Метод конечных элементов (1061787), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Нетрудно показать, что эту матрицу можно построить, считая деформации малыми, но учитывая изменения координат элемента при вычислении жесткостей. Первый член выражения (19.6) может быть записан в виде 1в!в.! ! !л =%.!в(в!. с1 ® = ([КО1+ [К 1+ [КЬ1) с1 ® = [Ктвд Ю (19.9) где [Кт'1 — полная матрица тангенииальньсх жесткостей. Итера-ции метода Ньютона строятся, как описано в разд. 18.3: а) в качестве первого приближения (о1 строится решение по линейной теории упругости; б) с помощью соотношения (19.1) определяется Щ1 для заданной матрицы [В1 и напряжений, определяемых равенством (19,4) (или любым другим линейным или нелинейным законом).; в) строится матрица [КД г) определяется поправка Л(й = — [КтГ'(Ю!. Процесс повторяется до тех пор, пока величина ®.„не станет достаточно малой.
И здесь возможно использование постоянной матрицы, если на каждом шаге правильно вычислять (ф)„, [51, Хотя применение этого метода решения сокращает затраты машинного вре- где [Ка1 — симметричная матрица, зависящая от величины напряжения (в справедливости этого утверждения, вероятно, лучше всего убедиться на конкретных примерах). Эта матрица известна как матрица начальных напряжений [2~ или геометрическая матрица [3, 4~, Таким образом, 1'лава В мени, число итераций увеличивается и метод сходится во многих случаях медленно. Все решения можно находить за один шаг для полной действующей нагрузки, Однако, как и во всех нелинейных задачах, возникает возможность неединственности решения и при этом может быть найдено решение, не имеющее физического смысла, В таких случаях целесообразно задавать нагрузку отдельными приращениями и получать нелинейное решение для каждого приращения.
С вычислительной точки зрения это часто экономичнее, поскольку эффекты нелинейности на каждом шаге становятся меньше. Если приращения нагрузки достаточно малы по величине, то каждое решение в приращениях с достаточной степенью точности может быть найдено за один шаг 13, 4, 61 '). Однако необходимо периодически проверять выполнение условия равновесия с помощью нелинейного соотношения (19.1).
19.2.3. Задача начальной устойчивости Интересно отметить, что матрица Щ не содержит перемещений в явном виде и пропорциональна величине напряжения (о1. Если на первом шаге вычислений (о1 определяется из линейного решения, то в соответствии с (19.6) (19.10) поскольку при этом ~КД= О. Если нагрузки увеличить в Х раз, то можно найти, что существует нейтральное состояние равновесия, т. е. такое, при котором И И) = (КЛ+ Х 1К,1) Д (Ч вЂ” = О. (19.11) Решая описанную вьппе (см.
гл. 17) типичную задачу о собственных значениях, можно найти Е. Это не что иное, как классическая задача начальной устойчивости (выпучивание стоек, пластин, оболочек и т. д.). В литературе довольно часто этот метод используется там, где он неприменим. Описанная задача начальной устойчивости может дать физически правильное решение только в том случае, если деформации, определенные из упругого (1Я) решения, таковы, что матрица больших деформаций ~КД тождественно равна нулю. Это может быть только в очень ограниченном числе представляющих практический интерес случаев (например, идеально прямая стойка под действием осевой силы; замкнутая ~) Это обстоятельство фактически указывает на то, что.описанный метод эквивалентен методу Эйлера.
Ясно, что его можно уточнить, применяя методы Рунге — Кутта или методы проб и ошибок (281. Геометрически нелинейные зада ги 19.2.4. Энергетическая интерпретация критериев устойчивости Как было показано в гл. 2, виртуальная работа при изменении перемещения на величину г1(о) фактически равна вариации полной потенциальной энергии у. Таким образом, в состоянии равновесия 1~= 1(б)т® =О, (19.12) т, е. полная потенциальная энергия стоционарна (что эквивалентно уравнению (19.1) ~.
