Метод конечных элементов (1061787), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если Р «О, то поведение материала упруго и дополнительных итераций не требуется. Если 1' =» О, то вычисляется значение Р в начале интервала и путем интерполяции Физически нелинейные задачи 407 определяются приращения упругих деформаций и напряжений в окрестности точки на поверхности текучести. С помощью соотношения 118.25) находится приращение упруго-пластического напряжения, соответствующее определенному таким образом упругому напряжению'). Напряжение в момент начала текучести после добавления упомянутого выше приращения сравнивается с определенными ранее полными напряжениями, а разность используется в качестве начального (поправочного) напряжения.
в) Далее вычисляют невязки сил и получают упругое решение, дающее новую величину полного напряжения. Если невязки сил меньше некоторого значения, то процесс заканчивается. В противном случае: г) повторяются этапы «б» и «в» и т. д. На каждом этапе полные напряжения должны соответствовать поверхности текучести. Упруго-пластическая матрица определяется по значениям напряжений, при которых Р = О, или изменяется в процессе итераций.
Во всех приведенных примерах описанный итерационный процесс использовался без ускорения сходимости. При этом наблюдалась довольно быстрая сходимость (5 — 15 циклов). Медленная или плохая сходимость является обычно признаком критического состояния конструкции. Полученная ранее упруго-пластическая матрица относится к общему случаю трехмерной сплошной среды. Для двумерных состояний необходимо привести ее к специальному виду. Например, для плоского напряжеяноао состояния это достигается простым вычеркиванием в (18.24) столбцов, соответствующих нулевым компонентам напряжений.
В случае плоской деформации должны учитываться все напряжения, но обращаются в нуль соответствующие компоненты деформаций. В работе [9) выполнены соответствующие преобразования и приведены явные выражения для матриц. Интересно отметить, что в этих случаях даже при идеальной пластичности диагональный член, соответствующий А, отличен от нуля. Пластина с отверстием из упрочняющегося и неупрочняющегося материала. На фиг 18.4 показаны форма пластины и простые треугольные элементы. Получено решение задачи в предположении плоского напряженного состояния как для идеалыю пластического, так и для упрочняющегося материалов. Использовался критерий Мизеса с линейным упрочнением 1по') Поскольку приращение нагрузки конечно, возможно, что определенные с помощью формулы (!8.25) упругие напряжения будут несколько превышать предел текучести.
Это проверяется, и в случае превышения предела текучести напряжения уменьшаются так, чтобы они находились на поверхности текучести. Фиг. И4. Растяжение полосы с отверстием (плоское напряженное состояние). а — Разбиение иа конечные элементы (149 элемеитоа, 94 узла); б — пластические зоны для различных отношений и ~й, идеальная пластичность, Е=б,ай ° !Ом Н(м", т=0.2, сред~ р и = 2,36-10з Н1м' в — то ьте, что и па б. ио для упрочияюи1егося Матсриала. Постоянный У наклон И7Е=0,032; а — нагрузка 0,98 приложена за один этап. Упрочняющийся материал.
Физически нелинейные задачи стоянное и' в 118.31)~. Зоны пластичности при различных нагрузках показаны на фиг. 18.4, б и и, Хотя соотношение пластичности справедливо только для приращений, метод начальных напряжений при приложении всех нагрузок за один этап приводит к ре|пению, удовлетворяющему условиям равновесия и не превышающему напряжений текучести. Такое решение для очень большого приращения нагрузки показано на фиг. 18.4, г.
Интересно отметить, что, несмотря на нарушение законов для приращений деформаций, пластические зоны 1урактически не изменились. О М ~О Уй 2П Яй УО г~ 4О Ге/%~ Фиг. 18.5. Пластина с отверстием; унрочняющийся материал, Н'/Е = 0,032, Максимальная деформация в точке начала текучести. Приращение нагрузки = = 0,2 К нагрузка, соответствующая началу текучести.
— экспериментальные результаты теокарнса и Маркетоса Пан О метод начальных напряжений; д метод переменной жесткости П41; Л решение для одного этапа иагруже- иия в пластической области. Важно также отметить, что, как видно из фиг. 18.5, максимальные деформации в точке начала текучести по гги совпадают с определенным методом приращений. Там же проведено сравнение с экспериментальными результатами и с результатами, полученными методом переменной жесткости 114), Консольная балка — циклическое нагружение. На фиг.
18.6 показана находящаяся в условиях плоского напряженного состояния консольная балка, для материала которой справедливы законы идеальной пластичности Мизеса. Нагрузки отнесены к критической нагрузке, определенной по элементарной теории пластического шарнира. На фиг. 18.7 показан первый цикл нагружения для иллюстрации способности метода правильно описывать упругое поведение при разгрузке.
Заслуживают внима- и и Фиг. 18.6. Консольная балка. Плоское напряженное состояние, идеальная пластичность. Пластические эоны для различных отношений Р/Р, 1,Р. — критическая нагрузка, вычисленная по балочной теории пластичности). -12 -48 -ОЫ -04 -4Я 0 ОЯ 04 ОО Од Оврв,ивщвнав и 0 О 1 0 1 -1 0 0 ОВ вчвние АА Овчанив Фиг. 187. Консольная балка, показанная на фнг, 18.6.
а-перемепгенин при изменении знака нагрузки; б — распределение напряжений и «и ка. Х У различных атаках разгрузки. О при начале текучести; Х при максимальной нагрузке; ах ори максимальной нагрузке с обратным знаком; П остаточные напряженна. Физически нелинейные задачи 411 ния показанный на фиг.18.7, а «гистерезис~ перемещения и остаточные напряжения после снятия нагрузки, обусловленные пластическим деформированием. На фиг. 18.8 представлено графически изменение перемещений при возрастании нагрузки.
