Метод конечных элементов (1061787), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Арр1., 2, 21 — 41 (1963). 24. Ваиь Е. М., ТЬеог!ев о! Р1аьИсПу апй 1Ье ГаПиге о1 БоП Маьвев, СЬ. 6 1п: БоП МесЬап!св, Ьее 1. К., ей., Ви!!егиог(Ь, 1969. 25а.йепЫеысв О. С., Веь! В„Боте Ь!оп-Ь1пеаг РгоЫетв1п БоП апй Кос)г МесЬап!сь — Г!и!1е Е1етеп1 Бо1и!1оп, Соп1. оп КосЬ МесЬашсь, Ь1пЫ. о1 Яиеепь1апй, Тон пвМ11е, Шпе !969. 25Ь. Х!епЫей1св О. С., Вев1 В., ВиПаде С., Б1адн К. О., Апа1ув!ь о1 Ь!оп- Ь!пеаг РгоЫеть т Коей МесЬашсь Ый РагИси1аг Ке1егепсе 1о )о1п!ей КосЬ Був(еть, Ргос, 2пй 1пЬ Сопнгеьь оп КосЬ МесЬашсь, Ве1дгайе, 1970. 26. НаП!аррап Б., Ха(Ь Р., ТепьПе СгасЬ РгорадаИоп т Ке!п1огсей Сопсге!е Веать Ьу Р1ш(1е Е1етеп1 ТесЬп!9иеь, 1п1 Соп1.
оп БЬеаг Тога!оп апй Вопй !и Ке1п1огсей Сопсге1е, Со!тЬа1оге, !ай!а, Дап. 1969. 27. КгаЫ Х, %., КЬасЬа!иг1ап %., БеРьь С. Р., ЯаЫ1Пу о1 Тепы1е СгасЬв 1п Сопсге!е Веыпь. Ргос. Ат. Зос. С!о. Епд 93, БТ1, 235 — 254 (1967), 28. Ооойтап К. Е., Тау1ог К. 1., Вге1йе Т., А №йе! 1ог 1Ье МесЬашсв о1 Ло!п1ей КосК, Ргос. Агп, Бос. С!о. Еп~., 94, БМЗ, 637 — 659 (1968), Физийесна нелинеггные задача 437 29.
БсЬо1еь А., Ягочег Е. М.„ТЬе Р!ссегч1ве 1 !пеаг Апа1уь1ь о1 Тжчо Соппес1ег! Ягцс1игсь !пс!иг!1па' йе ЕПес1 о1 С1еагапсе а1 йе Соппес11опь, Хп~. Х. Л'агп. МеИ. гп Епу., 3, 45 — 52 (1971). 30. Меира!е1ьоп А., !1!ьсЬЬеги М. Н., Мапьоп Б. Б., А бепега1 АрргоасЬ 1о йе Ргас1!са! Бо1и1!оп о1 Сгеер РгоЫеть, Х. оХ Валс Еггугггеег!па, Тгапз. ЛБМЕ, Беггев О, 81, 585 — 598 (1959). 31. Х!епЫейсх О. С., Ъ'а1воп, М., К!пд 1. Р., А Ь!итег!са! Ме!Ьог1 о1 ч'1ьсоЕ!аь1!с Ягезь Апа1уь1ь, !п1 Х. о! МесЬ. Бсг., 10, 807 — 827 (1968).
32. 71епЫегч1сз О. С., ТЬе Г!п!1е Е1етеп1 Мейог) ш Ягис1цга1 апг1 Соп(!пиит МесЬап1сз, 1ь1 ег!., МсОгагч-Н111, 1967. 33. ОгеепЬаит О. А., КцЬ!пв1е1п М. Г., Сгеер Апа!ув!в о1 Ах1-Бупипе1г(с Вог)1ез 1.!в1пд Г!п11е Е1етеп1ь, Лгис1. Епа. апг( Везгдп, 7, 379 — 397 (1968). 34. ТгеЬагпе О., Арр!!са1!опь о1 1Ье Г!ги1е Негпеп1 Мейог1 1о йе Ягеьь Апа1ув1ь о1 Ма1ег1а!в БиЬ!ес1 1о Сгеер, РЬ. О.
