Метод конечных элементов (1061787), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4. 1гопв В., Еленка!це Есопопиьсгв 1и Ч1Ьга11оп РгоЫешз, Х. Яоу. Аего. Юое„ 67, 526 (1963), 5. 1гопв В., 5!гцс(ига! Ефпсъа1це РгоЫешь: Е1ип1па!1оп о( \Зпжап(ед ЧаНаЬ1еь, ХА1АА, 3, 961 (1965); есть русский перевод: Айронс, Задачи о собственных значениях матриц конструкции: исключение лишних переменных, Ракетная техника и косионавтикл, 3, № 5, стр. 207 (1965). 6. биуап К.
Я., КедисВоп о1 81!11пеьв апд Мавв Ма1псев, ХА1АА, 3, 380 (1965); есть русский перевод: Гайан, Приведение матриц жесткости и массы, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 2, стр. 287 (1965). 7. Апдегвоп К. б., 1гопв В, М., Е1еп!дец1сх О. С., Ч1Ьга11оп апд ЯаЫ1!1у о1 Р1а!ез 1Ыпд Гшйе Е!егпеп!з, 1п1. Х, Зо1и1я аад Йгис1., 4, 1031 — 1055 (1968). 8. Катьдеп Л.
1Ч., 51окег Я. К., Мазь СопдепваВоп; а Яеш! Аи(ота!!с Мейод 1ог Кедис1пд йе 5!хе о1 Ч!Ьга!!оп РгоЫешз, 1а1. Х. Фига. МеИ. Епд., 1, 333 †3 (1969), 9. Ваг1оп М. Ч., Ч!Ьга11оп о1 Кес!апйи!аг апд Знее Сап111ечег Р1а1ев, Х. Арр1. Меси., !8, 129 — 134 (1951). 1О. С1оинЬ К. %., СЬорга А. К., Еаг!Ьг!иаке Ягезз Апа1уз!ь т Еагй Ваша, 5!гцс(цгеь апд Ма1епа1в КезеагсЬ Кер1. № 65 — 8, 1)п1у. о1 Са1!1огп1а, Вегке1еу, СаИогп1а, 1965.
11. А1ипад 5., Апдегьоп К. б., Е1епк1ейсх О. С., Ч1ЬгаВоп о1 ТЫск, Сцгчед, ЯЬе11в цчй РагВси!аг Ке(егепсе 1о ТигЫпе В!адез, Х. Яга1а Аиа1уя1я, 5, 200 — 206 (1970). 12. Апдегьоп К. б., А Г1п1!е Е!ешеп! Е1аепма1ие Зуь!ет, РЬ. В. ТЬез1в, !.!пЬ. о1 %а1еь, Биапьса, 1968. 13, АгсЬег Д. $., КиЬ!и С.
Р., 1трго~ед 1!пеаг Ах1-Вупцпе1пс Я~е11-Г1и1д Моде1 1ог 1.ацпсЬ ЧеЫс!е 1оп9!1ид1па! Кезропве Апа!ув!з, Ргос. Соп1. оп Ма1пх Ме1Ьодв 1п Ягис1. МесЬ., А!г Гогсе 1пв1. о1 ТесЬп., %г!дЫ Ра11егвоп А. Г. Вазе, ОЫо, 1965. 14. Агауг!ь Л. Н., Соп(!пца апд В1ьсоп1!пца, Ргос. Соп1. оп Ма1г!х Мейодз 1п 81гис1. МесЬ„А(г Гогсе 1пв1. о1 ТесЬп., %пай Ра((егзоп А. Г. Вазе, ОЫо, Ос!. !965. 15. К!е1п 5., Яу1кев(ег К. Л., ТЬе 1 шеаг Е1аь1!с Вупапцс Апа1ув1в о1 8Ье!1ь о1 Ке~о!и!!оп Ьу йе Ма1г!х В1ьр1асетеп1 Мейод, Ргос. Соп1. оп Ма1г1х Ме1- Ьодь !и 8!гис1. МесЬ., А1г Гогсе 1пь1.
