Метод конечных элементов (1061787), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Оболочки. Если определены матрицы масс для плоских и изгибных движений некоторого элемента, то может быть найдена матрица масс, отнесенная к общей координатной системе. Правила преобразований в этом случае, очевидно, точно такие же, как для сил. Основные этапы получения матрицы масс для каждого элемента в обгцих координатах и составление матрицы масс для ансамбля аналогичны подобным операциям для матриц жесткости (см. гл, 11). Поэтому в принципе решение задач о колебаниях оболочек не представляет особых трудностей. Матрицы демпфирования и другие.
Приведенные выше примеры, возможно, помогли читателю закрепить некоторые общие идеи. Он легко заметит, что матрицы демпфирования, заданные уравнением (16.14), имеют точно такую же структуру, что и матрицы масс. Различные матрицы, введенные в подразд, 16.2.1 и определяемые равенствами (16.7) и (16.8), также имеют аналогичную форму. Таким образом, после незначительного видоизменения ко всем этим задачам в равной мере применимы результаты, относящиеся к плоскому треугольному элементу, и отпадает необходимость в повторном вычислении.
16.3. Связанные задачи Для задач обоих типов„рассмотренных в предыдущем разделе, полрчены матричные дифферендиалвные уранненнн одина. И Ии егреяь е явном виде приведены в реаоте ~НОР НестаЧионаркьы и динамические задачи ковой формы 1формулы (16.6) и (16.13)). Аналогично могут быть получены уравнения для более сложных задач. Иногда в задачах связанного типа появляются две самостоятельные системы уравнений.
Мы обсудим два таких примера, представляющих значи. тельный практический интерес, 16.3.1. Связанное движение упругой канструщии в жидкой среде (21, 22) . Дифференциальное уравнение, описывающее распределение давления р при малых колебаниях сжимаемой жидкости, имеет вид д2р дйр д2р 1 д2р — + — + — — = — =О дх' ду' да~ с~ д~~ (16.23) где с- скорость звука, а демпфирующие члены (вязкости) опущены. На границе задается или р или величина — = — р — (0) др д2 (16.24) если граница непроницаема и движется, Здесь У„есть нормаль= ная составляющая перемещения. После разбиения жидкой об= ласти на конечные элементы получается уравнение, аналогичное уравнению (16.6): МЫ+И вЂ” „.
(Р)+М =О, (16.26) в котором матрицы 1Н1 и (6) находятся обычйым способом. Матрица Я не содержит вкладов интегрирования по объему, а обусловлена поверхностными интегралами, соответствующими описанным Выше движэниям ~см. уравнение (15.27)~ '). Движение границы (поверхности раздела) обусловлено перемещением конструкции. Если дискретизируется сама конструк* ция, то можно записать Ц„= ~ж~ ®, (16*26) где Д определяется соответствующими функциями формы, а (о) является вектором узловых перемещений.
Согласно формуле (15.13), имеем Ю~=Я д,. ®, (16.27) '1 В более общем случае в уравнение (16,25) может входить член, со. держащий первую производную от р по времени. Например, если в уравнении движения жидкости входят члены, обусловленные вязким трением, или граница не отражает падающие волны давления. Такая граница имеет важное .значение, если область жидкости бесконечна, а при расчете ее нужно ограничить 122). Глава М где ~Я1 ~ ~У~'Р~ж! 4Я. (16.28) Здесь Я вЂ” функции формы, определяющие распределение давления, а Я вЂ” поверхность раздела жидкости и конструкции (фиг. 16.1). После дискретизации задачи строительной механики имеем [К1®+[С1 д ®+[М[ д„®+Я,+Щ=О, (16.29) сти на поверхности раздела. На основании принципа виртуальных работ можно найти, что силы Я, должны быть заданы в виде ~р1 Ят ~д 1 ~~т ~.
1 (16.30) "с 1 ЖЫтасть 4 Юфвв так как = [л'1 Ы* Фиг. 16.1. Поверхность раздела твердого тела и жидкости. Объединяя уравнения (16.25), (16.27), (16.29) и (16.30), окон- чательно получаем связанную систему матричных дифферен- циальных уравнений [н1 [Р)+[о) —,",, (Р)+[з1 —,",, ®=о, (16.31) ИИЧ+[С) — „[М+[М1 —,'„®+ — 'Д ®+Р) =О, которая описывает эту задачу. Некоторые аспекты этой задачи обсуждаются в работах [211 и [221. В частном случае для несжимаемой жидкости (с= оо) второй член первого уравнения становится равным нулю и это уравнение может быть решено непосредственно, что дает Ы=-[нГ'Р1 ~,.
(Й (16.32) Подставив это выражение во второе уравнение, получим обычное динамическое уравнение, в котором к матрице маса где содержатся обычные члены уравнения (16.13), но воздействия разделены на заданные внешние силы ® и силы Я,-, обусловленные давлением жидко- Нестационирные и динамические задачи добавлена матрица присоединенных масс — — ~31 ~н1 Я. (16.33) Р Такая матрица присоединенных масс, впервые предложенная Зенкевичем с сотр. 14, 15~, была введена в разд.
15.5. Сравнительно недавно подобная методика была использована прн определении собственных частот арочных плотин 123~. 16.3 2 Упругое поведение пористого насьиценнаго материала Щ Эта задача встречается в механике грунтов и во многих геотехнических проблемах. В пористой упругой среде давление жидкости в порах вызывает объемные силы, определяемые матрицей дх (16.34) ду др Они уже рассматривались в гл. 4. Подробнее эти вопросы изложены в работе 1251. Если упругая конструкция дискретизируется конечными элементами, то объемные силы вызовут узловые силы д/дх (РЬ- ~Я' аву М Л' И=К!Ы. Па.зв> д/дг где 1л~) — функции формы, определяющие перемещения упругого тела, а М вЂ” функции формы, характеризующие распределение давления ').
