Метод конечных элементов (1061787), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Однако даже при нулевых поперечных перемещениях можно определить матрицу начальных напряже. ний ~К4, хотя 1КД = О. Если мембранные напряжения сжимающие, то эта матрица, как правило, будет такой, что из уравнения изгибной деформации сгк01+ ФФИЬ'1 -0 (19.32) можно найти действительные собственные значения. Здесь Х— множитель при .мембранных напряжениях, указывающий, при Геометрически нелинейне1е задачи каком их значении достигается состояние нейтрального равновесия 1пеустойчивость). При соответствующей этим мембранным напряжениям нагрузке начинается выпучивание и могут появляться поперечные перемещения в отсутствие поперечной нагрузки. Для постановки этой задачи достаточно записать уравнение изгиба, в которое входят введенная в гл.
10 матрица ~У~61 и определенная соотношением (19.31) матрица ~КД. С помощью различных конечных элементов определены точки начала выпучивания для различных задач расчета пластин 116 †2. Некоторые сравнительные результаты для простой задачи расчета квадратной свободно опертой пластины в условиях равномерного сжатия в одном направлении приведены в табл. 19.1. Параметром выпучивания в этом случае является величина ткат ать где а — сторона пластины и 0 — изгибная жесткость. Таблица 19,1 Значения С для квадратной свободно опертой пластины при одноосном сжатии (точное значение С = 4,00 1101) Несогласованные алементы Согласованные элементы треугольник 1191, 9 степеней свободы прямоугольник 1291, 16 степеней свободы четыр ек угольник 121], 16 степеней свободы прямоугольник 11У1, 12 степеней свободы 3,22 3,72 3,90 2~(2 4Х4 8~(8 4,015 4,001 4,029 4,002 Все элементы относятся к описанному в гл, 10 типу.
Интересно отметить, что при выполнении требования непрерывности углов наклона для параметра выпучивания всегда получаются оценки сверху. При использовании несогласованных элементов в этом случае получаются оценки снизу, хотя в общем случае справедливость этой оценки пока не установлена. На фиг. 19.3 показана форма выпучивания для пластины более сложной формы [191. При расчете использовались несогласованные треугольные элементы. Практическое значение таких задач об устойчивости пластин невелико.
Поскольку при наличии поперечных перемещений пластина становится жестче, она может выдерживать дополнительные нагрузки. Такое увеличение жесткости отмечалось в при- Глава 1У Фиг. 19.3. Форма выпучивания квадратной пластины с защемленными краями и подкрепленным фланцем центральным отверстием при сдвиге. 1'сна*' К-" — = М,12.
и'-11 Ра змеры флацц»: Ь %'а —, 8 9д, за мере, иллюстрированном на фиг. 19.2. Таким образом, поведение пластины после выпучивания необходимо исследовать, применяя описанный в предыдущих разделах общий метод изучения больших деформаций ~22 — 24~. Для того чтобы избежать связанных с бифуркацией трудностей, следует задать небольшое возмуще- ние (или поперечную нагрузку). 19.4. Оболочки Задачи устойчивости для оболочек имеют большее значение, чем для пластин.
При исследовании оболочек матрицу тангенциальной жесткости ~Кт), как.правило, всегда следует определять с учетом действительных перемещений, поскольку, за исключением самых тривиальных случаен, при заданной нагрузке мембранные и изгибные эффекты всегда взаимосвязаны. Одна- Геометрически нелинеаньи задачи ко, вычисляя матрицу начальной устойчивости ~К4 для упругих напряжений, иногда можно получить полезные результаты относительно коэффициента устойчивости Х. В классических работах по выпучиванию оболочек почти исключительно рассматривается именно такая начальная устойчивость.
Однако истинная критическая нагрузка может быть значительно ниже нагрузки, соответствующей начальной устойчивости. Поэтому важно выявить, хотя бы приближенно, влияние деформаций. Если предполагается, что оболочки состоят из плоских элементов пластин, то к матрице тангенциальной жесткости пластины можно применить описанные в гл.