о! ТесЬп., Жг!дИ Ра11егьоп А. Г. Ва. зе, ОЫо, Ос1. 1965, 16. Випнаг К„Яечегп К. Т., Тау1ог Р. К., ЧйгаВоп о1 Р1а1е апд 5Ье11 81гцс!и. Бь1пд Тг1апдц!аг .Г1п1!е Е!еглеп!з, Х. о1 Ига1п Апа1уя1я, 2, 73 — 83 (!967). !7. Аг!е!! Р. 1., ВаЬгагц' А. К., 71епк1еФсх О. С., Арр!!са1!оп о( Г!п!1е Е1ешеп(в 1о йе Бо1цВоп о1 Не1шЬо!1х'з Емца(!оп, Ргос. 1ЕЕ, 115, 1762 — 1964 (!968) . 18. Тау1ог С., РаИ В. $., Ъспк1ец!сх О. С., НагЬоцг Овс111а11оп: а 1Чцшег!са1 Тгеа1шеп! 1ог (!пдашред Ь!а!ига! Модев, Ргос, 1аяг. С1ц.
Епд., 43, 141— 155 (1969). 19. 71епк1еМсх О. С., 1гопв В., Ь1а(Ь В., Ка1ига! Ггес!иепс1ез о1 Сошр1ех, Ггее ог БиЬгпегдед Ятис1цгез, Ьу йе Г!п11е Е1етеп! Мейод, Бугпр. оп Ч1Ьга. Вопя !п СМ! Епн,, 1пь1. Си. Епр., 1опдоп (Вц(!егжогй), 1965. 20. Васк Р. А. А., Савве!1 А.
С., Випааг К, бпйгодег В. К., Яекегп К. Т., ТЬе Яе!ьш!с Вез!оп аиду о1 а ВоцЫе Сигча(цге АгсЬ Ваш„Ргос. 1пя1. С1ц. Епа., 43, 21? — 248 (!969). 392 21. У1епЫен(св О. С., Меч(оп й. Е., Соир1ед ИЬга11опз о1 а богис(иге ЯиЬ- гпегнег1 1п а Согпргезз1Ые Е1шд, 1п1. Зушр. оп Е(п1(е Е1егпеп1 ТесЬпщиез, ЯИ1~аг(, 1969. 22. Но1ЬесЬс Л., РЬ. О.
ТЬез1з, Уп1т. о1 ~Ча!ез, Бжапзеа, 1971. 23. 1гопз В. М., Ко1е о1 Раг1-1пчегз(оп 1п Г1ии( Ягис(иге РгоЫешз юПЬ М1хег1 Чаг(аЫез, ХАААА, 7, 568 (1970); есть русский перевод; Айронс, Роль частичного обращения в задачах со смешанными переменными о поведении системь1 жидкость — конструкиия„Ракетнав технико и космонавтика, 8, № 3, стр, 239 (1970). 24. Ноизпег О %., ВеЬаиоиг о1 Ягис1игез Оиг1п8' Еагйи~иайез, Ргос. Ат.
5ос. СЬ. Епд., 85, ЕМ4, 110 — 129 (1959). 25. У1епЫетлсг О. С., Апдегзап К. 0.„1гопз В., Ви((гезз Вагп Апа1уз(з 1ог Баг1Ьг(иа)я 1.оаэи(з, Ф'агег Роагг, 19, 359 — 363 (1967), ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛАСТИЧНОСТЬ, ПОЛЗУЧЕСТЬ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И Т.
Д. 18.1. Введение Все рассмотренные до сих пор задачи описывались линейными дифференциальными уравнениями, приводящими к стандартной квадратичной форме функционала. В задачах механики упругого-тела линейность являлась следствием: а) линейной связи между деформациями и перемещениями 1см, соотношение (2,2) 1; б) линейной связи между напряжениями и деформациями 1см.
соотношение (2.3) 1. В задачах теории поля такая линейность была следствием предположения о независимости постоянных, например проницаемости А, от искомого потенциала р 1см. соотношение (15.1)1. Однако многие практически важные задачи не являются линейными, поэтому обобщение изложенных численных методов, которое позволило бы исследовать такие задачи, представляет большой интерес. В механике твердого тела такие явления, как пластичность, ползучесть и другие сложные реологические явле.- ния, заставляют отказаться от предположений линейной упругости. Аналогично ситуации, когда вязкость зависит от скорости потока или когда в пористых средах неприменимы законы фильтрации Дарси из-за наличия турбулентности или магнитная проницаемость зависит от плотности тока, приводят к физической нелинейности.
Эти задачи можно исследовать, не меняя их постановки, т. е. на основе тех же основных вариационных принципов. Если найдено решение линейной задачи, то можно получить решение нелинейной задачи с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбираются так, чтобы удовлетворялись определяющие уравнения. Однако если нелинейна связь между деформациями и перемещениями, то необходимы более существенные изменения в постановке задачи.
Такие задачи в настоящей главе не рассматриваются (они изложены в гл. 19). Тем не менее будет установлено, что итерационные методы применимы и для этого случая, поэтому с их помощью можно решать задачи, в которых имеют место нелинейности обоих типов '). ') То есть физическая и геометрическая.
