Метод конечных элементов (1061787), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Таким образом, если (Ро) — (Ро) + 8 (РоЬ Ро) =(Ч+~ ЖоЬ где все величины с одной и двумя черточками сверху веществен- ные, то, приравнивая вещественную и мнимую части (17.4), по- лучаем систему двух уравнений, которую можно записать в ма- тричном виде: — и (С1 ٠— иЧМ) 60 Р, (17.76) 17.3. Собственные частоты Если матрица 1С1 ранна нулю, т, е. рассматривается динамическая задача без демпфирования„и если внешних возмущений (Р) нет, то уравнение (17.1) принимает вид ЖИб)+ 1М1 д1, ®=О.
(17.8) Зто уравнение имеет вещественное периодическое решение (Ц =(б~) сов оэ~, Уравнения (17.7) образуют систему, в которую входят только вещественные величины, В результате решения втой системы можно определить реакцию на любой периодический сигнал. Эта система уже не является положительно определенной, хотя она по-прежнему симметрична.
При периодическом сигнале решение после начального переходного периода не чувствительно к начальным условиям и поэтому найденное приближенное решение будет характеризовать установившееся поведение. Это справедливо как для задач о динамическом поведении конструкций, так и для задач теплопроводности, при решении которых надо принять 1М1 = О. Динамические саоачи. Лолуаяалитическвс исследование Зтз если выполняется условие ((К~ — а'1М~ ) (бс) = О, Последнее равенство возможно только при некоторых значениях а, при которых определитель заключенной в скобки матрицы обращается в нуль, Поскольку этот определитель имеет порядок й (при размерности матрицы пХа), в общем случае существует п вещественных корней а2.
Они определяют собствекные угловые частоты системы, а задача их нахождения представляет собой типичную задачу о собственных значениях Я де11٠— а'1М~ !=О, (17.10) В динамических задачах о колебаниях и корней этого уравнения вещественные. Каждая частота, при которой выполняется условие (17.9), определяет вектор (бс)„, величина компонент которого произвольна, а их отношения принимают заданные значения. Такие векторы называются модами системы.
На практике удобно вводить масштаб для этих векторов так, чтобы (бо)~ 1М1 (ос), = 1 (единичная матрица). (17.11) Касштабированные таким образом векторы называются нормированными модами (собственными функциями) системы. Еще одно важное свойство мод состоит в том, что для любых двух различных частот 1 Ф ! (Ь,)',(М1 И,), = О. (17.12) Это свойство называется свойством ортогональности мод1Ц. Интересно отметить, что матрица (٠— а~~М1) появляется и при решении задач о поведении систем при вынужденных колебаниях 1уравнения (17.7Ц. Как известно, при приближении величины а к собственной частоте реакция увеличивается и возникает явление резонанса.
17.4. Решение задачи о собственных значениях 17.4,1. Общие замечания При нахождении собственных значений редко прибегают к записи определителя (17.10) в виде полинома а, как правило, используют другие методы. Такие методы описаны в специальных учебниках 11, 21, и сейчас многие библиотеки стандартных программ содержат соответствующие программы. - В большинстве случаев рассматривается частная задача о собственных значениях [Н] (Х) = Х (Х), (17.13) где [Н] — симметричная положительно определенная матрица. Уравнение (17.9) после обращения матрицы Щ и введения обозначения Х = 1~оР можно записать в виде [К] '[и] [Ь,) =К(б,), (17.14) однако симметрии в общем случае нет.
Если записать матрицу Щ в виде Ж=[Ц[Ц и М =[11 Ы] где ٠— матрица с нулевыми коэффициентами над главной диагональю, то после умножения (17.14) на [Цт будем иметь ~Ц '[М](бд) =Х[Ц'(ЬД. Полагая Щг(о 1=(Х) окончательно получим уравнение (17.16) которое совпадает с (17.13), так как матрица [Щ теперь симметрична и имеет вид [Н]=[Ц '[М][Ц (17.17) После определения Х (всех или только нескольких наибольших значений, которые соответствуют основным тонам) находятся моды (Х), а затем с помощью (17.15) и моды Щ. 17.4.2. Свободные колебания В статических задачах всегда вводится необходимое число условий закреаления для обеспечения возможности получения обращения Щ ', или, что то же самое, единственности решения уравнений статики (см.
гл. 1). Когда такие условия отсутствуют, как, например, при полете ракеты, произвольное задание минимального необходимого числа условий закрепления позволяет получить решение статической задачи, причем эти условия не влияют на величины напряжений. В динамических задачах задание таких условий недопустимо и часто приходится сталкиваться с задачей о свободных колебаниях, в которой матрица Щ сингулярна и поэтому не имеет обратной. Использование простого искусственного приема позволяет сделать возможным применение к такой задаче общих методов, где я — произвольная постоянная того же порядка, что и искомая величина оР. Новая матрица (Щ+ я[М1) может быть обращена, и, следовательно, обычным способом можно найти (а~+ а). Этот простой, но эффективный путь преодоления существенных трудностей предложен впервые Коксом [За).