11 преобразования 125, 26~. При использовании криволинейных элементов оболочек следует вернуться к уравнениям теории оболочек и включить в них нелинейные члены 19, 27~. Необходимые подробности читатель может найти в упомянутых работах. Важно опять подчеркнуть, что расчеты начальной неустойчивости имеют смысл только в частных случаях и что они часто дают сильно завышенные значения критических'нагрузок. Для г,оз 10 гее, ея Фиг. 19А. Прогибы в центре цилиндрической оболочки, Все края ващем« лены.
т=о,з2см, т=о,з, в=а ~о нум, Глава О получения правильных результатов необходимо решать нелинейные задачи. Существенное размягчение оболочки под нагрузкой видно на примере, взятом из работы 191 и иллюстрированном на фиг. 19А. На фиг. 19.5 показано, что перемещения нагруженной .7,77са хБI, О Яу,о ~~Я,О ст ЩБ аО ББ/ 476 /Ог /77 Провидя Б цвнлрв, см ' Фиг. 19.6. Расчет больших деформаций арки методом начальной устой 1ивости и приращений. 1 — решевие методом начальной устойчивости; //-решение методом конечных влемеи- тов Р1. лаю!,21 сМ', /~О,ОО2Ю сй4, и~6.74 ° 10м Н/мт. арки неограниченно возрастают при величине нагрузки, гораздо меньшей определенной по линейной теории устойчивости 1б].
Определение истинной критической нагрузки оболочки или другой тонкой конструкции связано с определенными трудностями (уже рассмотренного в гл. 18 вида), поскольку не может быть сходимости перемещений при увеличении нагрузки вблизи предела несущей способности. 455 Геометрически нелинейные задачи Если рассматривается только сосредоточенная нагрузка, то удобно задавать приращения перемещений и вычислять соответствующие реакции. Аргирис [4) с помощью этого метода изучил поведение арки при прощелкивании. Пиан и Тонг [28~ показали, каким' образом этот прием можно просто обобщить на случай системы пропорционально изменяющихся нагрузок.
В работах [29 — 331 описаны другие методы исследования потери устойчивости, 19.5. Общий случай больших деформаций и перемещений Использованные в разд. 19.3 нелинейные соотношения (19.5) между деформациями и перемещениями были выведены спеииалько для этого случая. Аналогично можно вывести соотношения и для оболочек, кроме того„всегда существует возможность получения и других приближенных выражений.
Однако можно использовать общее определение деформаций, справедливое как для больших, так и для малых перемещений и де4ормации. Такое определение введено Грином и Сен-Венаном. Оно известно как тензор деформации Грина, В фиксированной декартовой системе координат х, р, г деформации определяются через перемещения и, о, в выражениями [341 . *=%+И%)'+%)'+Ф)*) ди до ди ди до до ~я да~ (19.33) ~"и ад+ ах+[а, пи+ ах ар+ ах а~)' Остальные компоненты получаются в результате соответствующих перестановок. Если градиенты перемещения малы, то после пренебрежения квадратичными членами получаем обычные линейные выражения для деформации.
Геометрическая интерпретация вышеприведенных определений деформаций в общем случае не очевидна, но следует отметить, что они являются мерами удлинения и искажения углов первоначально ортогонального элемента. Если деформации по величине малы, то нетрудно показать, что а определяет изменение длины единичного отрезка, первоначальна параллельного оси х, а у„,, характеризует изменение угла между двумя линейными элементами, первоначально параллельными осям х и у. Это справедливо даже при движениях, связанных с большими переносом и поворотом первоначальных осей координат.