— Прим, ред, Глава 18 Следует сделать одно существенное замечание. Б нелинейных задачах в отличие от линейных часто пет единственности решения. Таким образом, найденное решение не обязательно будет искомым. Для получения правильного ответа необходимо применять метод малых приращений и четко представлять физическую сущность задачи.
Здесь могут быть использованы формальные численные итеационные методы, такие, например, как методы Ньютона— афсона и т. д, Однако их применение требует понимания физической природы задачи, и поэтому на практике численные методы более успешно разрабатываются инженером (или физиком), нежели математиком. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗЛДЛЧИ МЕХЛНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛЛ 18.2. Подход с общих позиций 18.2.1. Основные положения Задача линейной теории упругости в перемещениях всегда сводится к решению уравнений для ансамбля (см. гл, 1 и 2) [К](о) — ® =О, (18.1) где вектор ф) содержит все силы, обусловленные внешними нагрузками, начальными напряжениями и деформациями и т.
д. При выводе этого соотношения использовался закон линейной упругости в аиде (о) = 1.0) ((е) — (ец)) + (о0). (18.2) Кроме того, предполагалось существование линейной связи между деформациями и перемещениями 1соотношение (2.2) гл. 2), перемещения считались непрерывными и уравнения равновесия удовлетворялись приближенно. При решении задач о малых деформациях, в которых используются другие, возможно и нелинейные, определяющие уравнения, следует изменить только соотношение (18.2). Новое соотношение можно записать в виде ~((о) (е))=0. (18.3) Если удастся найти такое решение уравнения (18.1), что при соответствующем подборе одного или нескольких входящих в (18.2) параметров 10~„(е4 или (о4 это уравнение и соотношение (18.3) удовлетворяются при одинаковых значениях напряжений и деформаиии, то полученное решение будет искомым, Физически нелинейные задачи Очевидно, что при решении целесообразно использовать итерационный метод. Какая из трех вышеупомянутых величин будет подбираться в процессе итераций, зависит от: а) метода решения линейной задачи; б) физического закона связи между напряжениями и деформациями.
Если при итерациях подбирается матрица !01, то приходим к известному методу переменной жесткости '). Если же подбираются (ео) или (ао), то имеем так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений. Во многих случаях не удается установить соотношения типа (18.3) для полных деформаций и напряжений, но можно вывести их для приращений этих величин Л(о) и Л 1е).
В этих случаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки (или времени при ползучести). Методы приращений можно использовать в сочетании с любым из ранее рассмотренных методов. Из изложенного ранее видно, что параметры !01, !ео), (аЯ являются весьма важной частью исходных данных для программы решения задачи линейной теории упругости. Поэтому такие программы представляют собой основу решения любой нелинейной задачи. На данной стадии несущественно, составлены ли эти программы на основе конечно-элементной дискретизации или нет. Изложенные ниже методы можно использовать в сочетании с любым другим способом дискретизации (например, конечно-разностным) при условии, что берутся одинаковые исходные данные.
18.2.2. Методы переменной жесткости Метод переменной жесткости можно использовать в случае, когда связь между напряжениями и деформациями (18,3), характеризующую поведение материала, можно представить в форме (!8.2), где матрица упругости зависит от достигнутого уровня деформации, т. е. имеет внд [Я = !О ((вЯ = !О ((Я)!. (18.4) Так как матрица упругости влияет на окончательный вид матрицы жесткости ансамбля, приходим к уравнению Ж = 1К (®)1 ® — (Ю = О, (18,5) которое можно решить различными итерационными методами.
') В советской литературе этот метод носит название метода переменных параметров. О других методах см. со. ~Упругость и неупругость», вып. 3, стр. !20, Изд-во МГУ, !973, — Прим. ред. Очевиден следующий простой итерационный процесс. Сначала предполагается (о)о — — О, вычисляется (К((о)о)! = ~Ко! и определяется ®1 — †[! Щ. Процесс повторяется в соответствии с формулой (й„= 1К!. Ю до тех пор, пока перемещения перестанут изменяться.
Если определяющие уравнения таковы, что соотношение типа (18.4) может быть записано только для приращений напряжений и деформаций, то описанный процесс. следует применить для приращений нагрузки, отсчитываемых от ранее достигнутого значения. В любом случае можно пользоваться стандартной программой решения задач линейной теории упругости при условии, что матрица 10! симметрична Это требование весьма существенно, так как в программе обычно используется свойство симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