ТЬев!з, 1!п1ч. о1 %а1ез, Бгчапьеа, 1971. 35. 1.ее Е. Н., ч'!ьсо-Е!аь11с!1у !п: НапйЬооЬ о1 Епишеег1пи МесЬап1сь, ГЩ- ие %., ег1., Мсбгагч-Н!11, 1962. 36, 1.ее Е. Н., айаг(о!г Т. К. М., %оог(гчагг1 %. В., Ягезз Апа1ув!ь 1ог 1лпеаг Ч1ьсо-Е!аь11с Ма1егга!ь, Тгапв. о1 гЬе Бас. о! ЦЬео1оуу, 3, 41 — 59 (!959). 37, 1.есЫе Г. А., Маг(!п Л.
В., 0е1огта11оп Воцпдь 1ог Войев ш а Яа1е о1 бгеер, Х. Арр1. МесЬ., АБМЕ, 411 — 417 (Липе 1967); есть русский перевод: Лекки, Мартин, Оценки для поля деформаций при ползучести. Труды Американского обгцества ингкеиеров-механиков, Пргчгладнал механика, № 2 (1967). 38, Г1пте 1., Не!1ег %. й., Сгеер о1 Епи1пеег(пд Ма1епа!ь, Мсбгагч-Н111, 1959.
39. !оЬпьоп А. Е., Сотр1ех Ягеьь Сгеер, Ме1. йегг., 5, 447 (1960). 40. Ггег(ег!с!г С. О., СЬиЬЬ Е. Л,, Вгот1еу 1Ч. Р., СусИс 1.оаг1!пд о1 а ТиЬе гч!й Сгеер, Р!ав1!с!1у апг1 ТЬеппа1 Е11ес1ь, Арр1!ег1 МесЬап!сз СопчепИоп, Ргос. Хпз$. МесЬ. Епа, 180, 31 (1965). 41, 7!епИеисз О. С., Апа(ув1ь о1 Чвсо-Е1ав1!с ВеЬач!оцг о1 Сопсге1е Ягис1цгез щ11Ь Раг(1си!аг Ке$егепсе 1о ТЬегта! Б1гезьез, Ргос. Агп, Сопсг. Хаза., 58, 383 — 394 (1961). 42. Н111оп Н. Н., КцввеИ Н.
О„Ап Ех1епз1оп о1 А11геу'в Апа1оду 1о ТЬегта! Ягеьь РгоЫетв 1п Тетрегайге Оерепг)еп1 1шеаг Ъг!ьсо-е1ав11с Мег1!а, Х. МесЬ. РЬуз. Бо1Ыв, 9, 152 — 164 (1961). 43. Х1епЫеысх О. С., Юа1зоц М., СЬеипи ггг. К., Ягеьь Апа!уз!в Ьу йе Г1п11е Е1етеп1 Мелос! — ТЬеггпа1 Е11ес1в, Ргос. Соп1. оп Ргев1геьвег1 Сопсге1е Ргсввцге Уевве!в, 1пв1. С(ч. Ещ., 1.опг)оп, 1967.
44. Ма!1па Н„ВегесЬпипи чоп Браппцпивцт1айегипдеп 1п Ге1в ипг1 Вог!еп гп11 Н!11е г(ег Е!етеп1ептейог)е, 7егбЦеп11гс1гипдеп Упггг. Каг!зги/ге, 40, 1 — 90 (1969). 45. Ь1ауа!г О. С., Р!аь11с!1у апг! 1.агре 0е1огта11оп РгоЫетв Ьу Г1п1!е Е!степ! Ме1Ьог1, РЬ. О. ТЬев1ь, 1.!п1ч. о1 Юа!ез, Бчг апьеа, 197!. 46. ЪепЫегч!сх О. С., Ча!!!аррап Б., Апа1уз!з о1 !тел! Ягцс1игеь 1ог Сгеер, Р1аь11с11у апг! Ойег Сотр1ех СопьИц11че 1.ачгз, Соп1, оп Ма1ег1а!в гп Сгч. Еп8., ! 1п1ч. о1 Боийатр1оп, 1969.
