Метод конечных элементов (1061787), страница 50
Текст из файла (страница 50)
таниими. Буквами (с) н (а) обозначены симметричные и аитисимметричные моды. Решение подобной задачи иллюстрируется на фиг. 17.2, При решении проверялась эффективность экономичного метода определения собственно(х значений Видно, что при сокращении числа степеней свободы с 90 до 6 первые четыре частоты изменяются очень мало. В литературе так много примеров расчета колебаний пластин, что нх невозможно перечислить. 1 '2 3 4 5 6 8 9 ГО 11 12 3,5Э 14,50 21,70 48,10 60,50 .
92,30 92,80 118,70 125,10 154,00 176,00 196,00 3,44 ! 4,76 21,60 48,28 60,56 88,84 92,24 117,72 118,96 3,44(с) 14,77 (а) 21,50 (с) 48,19 (а) 60,54 (с) 91,79 (с) 92,78 (а) 119,34 (с) 124,23 (с) 153,15 (а) 174,46 (с) 199,61 (с) Динамические задачи. Полуаяалитичвское исследование З79 Расчет с учета и Всех степеней сео аводы с Уд~ Исключены степени сВободы увоз, не опумечепнь!х ~дужками.
Число основных пермещенийГчоп) =Ж Исключены Все сп7епени свободы кролепоперо |них перел|ещений обВеденных кружками иалоЕ. Исключены Есе степени сеободы крол|е поперечных иерем е щений обееденных крижкмии узлоб чоп =В Фиг. !7.2. Исключение степеней свободы при определении собственных частот квадратной консольной пластины. 17,о.2.
Плоская задача о' колебаниях На фиг. 17.3а и 17.36 приведены результаты расчета Клуха и Чопры 1101 колебаний сечения земляной дамбы. При расчете использовались простые треугольные элементы. 17Х8. Колебания оболочек Очевидно, что изложенный метод можно применить при решении любых двумерных или трехмерных задач для упругой сплошной среды. В частности, большой интерес представляют задачи о колебаниях оболочек. В противоположность предыдущему простому примеру на фиг.
17.4 приведены результаты использования сложных элементов толстых оболочек, описанных в гл. 14, при решении задачи о колебаниях турбинной лопатки 111, 12]. Показанные на фиг. 175а и 17.56 элементы такого же типа используются для динамического расчета арочной плотины. Фиг. 17.3а. Конечно-элементная идеализация земляной дамбы. Фиг. 17,36.
Моды и частоты собственных колебаний земляной дамбы !!01. Иода 1ш= 1,7!рад/с Мода Ъц = ! 2,52раВ/с Мой. Уш =14,бОрад~с Иодами ы=!9,3!раВ/с М7гу Х ь = 20, ! 2 рад/с Иода 6 м= 23,!Орсс/с Иа8а Чси=2З,75рсд/с Иода В ~о= 25,95рзВ/с Лорне4Ьн 'сечение в Вид сделку а Фиг.
17.4. Колебания турбинной лопатки, рассчитынаемой как толстая оболочка. а — элементы параболического тица; б — моды н частоты. Сравнение с экспериментом. Мода 1 — 1-я форма поперечных колебаний. Измеренная частота 617 Гц. Вычисленное значение 618 Гц. Мода 2 — 1-я форма поперечных колебаний вдоль кромки.
Измеренная частота 1326 Гц. Вычисленное значение 1692 Гц. Мода 3 в 1-я Форма крутильных колебаний. Измеренная частота 2885 Гц, Вычисленное значение 2686 Гц, Моди 4 — 2-я форма попереч- ных колебаний. Измеренная частота 2510 Гц. Вычисленное значение 2794 Гц. Фиг. 17.ба. Сетка 3 Х 3 параболических толстых оболочечных элементов, ис- пользованная для расчета колебания арочной плотины. Фиг. 17.56. Первая мода; частота 2.20 Гц. Динамические задачи.
Полуаналигическое исследование 385 Некоторые другие примеры динамического расчета оболочек содержатся в работах 113 — 16!. В работе 171 используются трехмерные изопараметрические элементы. 17.5.4. Волновое уравнение. Задачи элентромагнетизма и гидродинамики Как было показано в предыдущей главе, основное уравнение динамики (17.1) может описывать разнообразные задачи, не связанные с расчетом конструкций. В задаче о собственных значениях матрицы массы и жесткости могут иметь другой физический смысл. Частным случаем рассмотренных ранее общих уравнений является известное волновое уравнение, которое для двумерных задач имеет вид дтФ д'Ф 1 д'Ф вЂ” + — — = — =0 дха ду' се дР (17.28) Если граничные условия не оказывают возмущающего действия, получаем задачу о собственных значениях, встречающуюся а различных областях физики.
Сначала рассмотрим ее применительно к теории электромагнитных полей 1171, На фиг.17.6 показаны моды поля в задаче о волноводе. При расчете использовались простые треугольные элементы. Более сложная задача о трехмерных колебаниях рассмотрена в работе 117~. Аналогичное уравнение довольно хорошо описывает поверхностные волны в некотором об'ьеме жидкости: + — — '=О !,17 29) Фиг !7о серповидный волиовод' моды д дР электромагнитного поля. а — наружный диаметр; 00'=1,Я; г 0,2Ы; Здесь й — средняя глубина, 3 е0,0000~ 0~2~. ~ — превышение уровня воды над средним и !Π— ускорение силы тяжести. С помощью этого уравнения нетрудно подсчитать собственные частоты воды в гавани 118~.
