Метод конечных элементов (1061787), страница 57
Текст из файла (страница 57)
На фиг. 18.2Р сравниваются результаты расчета пластических зон при использовании элементов с постоянным распределением напряжений и изопараметрических элементов. Гладкость границ пластических зон (определенных по точкам Гаусса) в последнем случае приводит к значительному ускорению сходи- мости и повышению точности, Наконец, следует отметить, что описанные методы 'удобно использовать и для решения линейных задач, сформулированных первоначально с использованием других значений постоянных, Привлекательность такого подхода не очевидна до тех пор, пока мы не рассмотрим, например, решение задачи теории упругости для материала с коэффициентом Пуассона, равным 0,5.
Ранее отмечалось, что в этом случае матрица [Ц становится неопределенной и необходимо использовать специальные приемы (см,, например, гл. 4, разд, 4,5). Можно, однако, решать задачу теории упругости с допустимым значением коэффициента Пуассона методом начальных деформаций, изменяя в процессе решения деформации так„чтобы удовлетворить условию несжимаемости [34, Щ. ДРУГИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 18.10.
Нелинейные квазигармоиические задачи теории поля Нелинейности возникают в различных задачах теории поля рассмотренного в гл. 15 типа. Например, в задачах, описываемых уравнением [см. (15.1)1 (Й вЂ”,)+ —,(й ~ )+ — (Й вЂ” )+Я=-О, (18.45) Физичееки нелинейные задача проводимость Й может зависеть от функции ф или ее градиентов. В качестве иллюстрации можно привести два типичных примера. Во-первых, при фильтрации жидкости скорость может не удовлетворять условию ламинарности (Дарси), в соответствии с которым она определяется выражениями дФ п =Й вЂ” и т.д.
х В случае турбулентности требуется учитывать зависимость потери напора (дгайф) от более высокой степенй скоростей. Такие законы получены, например, в работах 1471 и 148~. Их можно также записать в ниде (18.46), полагая 149 — 511 А = й(б), ~п2+ в2+ п2 Аналогичная ситуация возникает в задачах магнитостатики, где ф — магнитный потенциал, а А — величина, обратная магнитной проницаемости, которая существенно зависит от градиентов магнитного поля 152). Таким образом„ в обеих задачах уравнения, по существу, одинаковы.
Хотя очевидно, что термины «переменные параметры упругости», «начальные напряжения и деформации» в этих случаях не подходят, для решения можно использовать аналогичные итерационные методы (см. разд. 18.3). В гл. 15 1уравнение (15.14)~ показано, что после дискретизации уравнения принимают такой же вид, как и в задачах теории упругости: ®=1Н1®+(Р) =О. (18.47) Поскольку Й используется при вычислении матрицы 1Н1, получаем М = И((фй и задача, таким образом, относится к рассмотренному в разд. 18.3 классу. Для решения можно использовать итерационный метод Ньютона, вычисляя на каждом шаге ЛЯ„„= — ~Н„~ 'И((ф)„)), .
(18.48) В этом случае, как было показано ранее, при каждой итерации приходится обращать различные матрицы. Можно также применять модифицированный метод Нгпотона — Канторовича, вычисляя ЛЮ„+1 = — 1НОГ'ИМЕЛИ, (18.49) где (НД вЂ” матрица, полученная на первом шаге, Опять можно использовать различные способы ускорении сходимости Ц. Ана- 434 Глава 18 логия с методами постоянной и переменной жесткости решения задач теории упругости очевидна. До сих пор методы конечных злементов для подобных задач применялись сравнительно мало. Волкер 1491 получил решение задачи о неламинарном течении жидкости в пористой среде с помощью первого из описанных методов (с переменной матри- Фиг.
18.21. Магнитное поле н шестнполюсном магните с нелинейностыо, об-. условленной насыщением 152~. Физически нелинейные задачи 435 цей !Н1). Удовлетворительные результаты получены после небольшого числа итераций, Винслоу !521 использовал аналогичный метод для решения различных задач магнитостатики. На фиг. 18.21 показаны некоторые полученные им довольно интересные поля в нелинейном материале ').