47. ГогсЬЬе!тег Р, Н., %аььегЬетчедип8 г!цгсЬ Вог)еп, Лег! !гег. И. Хпд., 1782 (1901). 48. Миазма! М., ТЬе Г1отч о1 Нотодепеоцз Г1иЬ)в ТЬгоциЬ Рогоив Мег!1а, ,1. %. Ег)жагг)з 1пс., 1946. 49. ч'о1!сег Я. %., Ь1итег1са! Бо1и1!опь 1о РгоЫетз о1 Ь)оп1!пеаг Г!огч ТЬгоциЬ Рогоиь Мейа, РЬ. Р. ТЬев!ь, оп(ч.
о1 г„'гиеепь!апг1, Точчпвч!11е, 1969. 50, 7о1Ьег !х. %., Ь!оп-1.1пеаг Г1огч 1п Рогоиь Мег!!а Ьу Г!п11е Е1етеп1з, Ргас. Ат. Юос. Сггг. Епа., 95, НУ, 2093 — 2114 (1969). 5!. АЬтег1 Ь1., Бипег!а О. К.„Хоп-1 !пеаг Г1овг 1п Рогоиз Мег!!а, Ргос. Апг. Бос. Сггг. Епд'., 95, НУ6, 1847 — !859 (1969). 52.
Ъ|пь1оиг А, М., Ь!итег1са! Бо1и11оп о1 йе 1,1цаь1-1.1пеаг Ро1вьоп'ь Еииа11оп 1п а Иоп-1.!п11огт Тг!апре МеьЬ, Х. Согпр. РЬувгсз, 1, 149 — 172 (1967), ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ; БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И НЕУСТОИЧИВОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ 19.1.
Введение В предыдущей главе рассматривались нелинейности, обусловленные свойствами материала, и были описаны итерационные методы решения нелинейных задач, в которых используются обычные линейные соотношения. В этой главе такой же подход будет применен к исследованию геометрической нелинейности. Во всех рассмотренных ранее задачах предполагалось, что и перемещения и деформации конструкций малы. Практически это означает, что форма элементов в процессе нагружения не изменяется и что для деформаций можно использовать приближенные линейные' соотношения. На практике эти предположения часто приводят к неправильным результатам даже при малых деформациях, не превышающих предел упругости материала конструкции.
При точном определении перемещений ряда конструкций может оказаться необходимым учет геометрической нелинейности. Например, мембранные напряжения, которыми обычно пренебрегают при изгибе пластин, могут явиться причиной значительного уменьшения перемещений даже при малых деформациях. С другой стороны, может оказаться, что нагрузка, при которой прогиб увеличивается, достигается быстрее, чем это предсказывается линейной теорией, и может воз икнуть ситуация, в которой при продолжающемся деформиров ии несущая способность будет падать.
Это не что иное, как к. ~ссическая задача устойчивости конструкций. Такие задачи встречаются довольно часто. Значение их особенно велико в авиационной и космической технике, при конструировании радиотелескопов, градирен и других тонкостенных конструкций. Кроме того, во многих случаях могут иметь место большие перемещения при малых деформациях. Типичным примером такого типа является классическая задача о гибких телах, как, например, о часовой пружине. В этой главе предпринята попытка подойти ко всем этим задачам с единых позиций и указать общие методы исследований. Однако ни один из вопросов, связанных с геометрической не- линейностью, подробно в этой главе не рассматривается.
