Метод конечных элементов (1061787), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Некоторые возможности описаны ниже. а) При использовании элементов высоких порядков с дополнительными узлами на сторонах или групп малых элементов одной и той же конфигурации исходные данные могут задаваться только в некоторых определенных узлах, а для полного описания геометрии элемента могут использоваться специальные подпрограммы. Иногда элемент может содержать узел, не связанный с другими элементами (например, внутреннюю степень свободы).
Б таких случаях соответствующую степень свободы можно исключить, а в ансамбле использовать сокращенную матрицу жесткости. б) Координатные оси можно выбирать по направлению перемещений (например, координаты, связанные с узлом, которые описаны в работе ~3~), что влечет за собой необходимость преобразования матриц от узла к узлу, Применение таких координат приводит к тому, что матрицы жесткости элементов записываются в разных системах координат. Указанный подход удобен в следующих случаях: 1) при наличии узлов, в которых под некоторым углом к глобальным осям направлена одна (или несколько) удерживающая связь, что сильно затрудняет непосредственный учет граничных условий; 2) при учете симметрии или антисимметрии с целью уменьшения общего числа уравнений; например, при исследовании '/8 вместо Ч4 пластины в случае двойной симметрии или при использовании неосесимметричных элементов в осесимметричных задачах ~3).
3) при исследовании оболочек двойной кривизны, когда ось ж в каждом узле направляется по внешней нормали к поверхности оболочки, так что для каждого узла требуется. всего лишь пять степеней свободы Щ. Пример программы. Приведенная программа строит мат. рицу жесткости размерностью 6~~(6 для элемента, используемого при расчете плоской деформации, и записывает матрицу напряжений на магнитную ленту для дальнейшего использования при вычислении напряжений элемента.
Блок-схема программы приведена на стр. 477. Вычислительные методы и программы И 1,Л,К АЯ„ВЛ, АК, ВК л (з„6) * ЕБТ1РМ (12,12) 11рограмма 20-4 я)вяо1)т11че зт1РТ2(щ СОММО1ЯСОИТВ1Т1Т1.Е(12),ЫР,МЕ,МВ,И1»Р,ИСК,%.0,ИМАТ, ИВУРД.1,ХТ4 СОММОХ СОКО(100,2),1ЧОР(200,4)„1МАТ(200),Ойт(25,2),ИВ С(25), ЫИХ(25) 1,й Ц200),ЯК(200,40) 2, Езт1вц12,12),А(з,б),в(з,9) с с с Определение связей элемента 1 =* »чОР(Н,1) 3 = ХОР(И,2) К ХОР(Ы,З) 1. 1МАТ(И) 11 12 13 14 Образование системы локальных координат АЛ = СОЮ(Л,1) — СОКО(1,1) АК = СОКО(К,1) — СОЮ(1,1) ВЛ = СОЧВ(Л,2» — СОК0(1,2) ВК = СОЮ(К,2) — СОКР(1,2) АКЕА = (АЯ ВК вЂ” АКеВЛ)12 1Р(АРЕАЛ.Е.О.) 60 ТО 220 15 16 17 18 19 20 С С С Формирование матрицы связи деформаций с перемещениями А(1,1) = ВЛ вЂ” ВК А(1,2) = О. А(1,з) = ВК А(1,4) = О.
А(1,5) = — ВЛ А(1,6) = О. ~ Массивы, расположенные в области СОММСЩ Обозначения переменных е подпрограмме БТ1РТ2 (Х) Всюду обозначает номер элемента Параметры, определяющие связи элемента; позже используются как счетчики цикла Локальные координаты треугольника Матрица, связывающая деформации с перемещениями Матрица, связывающая 'напряжения с деформациями; в дальнейшем используется при построении матрицы жесткости элемента; 39) ф Матрица напряжений для обратного хода Глава 20 С с с 42 4З 44 50 51 52 53 54 С С С ЕЯТХРМ вЂ” матрица жесткости 55 56 57 53 59 63 А(2,1) =О. Л(2,2) = АК вЂ” А,Х л(2,3) -о. А(2,4) — АК А(2,5) = О.