18.11. Некоторые другие возможные применения. Ясно, что описанные в предыдущем разделе методы решения нелинейных уравнений могут непосредственно применяться и для других задач, например для задач теплопроводности с ярко выраженной зависимостью коэффициентов теплопроводности от температуры при повышенных температурах. Однако очевидно, что эти методы имеют более широкие воз-, можности в других физических задачах. Примером такой задачи является задача о ламинарном течении неньютоновских жидкостей, уравнения которой, по существу, совпадают с уравнениями вязкого ламинарного течения, рассмотренными в разд. 15.6 гл. 15, но вязкость в этом случае зависит от градиентов скорости.
Читатель может проявить свою изобретательность, применяя изложенные методы к подобным и многим другим задачам. ЛИТЕРАТУРА 1. 7!епЫецпсз О. С., 11аП1аррац Б., К!пд 1. Р., 51гезь Апа!ув!ь о1 Коси аь а Хо-Топь(оп Ма1епа1, беогесппщйе, 18, 56 — 66 (1968). 2а. 1гопь В. М., Тцс)г К.
С., А Чегь!оп о1 1Ье А!!)реп Ассе!ега1ог 1ог Согпрц1ег 11егапоп, 1п1. 1. Иигп. МеГп. Епд., 1, 275 — '278 (1969). 2Ь. Е1епЫецч)сх О. С., 1гопв В. М., Ма1пх 1!егаг!оп апг1 Ассе1еганоп Ргосеььеь 1п Г1п!1е Е1егпеп1 РгоЫегпз о1 81гцс1цга! МесЬап1сз, СЬ. 9 1п: Ь)цгпег1са! Ме1Ьог!ь 1ог Ь!оп-).!пеаг А18еЬга!с Ецца11опь, КаЫпочйх Р., ес!., Оогг!оп апй ВгсасЬ, 1970. 3.
Ос!еп,). Т., Ь1цп1епса1 Гоппц1аиоп о1 Хоп 1.1пеаг Е1аьПс{у РгоЫешь, Ргос. Апь Бос..Сгц. Епх., 98, ЗТЗ, 235 — 255 (1967). 4. Ъ'оп М1ьеь К,, МесЬапй бег Р1аь11ьсЬеп Гоггпапбегцпи г!ег Кпв1аПеп, Е апиега. Май. Месй., 8, 161 — 185 (1928). 5. Ргцс!гег О. С., А Моге'Гцпг!агнец!а! АрргоасЬ !о Р1азпс 51геьь-5!га!и Бо!цПопь, Ргос, 1в1, 11. Я. гаага. Сопд, Арр(, МесЬ., 487 — 491 (1951). 6. Ко!1ег Ю. Т., 5!геьь-Яга1п Ке1анопь, 13п1ццепеьь апб Чаг!и!!опа! ТЬеогегпь 1ог Е1аьис Р1аьнс Ма1епа1з цч!Ь а 51п8ц!аг г'!еЫ Яцг1асе.
Сг. Арр1. Май., 11, 350 — 354 (1953); есть русский перевод: Койтер, Соотношения между напряжениями н деформациями, вариационные теоремы и теорема единственности для упруго-пластических материалов с сингулярной поверхностью текучести, Механика, 2, № 60, стр. 117 — 121 (1960). 7. )оЬпьоп %., МеПог Р, %., Р1аьисиу 1ог МесЬап1са1 Епн1пеегь, Ъ'ап Ь1ов1- гапд, Рг!псе!оп, 1962. 8. гатаба "т'., 1'оьЬ1шцга Х., Бакцга1 Т., Р1авбс 5!гевь-51га1п Ма(пх апг1 1!ь Арр1!са11оп 1ог 1Ье Зо1ц1!оп о1 Е1аь1!с-Р1аь1!с РгоЫегпь Ьу 1Ье Г!п!1е Е1егпеп1.
Ме!Ьоб, 1пг. 1. Месй. Бс(., 10, 343 — 354 (1968). ') В обеих работах уравнения решались итерационным методом, что предопределило выбор метода, в котором используется переменная матрица 101. Глава И 9. Жеп!Иеысх О. С., Ъ"аП!аррап Б., К!пн 1. Р„Е1аь(о-Р1аьИс Бо1иИопь о1 Епн!пеег!щ РгоЫегпь. 1пП!а1-Ягевв, Е!пПе Е1етеп1 ЛрргоасЬ, 1п1. У. Фига, Ме!й.
!и Ещ., 1, 75 — 100 (1969). 10. ОаПанЬег К. Н„Рай!он 3., В111аагй Р, Р., Ягеьь Лпа1уыь о1 Неа1ей Сотр1ех БЬарев, 7. Ат. Косйе! Зос., 32, 700 — 707 (1962); есть русский перевод: Галлагер, Падлог, Вейлард, Аналив напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву, Ракетная техника, 32, .№ 5, стр.