17.4.3. Экономичные методы определения собственных значений Какой бы метод ни использовался для определения собственных значений и собственных функций системы, необходимо проделать на порядок больше вычислений, чем при решении соответствующей статической задачи. К счастью, собственные значения можно достаточно точно определить при меньшем, чем в случае статической задачи, числе с епеней свободы.
Если при решении статической задачи используется достаточно мелкое разбиение, то можно сократить число степеней свободы и сосредоточить коэффициенты, учитывающие влияние массы и демпфирования, в меньшем числе узловых параметров. Этот способ предложен Айронсом [4, 51 и несколько позднее Гайяном [6~.
От читателя, по-видимому, не ускользнет его сходство с описанным в гл, 7 способом построения сложных элементов. Пусть все степени свободы Щ разделены на две части; =© (17.19) Предположим, что перемещения 5 однозначно выражаются через перемещения К В соответствии с этим последние будем назы- вать главными, а первые — вспомогательными переменными, Та- ким образом, % =[ц® (1?.20) и И ®= ДЮ (17.21) где [Ц вЂ” матрица, характеризующая связь между этими перемещениями. Динамическое уравнение всей системы Ю1 М+ Рй ~, ® = 9 (1?.22) Динамические задачи.
Полуаналитическое исследование 375 описанных в предыдущем разделе. Уравнение (17.9) записывается в виде [(Щ+ а [М1) — (и'+ и) [МИР.,1 = О, (17.18) Глава П должно быть записано с учетом ограничения на деформации, налагаемого соотношением (17.21). Новое уравнение лучше всего получить, минимизируя полную потенциальную энергию системы по уменьшенному числу параметров. В гл. 2 показано, что, используя принцип Даламбера для динамических сил, потенциальную энергию можно записать в виде После некоторых преобразований получаем д (6) ~ =%')(Ч+1м'1Р)=0, (17.24) где матрицы (17.25) (17.26) получаем Ят р) + ~ф (б) поскольку вспомогательные узлы не нагружены, и ® = — 1К1 '1К)т(о) ~ц Я-1Я~т (17.27) или Приложения этого метода хорошо описаны в литературе 17, 8) и будут рассмотрены на приведенных ниже примерах.
соответствуют меньшему числу степеней свободы, связанных с 9;). Выражения (17.25) можно получить непосредственно, используя правила рассмотренного в гл 1 контрградиептного преобразования, если выражение (17.21) принять за определение матрицы этого преобразования.
Важно установить, связь между вспомогательными и главными перемещениями. При этом уместно сделать приемлемое с инженерной точки зрения предположение, что картина деформации не изменится, если вместо нагрузок задать перемещения 1Ц. В соответствии с этим, записывая по аналогии с (17.19) со- отношение Линамические задачи, Полианалитическае исследование 377 $7.5„Некоторые примеры определении собственных значений Приведем лишь несколько примеров из множества решенных практических задач, 17.5.1. Колебания пластин На фиг. 17.1 представле))Ь! результаты расс)ета )колебаний прямоугольной консольной пластины, полученные при использо= л,ма3а 638 3728 4293 4369 и иойа 266 5)57 6456 6578 -л мо3а 87О )2055 )58)З )6585 Фнг.
17.1. Моды консольной пластины. Исходые данные для расчета при разбиении на 4 треугольных элемента: Е= 2,02.)0" Н!м®, )=0,20 см, Ь=0,08 см. 0=*2,04 см, ч- 0,3, р= 7,60.)04 Н/м~. Числа обозначают частотй и герцах, полученные прн нсиользовании". !) точного решения )9); 2)снесогласованногоэ треугольника) 3) согласованного треугольника с поправочиой функцией ()0.20) и Ц согласован ного треугольника с попраночной функцией ()0.29).
Глава 7У ванин всего лишь четырех треугольных элементов. Результаты сравниваются с результатами сложных расчетов Бартона 19~. Видно, что использование несогласованного треугольника приводит к лучшим результатам, чем использование уточненных соотношений. Точность определения и частот и собственных функций вполне удовлетворительна. Более полно результаты, полученные при использовании несогласованных треугольников, для различных разбиений приведены в табл. 17.1 17~.
таблица 77Л Сравнение теоретических и экспериментальных результатов определения частот прямоугольной консольной пластины постоянной толп(ины (длина а, ширина а/2) 171 ы7УО/Фа~ Расчет методом конечных элементов (несогласованныа треугольник) Результаты Бартона 3,42 ') 14,52 ') 20,86 46,90 3,39 15,30 21,16 49,47 67,46 3,47 14,93 21,26 48,71 93,99 ') Результаты, скорректированные Бартоном в соответствии с проведенными им иены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
