Метод конечных элементов (1061787), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Одним из существенных недостатков методов переменных параметров является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицы жесткости и решать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становится очень неэкономнчным и более приемлемыми оказываются другие методы, которые описаны в следующем разделе.
18.2.3. Методы начальных напряжений Если определяющие уравнения разрешимы относительно напряжений, т. е. (18.3) имеет вид (с~) = ~ Яв)), (18.7) то соотношение (18.2) для упругого материала можно привести к форме (18.7), задавая соответствующим образом (оо). Так как 1оо) влиЯет на силы Щ, пРиходим к Решению УРавнениЯ ®=%о! М вЂ” ~ИМ) =О* (18.8) Итерационный процесс проводится следующим образом. Сначала находится (М = МоГ' Ио)* где (Ро) соответствует приложенным нагрузкам. Определяются напряжения (оо)ь необходимые для приведения упругого решения в соответствие с реальными напряжениями при достигнутых деформациях. Далее с учетом начального !напряжения с помощью соотношения (2.13) находится Щ и 6пределяется (ЬД=~Ко! ЯД и т.
д. Физически иелиней ые задача Процесс продолжается до тех пор, пока решение не перестанет изменяться ') . Другой удобный метод состоит в определении только изменений (Й~, обусловленных изменениями требуемого начального напряжения, В этом случае (бо) находится, как и ранее, но Ь(6Д=Щ 'ЬЯД и т. д. и итерации продолжаются до тех пор, пока величина Л(6~ не станет достаточно близкой к нулю. При вычислениях более удобен последний подход, который, кроме того, имеет ясный физический смысл. На каждом этапе во всех точках конструкций определяется разность между истин- ныли напряжениями при соответствующих деформациях и напряжениями, найденными из упругого решения.
Эта разность напряжений затем перераспределяется в соответствии с упругим законом, чтобы восстановить равновесие, и поэтому метод первоначально получил название метода перераспределения напряжений Щ. Величину силы Л Я)„, вычисленную на и-м шаге итерации, можно физически интерпретировать как неуравновешенную не- вязку силы в конструкции, и, следовательно, она является удобной мерой ошибки. В этом методе на каждом шаге итерационного процесса используется одна и та же матрица жесткости, и если она поблочно обратима, то время, необходимое для каждой итерации, составляет лишь небольшую часть времени, затрачиваемого на получение первого приближения.
Теперь возникает вопрос, какие упругие постоянные следует использовать для определения матрицы (Ко1, Если поведение материала в основном описывается соотношениями линейной теории упругости и отклонения от линейно-упругого поведения локализованы, то естественно использовать начальные значения упругих постоянных. Однако если нелинейность проявляется для всех напряжений, то для ускорения сходнмости можно рекомендовать скорректировать упругие постоянные после первой итерации.
18.2.4. Методы начальных деформаций В некоторых задачах, особенно в задачах ползучести, действующие напряжения нельзя выразить в явном виде через де- ') Описанный метод носит название метода упругих решений, См. А. А. Ильюшин, Пластичность, ГИТТЛ, 1948. — Прим. реД. формации. С другой стороны, в этих случаях можно определить деформации (или приращения деформаций) через напряжения„ т. е.
установить соотношение типа (4 = ~((4) (18.10) Совпадение соотношений (18.10) и (!8.2) может быть достигнуто при соответствующем выборе (ео). Уравнение (18.8) опять решается итерационным методом, но теперь упругие деформации, получаемые на каждом шаге, сравниваются с деформациями, соответствующими определяющему соотношению (18.10), Фит 18Л Методы начальных деформаций и начальных напряжений.
Раамят- чающийся (а) и аатаердевающий (б) материалы. и их разность используется для оценки иевязки силы Л Щ„. В остальном процесс идентичен описанному выше, и, в частности, матрица жесткости остается постоянной на любом шаге, В некоторых законах ползучести (см, разд. 18.7) дополнительные деформации (деформации ползучести) явно отделены от упругих деформаций и, следовательно, при каждой итерации определяются непосредственно дополнительные начальные деформации. Различие между методами начальных напряжений и начальных деформаций лучше всего, вероятно, проиллюстрировать графически. На фиг.