В результате для упругой среды мы имеем обычное уравнение дискретизированной задачи Я®+МЫ+М=о, (16.36) где ٠— матрица жесткости, а Щ включает все заданные силы, кроме сил, обусловленных давлением в порах. Переходя к рассмотрению жидкости, содержащейся в порах, следует записать соответствующее дифференциальное уравнение неразрывности. Оно уже встречалось в гл. 15 как типичное уравнение (15.1), но й„, й„, А, являются теперь коэффициентами про- '1 для простоты интегралы ааписываютсп по всей области, аак в гл. 2. Глава 1б ницаемости и Я представляет собой скорость, с которой происходит наполнение жидкости в единице объема.
Для матрицы третьего порядка, связанной с компонентами перемещений, имеем д)д„т Ц = — ' — ( — + — + — ) = — — д/ду )Ш~ )6), )16.37) д/да Из уравнения (15,1) с учетом (16.37) получаем (Н~(р)+Я вЂ” ® =О, (16.38) и так как сила Я определяется уравнением (15.13), то д/дх 1 ))))' 0 ~))' = 1 )))~)' д)др Я ~))' —,', )))). ))639) д/дг Использовав несколько иной подход, Саиду и Уилсон 1241 впервые дискретизировали эту задачу с помощью конечных элементов, Физические аспекты этой задачи обсуждаются в работах [26, 271.
Обычное уравнение консолидации, которое имеет форму (16.1) (без вторых производных по времени), является частным случаем более общей формулировки. Выше предполагалась, что жидкость несжимаема. Если же в задаче учитывается и сжимаемасть жидкости, то в уравнении (16.38) появляется дополнительный член вида (16.41) Такое обобщение позволяет рассмотреть нестационарные задачи частична насыщенных грунтов.
Уравнения (16.36) и (16.38) образуют связанную систему совместных матричных дифференциальных уравнений. Эти уравнения аналогичны системе (16.31), полученной для связанного динамического взаимодействия жидкости и конструкции. Если пренебречь сжимаемостью жидкости, то эти системы будут иметь одинаковую форму. Следует заметить, что из формул (16,35) и (16.39) формально следует, чта д ~цт (16АО) Нестационарнае и динамические еадачи 16.4.
Другой способ учета временного эффекта В предыдущем разделе различные задачи были сведены к матричным дифференциальным уравнениям относительно времени. Это осуществляется достаточно просто и не требует новых принципов. Однако возможны и другие подходы. Во-первых, к дифференциальным уравнениям, описывающим задачу, может быть непосредственно применена процедура Галеркина (или другой весовой метод минимизации невязки), обсуждавшаяся в равд. 3.4. При описании неизвестной величины функциями формы, зависящими не только от пространственных координат, но и от времени, т. е. ф = ~Ж (х, у, в, ф (Ф), дискретизация задачи может быть произведена пространствен. ными и временными конечными элементами ~6, 28). При этом задача становится четырехмерной, но в принципе численное решение может быть получено обычным методом после непосредственной дискретизации на произвольном интервале времени 1~ с ' 1 <" .1р.
Во втором подходе применяется вариациониый принцип по . :пространственным переменным и времени. Вариационные методы, использующие свертку интегралов, описаны Гэртином ~29) и успешно применены в работах ~5, 241. На основе этих методов могут быть также построены пространственные и временные конечные элементы. В простых динамических задачах вариационный принцип непосредственно следует из принципа Лагранжа, Ищется стационарное значение интеграла Фа в котором Ь=с'+ ят+Т, (16.43) где У+ В' — сумма энергии деформации и потенциальной.энер; гни, которая была уже введена в гл, 2, и Т вЂ” кинетическая энергия системы, Величина Ь называется функцией .Тагранха ~30). Несмотря на то что такие подходы обладают достаточной : общностью, они не будут подробно рассматриваться. Упрощенный вариант процедуры Галеркина в следующем .разделе будет непосредственно использован для уравнений дискретизированной задачи.
16.5. Рекуррентные соотношения для решения задач Коши В матричных дифференциальных уравнениях, полученных в предыдущих разделах, значения функций и, если необходимо, 16Х1. Задачи, описываемые дифференииальными уравнениями первоео порядка по времени Типичной для этого класса является задача, определяемая уравнением (16.6) при Щ = О: 101И+ ~С] — „Ж+(Р) =О, (16.44) Мы рассмотрим интервал О ~ 1 ~ 1, обозначая через (Яа начальные значения при 1 = О. В общем случае предположим, что в пределах этого интервала вектор (ф) интерполирован по его некоторым значениям: (Ф),Х ю (~) ж, (16.45) где Ф~ (1) — соответствующие функции формы, непрерывные в пределах рассматриваемого интервала. Например, если интерполяция линейная, то следует рассмотреть лишь начальное значение ~ при 8 = О и значение при 8„ = Ы (и = 1), т.е.
в матричной форме (16Аб) их первых производных по времени, заданные в начальный момент времени, однозначно определяют эти функции на определенном интервале времени. Задачи такого класса, известные как «начальные» или «шаговые~, могут быть решены с помощью подходящих рекуррентных соотношений 1Ц. В некоторых простых случаях такие рекуррентные соотношения приводят к точным решениям ~31. Эти случаи не будут рассматриваться в дальнейшем. Рекуррентное соотношение может быть установлено различными способами. Например, может быть непосредственно использована разностная схема или применен метод Галеркина для минимизации невязки в пределах каждого интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