.А(2,6) = А,Х А(3,1) = АК вЂ” А.Х А(3,2) = ВХ вЂ” ВК А(3,3) = — АК А(з 4) - ВК А(3,5) = Аг А(3,6) = — В,Х формирование матрицы связи напряжений с деформациями СОММ ОЙТ(1.,1)/((1. + ОЙТ(1.,2))*(1. — ОЙТ(1.,2)»2)ШАЙБА) ЕЗТ1РМ(1,1) = СОММ (1. — ОЙТ(1.,2)) ЕЗТХРМ(1,2) = СОММ«ОЙТ(1.,2) ЕЗТХРМ(1,З) = О.
ЕБТ1РМ(2,1) = ЕБТХРМ(1,2) ЕЯТ1РМ(2,2) = ЕЗТ1РМ(1,1) ЕЬТХРМ(2,3) = О. ЕЗТХРМ(З, Ц = О. ЕЬТХРМ(32) = О. ЕБТ1РМ(3,3) ВОЙТ(1.,1)/(2 (1. + ОЙТ(Х 2) АЙЕА) Р — матрица напряжений для обратного хода; хранится на магнитной ленте ВО 2051= 1,з 00 205 1=1,6 В(1,Х) - О. ОО 205К=1,3 205 В(1,Х) = В(1,Х) + ЕЗТХРМ(1,К)/2.~А(К,Х) %ЙХТЕ(ХТ4)Я,((В(1„Х)„Х = 1,6),1 = 1,3)- 00 210 1=1,6 00 210 Х= 1,6 ЕЯТ1РМ(1,Х) = О. во 210 К =1,3 210 еьтХРм(1„х) = еьтХРм(1,,х) + В(К.1)(2 *А(К х) ЙЕТ(ХЙЫ с С Выход из программы прн ошибке в задании связей С 220 ЖЙ1ТЕ(6,100)И 100 РОЙМАТ(ЗЗН1УЕЙО ОЙ ХЕОАТ1УЕ АЙЕЛ Е1.ЕМЕЯТ ИО14!21 - НОЕХЕС(ХТХОХ 1ТЕЙМ1ИАТЕЩ ЗТОР БИО 29 зо 31 32 33 34 35 36 37 зз 30 40 Вичислительные методы и нрдераммы Блок-схема подпрограммы 5Т1РТ2 20.5.
Составление ансамбля и решение уравнений В любой программе, реализующей метод конечных элементов, ключевой является подпрограмма решения систем уравнений, Выбор метода решения зависит от числа уравнений задачи и от типа используемой вычислительной машины. Глава 20 20.5.1. ~иетод исключения Гаусса Пусть система У уравнений представлена в блочном виде (20.1) где ʄ— матрица размерности 1Х1, К,~ — матрица размерности 1Х(У вЂ” 1), Ка, — матрица размерности (У вЂ” 1) р, 1, К2з — матрица размерности (У вЂ” 1) Х (У вЂ” 1), б — вектор неизвестных величин, Р— вектор известных величин. Метод исключения Гаусса позволяет уменьшить размерность матрицы К и получить матричное уравнение размерности М вЂ” 1 в виде К*6 = Р", К = К22 К21КП К!2 Р*= Р~ — Кз1Кп Р~.
где (20.3) (20.4) Разбивая точно так же на блоки матрицу К', этот прием можно повторить. Основной операцией при этом будет вычисление тройного произведения К21Ки'Кв. Так как матрица Кы имеет размерность 1 Х 1, количество операций пропорционально (У вЂ” 1)'. Когда размерность матрицы К будет сведена к 1 Х 1, последнюю неизвестную б„можно будет найти непосредственно. Используя обратный ход'), остальные неизвестные можно 1) Процесс исключения Гаусса обычно называют нрямым ходом, а решение системы с треугольной матрицей — обратным ходом,— Прим.
