДГ е Здесь первый член совпадает с. силой, обусловленной внешней распределенной нагрузкой (см. гл. 2), и поэтому не будет далее рассматриваться, Аппроксимация перемещений дается соотношением (2.1): ®=1У1®'* Подставив выражение (16.12) в общее уравнение равновесия, окончательно получим следующее матричное дифференциаль- ное уравнение: %1 (й+ ~~1 —, (й+ ГМ1 — „, М + Я вЂ” О, (16.13) где ~К~ и Я вЂ” матрицы жесткости и сил ансамбля, полученные обычным суммированием коэффициентов жесткости и сил эле- ментов, вызванных заданными внешними нагрузками, началь- ными напряжениями и т.
д. Новые матрицы [С~ и 1М1 состав- ляются по обычному правилу из подматриц элементов, задавае- мых в виде ~сц1'= ~ 1у~~'р~ж,|еГ е Оестациояарные и динамические задачи Матрицы [С;Д и 1С) по аналогии могут быть названы согласованными матрицами демпфирования. Следует отметить, что иногда для описания сил инерции нужно использовать функции формы, отличные от функций, задающих перемещения Я. Например, в задачах о пластинах и балках (гл. 10) полное деформированное состояние было задано.
с помощью только поперечного перемещения ы, так как были введены дополнительные гипотезы об изгибе пластины. Однако при учете сил инерции следует рассматривать не только силу инерции поперечного перемещения д'~е Р д~г (где р представляет собой массу, отнесенную к единице площади пластины), но н моменты сил инерции типа и т. д.
Теперь перемеи1ение Я необходимо записать в более общем виде: 1 где Я непосредственно следует из определения матрицы ~Л~, которая задается только компонентой гв. Соотношения, подобные уравнению (16.14), по-прежнему справедливы, если только заменить Я на Я и подставить вместо р матрицу 0 0 Р~ О ф2 О 12 Однако подобный подход применяется редко. 16.2,3. Матрицы масс и демпфирования некоторых типичных элементов Представить в явном виде все матрицы масс различных элементов, исследованных в предыдущих главах, практически невозможно, и здесь будут рассмотрены лишь некоторые частные примеры.
350 Плоское напряженное состояние и плоская деформация. При использовании треугольных элементов, описанных в гл. 4, матрица (Ф) определяется выражением где а,.+ Ьр+с у №= и т. д., [т['=РК $'[[УЯИ[йхйу [и„['= р[[[[ [[ №№~[х~[д. (16.17) С помощью соотношения (4.8) можно показать, что — Л при газ, 1 Ф'Ж,' [[Ь Иу = (6 — А .
при г=з. (16.18) Таким образом, при р1Л=У получаем матрицу масс — О! — О:. :— 0 1 ! 1 2 . =4:! 4 Π— -0 — .-:0 1! 11 1 2! 4! 4 — о:: — о = — о 1 =:! -'. 1 1:. 1 ':. 1 0 — !Π— ',:О 4 = 2 [ 4 (16.19) 1:1 !1 О:: — О! — О 4 14 !2 1[ 1: 1 Π†':0 †:О 4! 4![ 2 где Л.— площадь треугольника, Ф~ задаются соотношением (4.8). Если толщина элемента ~ предполагается постоянной в пределах элемента, то нз уравнения (!6.15) для матрицы масс имеем Нестациоиарнь~е и динамические задачи Если бы масса элемента была равномерно распределена по трем его узлам, то матрица масс имела бы вид 1 О.:'0 О:'.0 О 0 1.='О 030 0 0 0=: 1 О:-'О О О О -.
'0 1: О О (16.20) 0 0.0 О:1 0 О 0:'О'0 0 1 Очевидно, что эти результаты значительно отличаются друг от друга. Изгиб пластины. Колебания пластин представляют юбой весьма важную инженерную проблему. Такие важные явленич, как колебания мостового настила, колебания лопаток турбин и др., приводят к задачам, трудно поддающимся аналитическому решению. Важность использования согласованной матрицы масс вместо матрицы сосредоточенных масс подчеркивается в нескольких работах 115 — 19]. Если.
рассматривается, например, прямоугольный плоский элемент из разд. 10.4, то функции перемещений определяются соотношением (10.16) 1Ж]=1Р][С] ' (16.21) Я = Р, х, у, х~, ху, у~, х', хну, худ, р', хзу, хуз]. Таким образом, для плоского элемента постоянной толщины ~ матрица масс (16.15) принимает вид ~вг Ф~щ ') (Ц~Р~Т~Р1йхйу)~с] ' ° (!6л) Как и ранее, без особых затруднений вычисляется интеграл в круглых скобках, а полная матрица масс может быть получена матричным умножением, В табл. 16.1 приводится ее явное выражение„данное Дейвом 116]. Подобные матрицы масс могут быть получены и для треугольных элементов, рассмотренных в разд.
10.6 и далее, Явные в соответствии с обозначениями гл. 10, Заметим, что 1С] не зависит от координат, а 1Р] определяется выражением Глпап 16 Матрица масс прямоугольного элемента [ п1'= [Ц [Л41 И 3454 — 46! 80 — 46! — 63 80 1226 †2 199 3454 274 — 60 42 461 80 199 — 42 40 461 63 80 1226 †1 274 394 116 116 3454 — 199 40 — 42 — 116 — 30 — 28 — 46! 80 — 274 42 — 60 — 116 — 28 — ЗΠ— 46 ! 63 80 394 — 116 116 1226 199 274 1226 — 274 — 199 3454 116 — 30 28 199 40 42 274 — 60 — 42 461 80 †1 28 — 30 †2 =42 — 60 †1 42 40 †4 -63 80 Здесь д. определяется по табл..10.! и Х = р1аЬ|6300. выражения для этих матриц здесь не приводятся; выполнение алгебраических преобразований предоставляются читателю '). При использовании таких элементов рекомендуются методы численного интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
