Метод конечных элементов (1061787), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Другой метод, который применяется чаще, обладает всеми достоинствами вариационных методов, предложенных Уилсоном и др. 15, 241. Рекуррентное соотношение может быть записано для нескольких интервалов одновременно, что требует решения большего числа совместных уравнений, но приводит к повышенной точности и устойчивости. Здесь удобно отдельно рассмотреть матричные уравнения, содержащие лишь первые производные по времени, и уравнения, имеющие производные второго порядка по времени. Несгационарные а динайачесюе задана при л)о=(И вЂ” ~)/Ж, Л~! =1/М, Производная по времени '1'ак как начальное значение (ф)о известно, то используется только одна весовая невязка.
Интегрируя уравнение (16.44)„умноженное на У[, имеем после подстановки (16.46) и (16.47) и последующего интегриро- вания получаем Этот результат подобен тому, который был бы получен на основе обычной центральной конечной разности 11, 4, 81. Однако вывод уравнения (16.49) является иным, и при этом возникают интересные возможности использования других интерполяционных функций. Из уравнения (16.49) величина (Я).может быть найдена формально: (у !))) — [с[Ф!) Ио+ (16.БО) Это рекуррентное соотношение может быть использовано для всех последующих интервалов времени (выбор в качестве начального значения ~ величины ®О при 1 = О является в данном случае чисто условным). Для другой рекуррентной схемы можно рассмотреть некоторый интервал времени, содержащий три точки (О, М, 2М), как Глава И показано на фиг.
16.2. Поступая аналогично„мы вместо уравне- ния (16.46) получим с параболическими интерполяционными полиномами Лагранжа. Продолжение этого при- Ф л мера приводит к двум весовым уравнениям минимизации невязки, подобным уравнению (16.48), причем К41 и ®2 определяются по задан- ным начальным значениям ®о. Эта процедура может .г продолжаться до бесконечности, причем с увеличением , числа совместных уравнений точность решения повышается. Ясно, что более сложные Фиг. !6.2.
Временные функции формы с временные элементы обесперазрыииой первой производной. чивают большую устойчивость решения и при этом могут быть использованы ббльшие временные интервалы. 16.5.2. Эадачи, описываемые дифференциальными уравнениями атарово порядка по времени Динамические задачи строительной механики и подобные за, дачи описываются уравнениями вида И1 ®+ 161 —,(Й+ М ~„®+ М =О. (16.13) Для решения этого уравнения, очевидно, необходимы два начальных условия.
Обычно задаются значения (о)о и д/д1(о1о в начальный момент времени. В соответствии с вышеизложенным функции формы, описывающие изменение конструкции во времени, выбираются по значениям ® и д~д1® в различные моменты времени. В случае-простейшей интерполяции учитываются лишь значения времени 1 = О и 1 = М и внутри интервала используются кубические полиномы Эрмита.
Таким образом, имеем Мо дед~ (Чо РЬ д/д1 (б), Р) = !Ооо Н!о ~Чо! 1~п! Нестационарные и ди((амические задачи 36! .'при Н 1 Ззг+ 2яз Н® (а аз+ зз) Я~ Но! = Зяз — 2зз, Нп —— ( — аз+аз) И И а= —. М" Эти полиномы Эрмита аналогичны приведенным в гл. 10 и 12; их графики представлены на фиг. 16,3. Фиг. 16.3. Временные функции формы с разрывной второй производной.
Необходимое рекуррентное соотношение можно получить, если записать весовое уравнение минимизации невяаки для 1=И: ®о +(М! ~р ~[Нор, у,о, Ео|, еп! ( +(Р!)В=О. ((6.5я ! д~д~ (6)! Глава 16 После подстановки функций формы и интегрирования из ра. венства (16.53) будут получены уравнения для определения ве. личин (о11 и д/д1(б)„выраженных через начальные значения Окончательный вид рекуррентного соотношения: А~ А~ д/д~ ®, Вз, Вз2 дед~ ®О Сз вывод этих выражений предоставляется читателю в качестве несложного упражнения.
Полученное рекуррентное соотношение не совпадает с конеч. ио-разностным уравнением Уилсона и Клуха 1ЗЦ или с его раз. новидностями, использованными Чэном и др. 132). Оно было с успехом применено Фридом 1281, хотя и выведено им другим способом, Очевидно, что можно применить и более сложные конечные временные элементы с дополнительными степенями свободы. 16.6.8. Связанные задачи Эти задачи могут быть исследованы изложенным выше способом с использованием различных аппроксимирующих функций по времени в соответствующей форме.
Подробно этот вопрос мы рассматривать не будем. 7 Т+ — — =О. 2 рс дт й д~= (16.55) Граничное условие') излучении тепла на поверхности ло. пасти 1уравнение (15.3Ц записывается в виде дТ вЂ” а (Т вЂ” Т„) (16.56) ') Обычно принято граничное условие (16.66) называть условием тепло- обмена, а условием излучения оно называется, если в правой «астн (16.661 вместо разностн температур берется разность их четвертых степеней, — Прим. рЩ 16.5.4. Некоторые примеры Несколько простых примеров использования рекуррентных соотношений, рассмотренных в подразд.