Вторая вариация у в соответствии с (19.9) имеет вид У Д(ДД - ~Р)т,1 и,) г1(б)ту ~г1(х) (19 1З) Критерием устойчивости является положительность величины этой второй вариации, и,. наоборот, ее отрицательность является критерием неустойчивости (поскольку в первом случае конструкции должна быть сообщена энергия, а во втором— у конструкции избыток энергии). Другими словами, если матриЦа (Кт1 положительно опРеделеннаЯ, то состоЯние РавновесиЯ устойчиво. Этот критерий хорошо известен и широко используется при исследовании устойчивости в случае больших деформаций ') ~7 — 9~.
19.2.5, Силь~, зависящие от деформации При выводе формулы (19.5) предполагалось, что силы Щ не зависят от деформации. В некоторых случаях это не так. Например, к категории зависящих от деформаций нагрузок относятся давление, действующее на сильно деформируемую конструкцию, и некоторые аэродинамические силы (при флаттере).
'1 Другой, хотя и реже используемой проверкой является исследование знака определители матрицы ~Кт1. сфера, нагруженная равномерно распределенным давлением, и т, д,). Полученные с помощью этого метода выводы о начальных «несовершенствах» применимы только в тех случаях, когда возможна бифуркацня равновесия. Для технических приложений такие задачи необходимо исследовать, используя полную матрицу тангенциальных жесткостей 161.
Состояние нейтрального РавновесиЯ достигаетсл тогда, когДа величина ~Кт1И® тождествешю равна нулю. Ясно, что в этом случае следует использовать метод приращений. Глава 19 Е сли силы зависят от перемещения, то в (19.5) необходимо добавить вариацию аЯ по 4Я. Учет этого члена позволит исследовать задачи об устойчивости и о больших деформациях под действием таких (неконсервативных) нагрузок. 19.3. Большие прогибы и начальная устойчивость пластин 19Х1. Определения В качестве первого примера рассмотрим задачи, связанные с деформацией пластин, нагружеиных поперечными силами и у' Фиг.
19.1. и-результирующие мембранных и изтнбных напряжений плоской пластины; б-удлинение срединной поверхности при поперечном перемещении. силами в плоскости пластины, когда перемещения конечны, но не велики. Известно, что в таких случаях перемещения в поперечном направлении вызывают деформации мембранного типа, и задачи о деформации в плоскости и в поперечном направлении уие нельзя рассматривать отдельно, поскольку они являются евязанныл~и.
Как и ранее, деформации пластины будем характеризовать перемещениями срединной поверхности; если, как показано на Геометрически иелинедные задачи фиг. 19.1„а, плоскость к, у совпадает со срединной поверхностью, то (см. гл. 10 и 11) ') (19.14) дд~ д~~е 2— дхду . В частности, Т, = о 1, где 6„ — среднее мембранное напряжение. Если рассмотреть деформированную пластину (фиг. 19.1, б), то можно увидеть„что перемещение в приводит к дополнительному растяжению срединной поверхности в направлениях х и у и элемент длины дх растягивается до вели- чины Их'= 1+ — „И~ 1+ — ~~ + ...
т. е. удлинение в направлении х можно записать (с точностью до членов второго порядка) в виде до дф ди до — +— дд дх д е дк' + . (19.15) ') Мембранные и изгибающие компоненты помечепьг индексами р1 и Ь. Рассматривая таким же образом и другие компоненты 1101, деформацию можно представить в виде Здесь первый член представляет собой уже неоднократно рассмотренное линейное выражение, а второй содержит нелинейные члены. В этом выражении и, о, и — перемещения срединной поверхности. Если рассматривается линейно-упругое поведение, то матрица 101 состоит из мембранных и изгибающих компонент (см. гл, 4 и 10): О 10~1 (19.16) Перемещения с помощью соответствующих функций формы вы- ражаются через узловые параметры.
Например, Множество узловых параметров удобно разделить на части, определяющие мембранные и изгибные деформации: (М= где (б~ ~=( ~ ~как вгл.4), (19.18) (как в гл. 10). Функцию формы также удобно представить в виде мы будем считать, что и вектор перемещений тоже имеет вид, соответствующий (19.18). Такие представления удобны, поскольку все характеристики, за исключением нелинейной деформации ~ар~), совпадают с обычными линейными, Геометрически нелинейные задачи 19Л2.