52 — 61 (1962). 11. Агдуг!ь .!. Н., Е1аь!о-Р1авИс Ма!г!х Вйвр!асетеп! Апа1уь!в о1 ТЬгее-Итепв!опа! СопИпйа, У. !шоу. Лего. Бос., 69, 633 — 635 (1965). 12. Роре О. б., А 6!веге!е Е1етеп1 Ме(Ьой 1ог Апа1уыь о1 Р1апе Е1аь1о-Р1аьИс Яга1п РгоЫеть, К. А. Е. ГагпЬогоидЬ, Т.
К. 65028, 1965. 13а, Бжей1ож 3. 1, Ъ'ПИать М. Ь., Ъ'ап2 %. М., Е1ав1о-Р1аьИс Ягеььеь 1п СгасЬей Р!а!ев, Са1с!1, Кер1, БМ. 65 — 1г!. Са1Погп!а 1пь1. о1 ТесЬпо1оду, 1965. 136. Бъей1ож 3. Ь, Е1авИс Р1аь1!с Сгной Р1а!еь !и Р1апе Яга!п, Хпг. Х, Ргас1аге Месй., 5, 33 — 44 (1969), 14. Магса1 Р. Ч., К!пд 1. Р., Е1аьИс-Р!аьИс Лпа1уыь о1 Тюо %тень!она! Б1гевв Був(еть Ьу !Ье Г!и!1е Е1егпеп( Ме1Ьой, 1п1.
У. ~Иесй. Бс1., 9, 143 — 155 (1967). 15. Кеуев Б. Е., Веете О. 13., Е!ав!о-Р1ав!!с Лпа1ув1ь о1 Ьпйег8тоипй Ореп!пдь Ьу 1Ье Г!ш(е Е1етеп1 Ме(Ьой, Ргос. 1в1 1п1. Сопряг. РосА Месйап!св, 11, 477 — 486, Ь1ьЬоп (1966). 16. Роро Е. Р., КЬо!ав1еЬ-Ва!гЫ М„уа8Ьта1 Б., Вепй!пд о1 С1гси1аг Р!а1еь о1 Нагйеп!пн Ма1ег1а1, 1п1егп.
Х. Бо1. 81гис1., 3, 975 — 988 (1967), 17. Агнуг1ь 3. Н., БсЬагр1Ъ. %., Ме1Ьойь о1 Е1аь!о-Р1аьИс Апа1уь!в, Бутр. оп Нп!1е Е1етеп1 Тес!~плиев, Яи119аг1, Зине 1969. 18. ТЬеоЬаг!в Р. Б., МагЬе1оь Е., Е1авИс-Р1ав1!с Апа1уыв о1 Рег1ога1ей ТЫп Б1г!рв о1 Ига!и-Нагйеп!пд Ма1ег!а1, 1. Месй. Рйув. Бо1., 12, 377 — 390 (1964). 19. Йгисйег О. С., Рганег Ю„БоП МесЬап1св апй Р1аьИс Лпа1уь!ь ог 1.ппП Веь!нп, Я. Арр!. Ма!й., 10, 157 — 165 (1952). 20, В1ьЬор А. %., ТЬе Б(гепн1Ь о1 БоПв аь Епн1пеег1пд Ма1ег1а!в, бео1есйп1- ~уие, 16, 91 — 128 (!966). 2!. ЪепЫеъ1съ О. С., СопИпиит МесЬагисв аь ап АрргоасЬ !о КосЬ Мань РгоЫетв, СЬ.
8 (п: КосЬ МесЬап!сь 1п Еп8!пеег!пн РгасИсе, Яани К. б., Е!епЫеЫсх О. С., ейь., М!еу, 1969. 22. НаП1аррап Б., Хоп-Ппеаг Б!гевв Апа!ув!в о1 Ттчо-0!шепа!опа! РгоЫетв нп(Ь Брес!а! Ке1егепсе 1о Кос1 апй БоП МесЬап1сь, РЬ. О. ТЬев!ь, Ь1п1ч. о1 %а!еь, 1968. 23. Мгов 7.., Хоп Аььос!а(ей Ьань !и Р1аьИсПу, Х. Мес. апс! Рйув.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