На фиг. 17.7 показана форма колебаний воды в одной из гаваней. Колебанигг Бассейна Фиг. 17,7. Колебания аоды в естественной гааанн. а-план; б-линни уровней амплитуд, .О „И Фиг. 1?,8. Колебания объема жидкости при наличии свободной поверхности. Расчет трехмерной задачи с исполыованием параболических элементов. О амалнту,!а ааалення„ П емена знака- Глава 17 17.б.о. Связанные задачи гидродинамики Эта задача была сформулирована в предыдущей главе. В случае отсутствия возмущающей силы и демпфирования опять возникает задача о собственных значениях. Если жидкость несжимаема, то следует просто ввести матрицу присоединенных масс.
В гл. 15 довольно подробно рассматривался вопрос построения такой матрицы, так что добавление ее не представляет особых затруднений. Этот подход к решению задачи впервые описан Зенкевичем и др. 1191 н впоследствии был использован Баком и др. 1201. При учете сжимаемости жидкости задача несколько усложняется, поскольку колебания жидкости и конструкции взаимосвязаны. Простой пример двумерной задачи, иллюстрирующий взаимодействие идеализированной плотины и жидкости, представлен на фиг.
17.8. Этот пример показывает эффективность использования различных разбиений на элементы 122~. При сведении связанной задачи к обычной задаче о собственных значениях целесообразно использовать специальные преобразования. Некоторые такие преобразования описаны в работе (2Ц. Другой метод вычислений изложен Айронсом 123~, 17.6.
Решения нестационарных задач. Метод нормированных собственных функций В предыдущей главе обсуждалось решение нестационарных задач с помощью различных рекуррентных соотношений. Однако если известны собственные частоты и собственные функции системы без демпфирования, то сравнительно нетрудно определить реакцию на неустановившиеся воздействия системы с демпфированием, которая описывается уравнением (17.1). Этот метод изложен во многих учебниках. Хотя и приближенно, он позволяет вычислить реакции на такие сложные воздействия, как толчки при землетрясениях и др.
(20„24, 25~. Рассматривая опять основное уравнение (17.Ц (КЦЦ+(С1 —,', (б|+(М~ —,",,®+(~(И =0, отметим, что любое движение можно представить в виде линейной комбинации собственных функций (бф, полученных в результате решения задачи о собственных значениях ( (К) — а2 (М1 ) (ЬО1 = О. (17З) Таким образом, можно записать ®=1(Ч„(Ч., ", (Ч.1( З=М( Ь (17.З0> динамические задачи.
Полуаналитическое исследование где матрица [Ле1 содержит все собственные функции (нормированные), а (г(1)) — коэффициенты пропорциональности при собственных функциях. Если теперь подставить (17.30) в (17.1) и результат умножить на [Лдт, то получим Р 1' КПЛе1 (4 + [ЛЛСЦЛ [ —, (4+ + Ь Г[М) Р4 —,[~)+ М~М =О. (17.31) В соответствии со свойством ортогональности [см. 17.Щ О при !Ф~, (б.)," [М1 (б„.), = 1 при ~=!.
Кроме того, по определению и1 [Ч,. =, [м[(Ч,. Следовательно, Й Ак[Й Ь= Если также пред!!оложить !), что выполняются соотношения 0 при !ФЬЮ, (~.)',[~1(~.Ь=~,„т, то система (17.31) будет содержать только диагонамиые члены. Следовательно', при нормированных собственных функциях получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений с! ~Р т а!г!+ 2а!с! Жя!+ ~,$ я! = — 801, (Р), (17.32) ° . ° * и и+ аасЦ л+ сЦ2 и (О,! И сР т Каждое из этих уравнений решается элементарно, а затем с помощью соотношения (17.30) строится полное решение. Этот метод особенно удобен, если все силы (Р(1)1 одинаково меняются со временем. Если, например, основание конструкции движется с ускорением 0(1), то можно считать, что это основание неподвижно, а к самой конструкции в узлах (фиг.
17.9) приложены силы — [И) (Л) К (17.33) ') Это предположение является обоснованным, так как в предыдущей главе было показано, что матрица 1С) по форме аналогична матрице 1М1, Глава 17 Матрица (А) характеризует геометрические соотношения между ускорениями узлов и величиной б (если направление У совпадает с направлением одной из координат, то она состоит из единиц и нулей). иепо36ижное основание Фиг. 17.9. Эквивалентность движения основания действию силы.
Типичное дифференциальное уравнение можно записать в виде а2 (17.34) ,где (17.35) Решение уравнения (17.34) имеет простой вид г,'= ~ Ёщв ~' ' 1)па, о — г)ыт о7.36) о и его можно вычислить для любых типов движения. При расчете конкретных конструкций необходимо знать весовые множители Р;, вычисление которых можно предусмотреть в программе решения задачи о собственных значениях.
С помощью уравнения (17.34) рассчитывались реакции системы с одной степенью свободы на воздействия сейсмического характера. Часто можно видеть, что поведение системы определяется небольшим числом собственных функций н что для определения максимальной реакции достаточно сложить максимальные реакции, соответствующие этим собственным функциям.
Линамические задачи. Х?олуаналитичеекое исследование ЛИТЕРАТЬ РА 1. СгапдаИ 8. Н., Епфпеег1щ Апа1уь1ь, Мсбгаъ.-Н111, 1956. 2. %11Ыпьоп Х. Н., ТЬе Л1аеЬга1с Е!депча1ие РгоЫет, Ох1огд 1.!пав. Ргезз~ 1965. За. Сох Н. 1., Ч1Ьга11оп о1 М!ьь11еь, Ягсга11 Еид., 33,' 2 — 7, 48 — 55 (1961). ЗЬ. Лепи!пд Л., Ха!ига! Ч1Ьга!!оп о1 а Ггее 51гцс1цге, А1гсга1г Ела., 34, 81 — 83 (!962).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