18.1 уровню напряженно-деформированного состояния, полученному в первом приближении, соответствует точка 1. В методе начальных напряжений полученные напряжения уменьшаются до правильного значения введением некоторого начального напряжения Ь(по)ь тогда как в методе Физически иетнейные задача 399 начальных деформаций значения деформаций корректируются поправочным членом Л(еф. Ясно, что когда с ростом напряжений деформации быстро увеличиваются, предпочтительнее использовать первый метод, а когда справедливо обратное утверждение (затвердевающие материалы) — второй. 18.2.о, Ускорение схооимости Методами начальных напряжений и начальных деформаций можно получить окончательное решение, если правильно подобрать значения (а0) или (е0).
Однако описанные процессы подбора не всегда обладают быстрой сходимостью. Исследуя сходимость в процессе вычислений и вводя на каждом этапе дополнительные поправки, ее можно ускорить. Одна из таких процедур в общих чертах описана в работах )2а) и ~2б). Однако инженер, составляющий. программу, может проявить здесь свою изобретательность.
Любой метод является вполне законным, если окончательное решение удовлетворяет всем требованиям. 18.3. Математический подход На этой стадии важно пересмотреть всю проблему в целом с математических позиций [3]. Читатель, несомненно, знаком с методом Ньютона решения нелинейных уравнений с одной переменной х вида Если приближенное решение х достаточно близко к точному, но в то же время ф(х„) Ф О, то его можно уточнить, полагая Хп+1 хп + ~-~хп+ь Ф (Хп) Ьх +,=— и й)п дх Сходимость метода Ньютона графически показана на фиг. 18.2,а. Можно поступить по-другому и на каждом шаге использовать некоторое постоянное значение величины — х ('Ф)0 тогда поправка принимает вид ф (Хп) ~-~хи+1 Й)0 фх Глава 1В Такой процесс, изображенный на фиг.
18.2,6, обычно сходится медленнее. Ясно, что эти же идеи легко обобщить на нелинейные уравнения со многими переменными. В этом случае процесс известен как метод Ньютона-Рафсона, который в свою очередь может быть модифицирован аналогично тому, как это сделано выше. Очевидно, что методы переменной и постоянной жесткости, рассмотренные с общих позиций в разд. 18.2, относятся к этим двум категориям. фиг. 18.2. Итерационный метод Ньютона (а) и метод с использованием постоянного наклона (6).
Для проведения дальнейших выкладок удобно вернуться к основным уравнениям метода конечных элементов, полученным из принципа виртуальной работы в гл. 2. Уравнения (2.28) представляют собой уравнения равновесия, полученные из условия равенства изменений внутренней и внешней работ. Если ® представляет собой вектор суммы внутренних и внешних сил, то можно записать где вектор (Я содержит все внешние силы, обусловленные приложенными нагрузками.
Если для вариации деформаций справедливо соотношение И(а) =Яд ®, (18.12) то, исключая 0®т, получаем справедливое в общем случае соот- ношение Физиыески нелинейные задачи 401 в котором (о1 — истинные напряжения, зависящие от достигнутого уровня деформаций. Если деформации малы, то ٠— зависящая от координат матрица деформаций, которая уже была определена ранее в гл. 2. Если молсно установить зависимость (о) от деформаций и, следовательно, от перемеи1ений, то задача сводится к решению нелинейного уравнения 'Ф ((б)) = О. Оа атом заканчивается постановка задачи.
Рассмотрим теперь вариацию (ф по 461, которая имеет вид в И1 = ~ [в~ч (о1 вг, (18.14) так как Я не зависит от (о) и с((ф=О. Если записать а (а) = Рт ((а))1 а (в), (18.15) гДе (Пт1 — матРиЦа УпРУгих постоЯнных ДЛЯ пРиРаЩений (или касательных модулей), то, используя соотношение (18.15) вместе с (18.12) „можно переписать (18.14) в виде а И) = [ВГ 1Вт ((в))ИВ1 Ж~ г1 Я =1Кт] й Я. (18.16) Если теперь применить метод Ньютона — Рафсона, начиная с некоторого приближенного решения (о)„, которое не обращает в нуль значения Щ„, то можно получить соотношение для поправки к этому решению Л®., = — 1К 1. И)„. где 1Кт1„ — матрица касательных упругих постоянных, определенная для перемещений и деформаций, соответствующих приближенному решению Я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