16.5.1, взято из работы 16) для иллюстрации применения метода и подтверждения его устойчивости. Нестациоиарное распределение температуры в лопасти ротора. Пример, приведенный на фиг. 16.4, иллюстрирует двумерную задачу, описываемую уравнением теплопроводности Нестационарные и динамические задачи Фиг. 16.4. Распределение температур а охлаждаемой лопасти ротора, имеющей нулевую начальную температуру (Ж 0,01 с). Удвпввая тЕПЛОЕМКОСтЬ С 5 11 КаЛ1Г вс. ПЛОтНОСтъ р=7,% Г/СМ'.
КОЗффицисит ТЕПЛО» дроводностн я >,05 калием ° с - ес. Температура газа около лопасти 1145 'С. Козффицнент теплоотдачи а на наружной поверхности лопастя (А — В) изменяется от 0,300 до 0,056 (сеченне А — В). а1омер отверстия Температура а в отверстии, С 1 545 2 587 где Т,— температура окружающего газа, р — плотность, е— удельная теплоемкость, Й вЂ” коэффициент теплопроводности и а — коэффициент теплоотдачи.
Для конечно-элементного представления лопасти были применены изопараметрические элементы третьего порядка. Распределения температур в различные моменты времени показаны пунктирными линиями. Хладна И Трехмерная задача теплопроводности. Одна восьмая часть эллипсоида вращениягрубоаппроксимируется тремя квадратич- ными изопараметрическими элементами. На фиг. 16.5 показаны эти элементы и изменение температуры в центре эллнпсоида, 1, о,2 !> о~а полученное аналитически и методом конечных элементов.
На« блюдается хорошее совпадение результатов, 16.6. Различные нестационарные задачи. Фильтрация со свободной поверхностью Специальный класс нестационарных задач образуют задачи о течении грунтовых вод, в которых не учитывается сжимаемость жидкости, но происходит непрерывное изменение ее свободной поверхности. Определяющее уравнение таких задач является стационарным 1уравнение (15.26Ц.
Свободная поверхность фильтрующейся жидкости есть по.верхность нулевого давления (см. гл. 15), но она не составлена .из линий тока в неустановившемся течении. Если решение задано в любой момент времени при известном положении свобод- Фиг. 16,5. Изменение температуры во времени в вытянутом эллипсонде враще- ния при и у ° и О (М 0,025 с). — аналитическое решение;,6. решение методом конечымк алемеыеоы, Г.,/Ь,= 2, аХ.~Й со. Нестаииоиарные и динаиические задачи ной поверхности, то может быть найдена нормальная составляющая о скорости фильтрации для этой свободной поверхности. Когда жидкость покидает поры, нормальная составляющая б„ скорости движения свободной поверхности может быть определена как (16.57) Для следующего интервала времени М может быть установлено новое положение свободной поверхности и произведено повторное вычисление на основе шаговой схемы решения.
Очевидно, что сетка конечных элементов должна выбираться так, чтобы она соответствовала новому положению свободной поверхности на каждом шаге вычислений. Здесь особенно полезны изопараметрические криволинейные конечные элементы, ЙЯайкЪая паберхность т=о г=г, 1 1 ! 1 Фнг. 16.6 Фильтрационный поток при наличии свободной поверхности. Йля каждого момента времени автоматически устанавливается сетка элементов и находится скорость свободной поверхности, Р'лпва Е6 4578 400 д О % 0В 10,1В 75,24 2032 25,4 3$ФВ Фиг. 16.7.
а — форма свободной поверхности ь ваалвч,нюе моменты времени для задачи фкг. !б,б, — — аналопаое рентение; — решение методом конечных элементов ~М = 1Ос~, Нестационарныз и динамические задача бо,в 10 Е а $00 К Фиг. 16.7 (продолжение). 6 †изменен во времепп свободной поверхности в продольной плоскости симметрии при быстром спуске жидкости. — аналоговое решение; О решение методом конеч- ных элементов. которые были использованы для решения двумерных и трехмерных задач ~34, 35~. На фиг, 16.6 и 16.7 иллюстрируется применение изложенного метода к простому примеру дренажа через две симметрично выполненные траншеи и проводится сравнение с аналоговым решением этой задачи 1361.
Подобное решение широко применяется на практике н позволяет получить количественные оценки в таких задачах, как быстрый спуск жидкости и т. д. Другие попытки рассмотрения нестационарной задачи этого типа перечисляются в работах 137 — 39). 16.7. Заключительные замечании В настоящей главе были кратко рассмотрены некоторые типы нестационарных задач и дано изложение основных методов их решения. Подобным образом могут быть поставлены и решены многочисленные задачи, имеющие важное практическое значение. Решения, полученные методом конечных элементов, обладают некоторыми преимуществами по сравнению с соответствующими решениями, полученными конечно-разностными методами. Однако остаются трудности, связанные с устойчивостью таких решений, хотя неявная схема рекуррентных зависимостей, полученных в разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