Вычисление матрицы Щ Для дальнейшего необходимо получить выражения для матриц [Щ и (КД Сначала отметим, что Я =Рй+ Рт.1 (19.20) 1В.''~ О ~ ю ~ВД1 Ро| = [о ~ли~ причем ~Во' 1, ~Во~ — обычные известные матрицы, соответствуюгцие линейным элементам при плоском напряженном состоянии и изгибе, а (ВД находится варьированием (вЫ по параметрам (бь1. Эту нелинейную компоненту деформации из выражения (19.15) удобно записать в виде д~ дх ди 2~ дд '1'Р~~ — 2 1 да ду Производные (углы наклона) ге можно связать с узловыми параметрами (о ): да~ (О) = д =ЯР'Ь дя (19.22) ал~",. и~,' '"= д.
(19.2З) дф дд Матрица ~6~ зависит только от координат. Варьируя (19.21), получаем ') д (аЫ 2 с11АИО) + 2 1А1 д (О) 1А1 д (О) = ~А1 ~6) Ы (6~), (19.М) ') При получении (!9.24) использовано интересное свойство матриц (А1 и 101, Легко проверить, что если ,(~=(") и, следовательно, по определению 19.3.3. Вычисление матрицы ~КЯ Матрицы, связанные с линейной (малой) деформацией, записываются в виде Ие1 = (19.26) в соответствии с определениями, приведенными в гл. 4 и 10. Матрицы, связанные с большими перемещениями, можно по- лучить, подставляя (19.20) в (19.7б).
После некоторых преоб- разований имеем Матрица 1К,'1 находится в соответствии с определением (19.8). Варьируя (19.20), получаем есть произвольный вектор, то ~11Л) Ф Ы [Л) 16) = 1Л) Н 16). то сх 16); это второе свойство будет использовано позднее. Таким образом, Аналогично если гВргтг г~~й1 Симметрично 1Вдт 1О "~ 1Вц ~ ~ дК. (19.27) Геометрически келинейные задачи а после подстановки в (19.8) и (19.25) находим Tе О,О1 ~1~'~~( ) ~а~ а~л1 О 1 т„„ 1их Мр 111хе (19.29) В соответствии со свойством, изложенным в примечании на стр. 447, можно записать Таким образом, окончательно получаем (19.ао) где известная симметричная матрица для начальных напряжений пластин.
19,3.4. Задача о больших прогибах Все необходимые соотношения для решения задачи о больших прогибах пластины уже получены. На первом этапе находятся перемещения Я из решения несвязанной задачи о малых перемещениях. С их помощью определяются линейная и нелинейная ~по соотношению (19.21)1 части действительных деформаций. Соответствующие этим деформациям напряжения находятся из обычных соотношений теории упругости, а затем из уравнения (19.21) определяется (фД.
Для последующих приближений 1К4 строится по формулам (19.26), (19.27) и (19.30). Полученное таким образом решение типичной задачи [91 (фиг. 19.2) показывает, что с увеличением деформации благодаря появлению мембранных напряжений пластина становится жестче. Перемещения краев пластины как в ее плоскости, так и в поперечном направлении отсутствуют. Результаты расчета хорошо согласуются с аналитическим решением, 1'лаза 1У Для описания мембранной деформации элемента использовалась приведенная в гл, 7 простейшая функция для прямоугольника, а для описания изгибной деформации — несогласованная функция формы для прямоугольника (разд.
10.4 гл. 10). Б работах 111 †1 приведены другие примеры использования метода конечных элементов для расчета больших деформаций пластин. ф Фиг. 19.2. Прогиб ги. в центре защемленной квадратной пластины при равно- мерно распределенной нагрузке р 191. А-расчет больших прогибов; и-теория малых прогибои. 19.,3.б. Би4уркация В ряде случаев, таких, например, как классическая задача Эйлера, возможна бифуркации равновесия. Рассмотрим пластину, нагруженную лишь в своей плоскости. Поскольку поперечных перемещений ж не возникает, теория малых прогибов дает точное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