По мере приближения к критической нагрузке требуется все большее число итераций, и при Р!Р, = 1 процесс не сходится. Таким образом, хотя нелинейное решение дает возможность найти нижнюю границу критической нагрузки (путем удовлетворения условиям равновесия и текучести), метод приращений нагрузок не позволяет установить ее истинную величину. Для лучшего описания критического поведения балки проще задать некоторые перемещения в точке приложения нагрузки и затем увеличивать их, пока реак- 0ла7емюа нее ция в этой точке не пере- И нижнее станет возрастать.
Этот Ф~"'""~" прием рассмотрен в следую-, щем примере. Пластическое течение ~ ' 0.6 при резании металла. На ~. 4 ~.0 4 фиг. 18.9а показана идеализированная схема обработ- ~ ки металлической заготовки резцом, снимающим с нее стружку. Хотя в дей- 0 02 04 00 Ю И леремеи~ееие Е 0 ствительности эта задача связана с большими пере Фиг. 18.8, Кансольная балка. Зззисимещениями, решалась упро- мость пеРемещени" от Р!Рс. щенная упруго-пластическая задача о поведении тела определенной формы при заданных постоянных перемещениях вертикальной поверхности.
На фиг. 18.96 показаны пластические зоны, распределение нагрузки и полная нагрузка на резец, Видно, что вследствие идеальной - пластичности материала при определенных перемещениях нагрузки увеличиваются до некоторых постоянных значений. При этом возникает критическое состояние, соответствующее отделению стружки, В рассмотренном примере только этот заключительный этап имеет практическое значение, Материал Мора — Кулона. Туннель.
Сходные с пластичностью явления наблюдаются во многих материалах, таких, как почва, скальные породы, керамические материалы и бетон. В них также может происходить необратимое деформирование при почти постоянных напряжениях. Однако поверхность текучести для этих материалов зависит не только от девиаторных (сдвиговых) напряжений, как в законе Мизеса, но и от величины среднего напряжения, Глава 18 нос в Фиг, 18.9а. Приближенное описание процесса обработки металла путем задания эквивалентных перемещений в месте среза.
д — одноосное напряжение те- кучести. Форма детали и пластические зоны. Известный критерий Мора — Кулона, определяющий максимальное -сдвиговое напряжение на произвольной площадке в виде т=С+а„1п ф, (18.32) где С вЂ” сила сцепления, о„— нормальное напряжение'и Ф— угол внутреннего трения, можно приближенно записать в более удобной форме, предложенной Друкером 1191: Р = аУ, + ~/Уз — К = О, (18.33) где У1 — первый инвариант тензора напряжений У~ —— о„+о„+о„ У2 — второй инвариант У2 — — — 1(о, — о„)'+ (о„— о,)2+ (о — о,,)а~ + т~„+ тв, + т2„, а и К вЂ” постоянные, зависящие от сцеплении и внутреннего трения материала. Постоянные, входящие в (18.33), связаны с Физически нелинейные задачи 413 Ю 8 йремещеное 0 Я 4 6 8 10 б~у/Ф Расгределеиие дадлелия одела АВ Фиг.
18.96. Приближенное описание процесса обработки металла. Зависимость полной нагрузки от перемещения и распределение давления на резец. величинами в (18.32) соотношенинми 2з1п Ф Ъ~З (3 — з1пФ) бС соз Ф ~/3 (3 — з1п Ф) Другие возможные формы критериев подробно обсуждены в работе [201, однако для иллюстрации метода вполне достаточно рассмотреть форму, предложенную Друкером. Если в дополнение к предположению о существовании такой поверхности текучести использовать ассоциированный закан, то Глаеа И задачи расчета конструкций из подобных материалов можно решать с помощью описанных ранее методов. Ка фиг.
18,10 показана решение задачи о пластических зонах около туннеля, возникающих за счет перераспределения напряжений в резуль- Паоерхнасть мжаи Вертпикапьнае иряилм1~ачиа* = 4т Фнг. 1810. Подкрепленный туннель. а — разбиение на 153 элемента с 94 узламн. Подкрепление.: Е 2,О2 ° 10" Н1и', т=.,15. Грунт: Я=3.4 ° 1О' Н/и', и 3,20, С= 9,5 ° 10~ Н~м', 4 30ч. Начальное напряжение о уй с началом при и=124 М.
а 0,99И, т 6,9 ° 10" Н/м', б — пластические зоны. хо тате выемки грунта. Аналогичные задачи рассмотрены в работах 19, 15, 21 и 221. Основная трудность решения таких задач связана не с вычислениями, а с формулировкой соответствующих определяющих уравнений. В час1ности, для материалов Мора — Кулона ассоциированный закон, как правило, не выполняется [231. Их 415 Физически нелинейные задачи поведение описывается так называемыми неассоциированными законами. В соответствии с простым предположением, сделан- ным Денисом 124$ пластические деформации удовлетворяют со- отношению д (а) р —— л. ~В,, ((а1)~ (18.34) где 1Й4 — матрица, зависящая от уровня напряжений, сходная по структуре с матрицей упругости.
Повторив описанные соотношениями (18.20) — (18.26) действия, получим новую упруго- пластическую матрицу, которая уже не будет симметричной [25). Однако метод начальных напряжений применим и в этом случае. 18.5. Материал, работающий только на сжатие , Гипотетический материал, способный выдерживать только сжимающие напряжения и не сопротивляющийся растяжению при деформировании, во многих отношениях аналогичен идеально пластичному материалу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