Это вопрос о больших, хотя и упругих деформациях таких материа- Геометрически нелинейные задачи лов, как резина и т. п. В этом случае необходимо использовать специальные соотношения между напряжениями и деформациямн. Ограниченный обьем книги не позволяет подробно остановиться на этом вопросе. Тем не менее общий подход, описанный в следующем разделе, можно применить и к таким задачам, если использовать соответствующие законы связи напряжений с деформациями. Геометрическая нелинейность часто может сочетаться с не- линейностью физического типа, рассмотренной в предыдущей главе, такой, как пластичность при малых деформациях и др.
В принципе это не приводит к дополнительным трудностям, и методы, изложенные в этой главе, легко могут быть применены и к таким задачам. 19.2. Общие положения 19.2.1. Основная задача Независимо от того, велики или малы перемещения (или деформации), внутренние и внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия.
Если в соответствии с изложенным в гл. 2 перемещения определяются конечным числом (узловых) параметров Я, то, как показано там и повторено в предыдущей главе 1см. соотношение (18.13)1, должно выполняться равенство (19.1) где ® — сумма внешних и внутренних обобщенных снл, а мат- рица 1В1 определяется из соотношения Черта означает, что при больших перемещениях деформации нелинейно зависят от перемещений и матрица (ВЫ зависит от (о1.
В дальнейшем будет видно, что ее удобно представить в виде РЧ - 1Ве1+ 1В~ ((Ц)), где (ВД вЂ” матрица, определяющая бесконечно малые деформа- ции, а матрица (ВД зависит от перемещений, Будет показано, что в общем случае (ВД является линейной функцией переме- щений, 440 Глава 19 Если деформации не очень велики, то можно использовать обычное соотношение теории упругости ® = [Р1 ((е) — (ез)) + (ааК (19.4) где ٠— обычная матрица упругих постоянных '). Однако в равной степени можно было бы использовать и любое нелинейное соотноыение между напряжениями и деформа14иями, поскольку задача сводится к ре1иению нелинейной системы уравнений 1'19.1). Вероятно, нет необходимости повторять, что интегрирование в (19.1) фактически производится по отдельным элементам, а их вклады в уравнения равновесия в узлах суммируются обычным образом.
19.2.2. Итераиионные методы Ясно, что уравнение (19.1) следует рещать методом итераций, и возможность применения описанных в предыдущей главе (разд. 18.3) общих методов очевидна, При использовании метода Ньютона необходимо, как уже указывалось, найти зависимость между й ® и с1 ®. Варьируя (19.1) по Й1Ь), получаем л ьн= [ка" (с1 шг+ 1 1Втк(01кг. Используя формулы (19.4) и (19.2), находим а) с1 ® = [Р[ с1 (е) = Щ [В~ а ®, а на основании (19.3) имеем Д [В1 = с1 [В 1 Поэтому (19.6) где (19.7) ') 11еобходимо иметь в виду, что компоненты напряжения, определяемые соотношением (!9.4), соответствуют используемым компонентам деформации, В некоторых задачах о больших перемещениях эти компоненты деформации отнесены к направлениям, значительно отличающимся от направлений первоначальных фиксированных координат. в) Если используется нелинейное соотношение между напряжениями и деформациями, то 10] = (В((о))1 — матрица упругих постоянных для приращений, оппеделяемая равенствам (18.15).
Геометрически нелинейные задачи 441 а [Ко1 является обычной матрицей жесткости при малых деформациях, т. е. [Ка1 имеет вид !к,! = ~ !в,!'!в! !в,! а~. Матрица [КД появляется благодаря тому, что перемещения велики. Она определяется выражением !ка! = ~ (!во! !в! !ва! + !вс! !в! !вш!+ (19.7а) + [В~1т Щ [.ВО1) Д$~. (19.7б) Матрица Щ известна как матрица начальных перемещений [21, матрииа больших перемещений и т. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