Далее выводятся нелинейные выражения для матриц [В~ и ~,1 в общем случае трехмерного напряженного состояния. Из Глава И этих выражений просто получить одномерные и двумерные формы. Это предоставляется проделать читателю в качестве упражнения. Общие соотношении удобно использовать для задач расчета пластин и оболочек. При этом можно учесть некоторые члены, которыми мы пренебрегали в записанных в предыдущем разделе выражениях для пластин. 1УХ1. Построение латрииы (ВД Вектор полной трехмерной деформации можно представить через компоненты бесконечно малой и большой деформаций (е) = (е') + (е~), ди дв — +— ду дх столбец, рассмотренный в гл. 6. Нелинейные члены в соотно- шении (19.33) удобно переписать в виде (О„) (О„) = — (А) (О), (19.36) (О.) где а 1А1 — матрица размерности 6 Х 9.
Читатель легко может убедиться в справедливости записанного выше соотношения и проверить выполнение свойств матриц (О„)т 0 0 (О„)г 0 0 0 (О,) (О,~г ' 0 (О„)г (О„)г 0 0 (О )т (О )т (О.Г 0 до 'дд д~ дя д0 дИ вЂ” + дг ду Геолетрически нелинейные задачи 1А) и (О), описанных в подразд. 19.3.2 (примечание на стр. 447). В этом случае " (вЧ = — " 1А1 (Ч + фА1 д (О) = ~А1 д ®, (19.37) и так как (О) можно выразить через функцию формы Я и узловые параметры Я, то М=Р1(Ч (19.38) или И(а'-) =.1А] ~б~д(Ц и 1ВД = 1А~ ~О]. (19.39) 19.5.2.
Построение матрицы юг'1 Замечая, что Р1=Ро1+РЬ легко построить матрицу, определенную соотношением (19.7): Щ = ~Ко]+ ~КД = ~ Щ~ [в~ ~В~ НУ. (19.40) К,~в( ~=~в~в,~ р ~л =~~в~ вщ~Ввл. н9лц Можно записать ох1з ~ху13 тхх1з а,1з й® =РЙМд(й, Я~Ят (о) = Симметрично (19.42) где 1з — единичная матрица размерности 3 К 3. Подставляя (19.42) в (19.41), получаем 1к.]= 1 1сгм!01 а~, У (19.43) где 1М1 — матрица размерности 9 Х9 из шести компонент напряжения, расставленных, как показано в (19.42). Очевидно, что матрица 1К,~ симметрична.
В предыдущих выражениях индекс элемента опущен, хотя все матрицы должны строиться для каждого элемента, а затем. суммироваться обычным образом. Для получения полной матрицы тангенциальных жесткостей не- обходимо построить матрицу начальных напряжений 1К 1. В со- ответствии с (19.8) имеем В случае необходимости введения непротиворечивых упрощений при исследовании пластин и оболочек полезно начинать с общих выражений. Эти выражения необходимо использовать и при исследовании рассмотренных в гл. 14 толстых оболочек. Если известна связь между напряжениями и деформациями, то ее можно использовать для исследования больших деформаций. Однако чаще определяют непосредственно энергию деформации через компоненты деформации и, минимизируя ее, находят обобщенные силы. Некоторые примеры такого подхода к исследованию больших деформаций даны Оденом ~35 — 38~, который рассмотрел большие деформации резиновых мембран и сплошных сред, 19.6.
Заключительные замечания В этой главе сделана попытка подойти ко всем задачам о больших деформациях с одних и тех же позиций. Указаны различные методы решения основной системы нелинейных уравнений, и вполне естественно, что перед читателем может встать вопрос, какой из этих методов предпочтительнее. Если требуется найти лишь одно решение нелинейной задачи о больших деформациях, то в большинстве случаев оказывается, что метод Ньютона сходится довольно быстро. Однако в некоторых случаях экономически выгоднее применять методы, использующие постоянную матрицу. Если требуется исследовать весь процесс деформирования при нагружении, то,.как правило, рассматриваются малые приращения нагрузки и для каждого такого приращения решается задача линейной теории упругости, причем матрица тапгенциальных жесткостей вычисляется для начала приращения нагрузки ~2, 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