ред. В простейшем случае уравнения формируются полностью. При таком подходе требуется № ячеек памяти, где У вЂ” количество уравнений, и его можно использовать только для небольших задач и при применении больших ЗВМ. При 100 уравнениях, например, требуется 10 000 ячеек памяти. Для решения систем линейных уравнений хорошо разработаны два метода; а) прямой метод, позволяющий получить точное (в пределах ошибки округления) решение; б) итерационный метод, использующий сходящийся к точному решению процесс последовательных приближений. В качестве прямого метода часто используется метод исключения Гаусса, а в качестве итерационного — метод Гаусса — Эейделя.
Вычислительные методы и программы определить из уравнения типа б! =Кц Р! — К!! Киб~. (20,5) Описанная процедура представляет собой простейший прямой метод, при использовании которого все элементы матрицы хранятся в оперативной памяти и участвуют в вычислениях. Используя свойство симметрии матриц жесткости, можно сократить число операций почти вдвое, производя все действия только с частью матрицы, расположенной выше диагонали, При этом для решения необходимо выполнить около !~еЖг операций. Типичная матрица жесткости ансамбля элементов содержит много нулей, в частности, на,некотором расстоянии от диагонали находятся только нулевые члены.
Такая матрица называется ленточной, а расстояние от диагонального члена элемента до последнего ненулевого элемента этой же строки называется половиной ширины ленты. Ленточный характер этой матрицы можно продемонстрировать, записывая ее в блочном виде, как показано ниже, где нулевая подматрица заменяет часть подматрицы К!г, содержащую нули: К!! К!2 0 Кы Кгг Кю 0 Кяз Кзз (20.6) В силу симметрии матрицы будут иметь размерности Кп(1Х1), К! (1Хтп). Кю(тпХтп) ' Ка (т Х (Ф 1 — !т!)), Кзз (® — 1 — т) Х (У вЂ” 1 т)). При исключении подматрицы Кг! изменяется только К22, так как нулевая подматрица не изменяет К2в и Кгв. Количество опе- раций исключения пропорционально тп', а общее количество операций — величине или приблизительно '/,Уи',„,,где т е, — максимальная ве.
личина половины ширины ленты. На практике половина ширины ленты обычно меньше 9!о размерности матрицы, и описанный способ использования свойства ленточности матрицы позволяет уменьшить число арифметических операций почти до 3% от числа выполняемых операций при использовании метода, не учитывакицего ленточного характера матрицы, К11 К12 К 12 К22 Кзз К24 К23 Кзз К34 г г г К24 Кз4 К44 К34 Кт Й К Кгз 0 К22 Кзз Кзз К34 К44 К43 К 0 б 0 Фиг.
20.1. Хранение матрицы прн решении уравнений методом ленточных матриц. Ленточная матрица, задаваемая формулой (20.6), особенно удобна при решении больших систем уравнений, так как в процессе исключения операции производятся только над .К22 и поэтому только эта матрица нужна в оперативной памяти. Однако истинная эффективность достигается, если составление уравнений для ансамбля и исключение производятся параллельно, т. е. если уравнение искл1очается сразу после его составления. Это легко осуществить, если в качестве первого узла каждого элемента всегда использовать узел с наименьшим номером, а элементы располагать так, чтобы номера их первых узлов располагались последовательно. При таком способе процесс составления уравнений ансамбля будет автоматически прекращаться, как только номер' первого узла станет больше номера рассматриваемого узла.
После исключения Кп оставшаяся матрица сдвигается так, что первый элемент измененной матрицы К22 занимает позицию (1,1), а остальные — соответствующие им места. Исключенные уравнения могут временно пересылаться в промежуточное запоминающее устройство, а затем переписываться в виде блока в накопитель до следующего вызова. Для небольших задач объем промежуточной памяти может оказаться достаточным для того, чтобы вместить в себя все исключенные уравнения, при этом делать пересылку нет никакой необходимости. Новая матрица может быть вновь выражена через подматрицы К11, Кгз и К22, после чего процесс исключения повторяется. На каждом этапе исключения требуется .(пт+ 1)к (ги+ 2) ячеек памяти или при наличии симметрии — гюловина этого Другим преимуществом является экономное использование памяти машины, так как матрица может быть помещена в прямоугольный массив размерности У К тш„, как показано на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
