Метод конечных элементов (1061787), страница 41
Текст из файла (страница 41)
14,9, приведен для того, чтобы исследовать влияние числа разбиений. Использовалось 2, 6 и 14 элементов различной длины. Результаты для двух последних разбиений почти совпадают с точным решением. Даже при использовании лишь двух элементов получаются удовлетворительные результаты, которые отличаются от точного решения только в окрестности нагруженного края. Цилиндрический свод. Это пример применения метода к расчету оболочки, для которой существенны изгибные эффекты, так как опоры препятствуют перемещению двух краев (фиг. 14.10) .
На фиг. 14.11 приводится сравнение результатов численного интегрирования с использованием девяти и четырех точек для элементов второго порядка. В обоих случаях, как и следовало ожидать, решение сходится. При более точном интегрировании 217 ~ Ы Уб Ы Г0 у е 10 Х о Фиг.
14.8. Расчет сферического купола под действием равномерно распределенного давления прн использовании 24 элементов третьего порядка, (Первый элемент у .закрепленного края стягивает дугу в О,Г, размеры остальных эле- ментов увеличиваются по арифметической прогрессии.) М~ — мериииоиальиый иагибиощий момент, г — окружное усилие, ч '~». — аналитиче- ское решение; 9 случай 1; 4 случай Ц. Х,аи Фиг. 14,9. Тонкий цилиндр, нагруженный по краю единичной нагрузкой и радиальном напраалении, ц-радиальное перемещение, М4,— мер1щиональяый момент, Б=б,74 ° 101~ Н/и', т аО,З. теоретическое решение, тй луюй Фиг.
14.10. Цилиндрическая оболочка под действием собственного веса, ,Е=4,52 ° !О~ Н~м', т=б, и 9,5 Н~м'. Число степеней своооды Сетка Опирали ьи кую диидрла к и=О в=О Элементы второго порядка 2З 76 Ив 272 сходимость довольно медленная, в то время как при более низком порядке интегрирования очень точные результаты полччаются даже при использовании одного элемента. Приведенный пример иллюстрирует преимущества такого простого приема, как И ф Интегриро. ванне по 2Х2 точкам Элементы, поетроенные в работе 131 Интегрирование беа учета елвнга Сетка х + О понижение порядка интегрирования.
Более подробно этот при* мер описан в работах 14, 81. Обычным способом точное решение этой задачи получено в работе 191. Улучшенная сходимость по перемещениям в этом случае со. ответствует сходимости по напряжениям, Фнг. 14.11. Перемещение цилиндрического перекрытия (алементы нторого порядка). Расчет толстостенных оболочек Градирня. Опять рассмотрим градирню, о которой уже шла речь в гл. 11 1разд. 11.6, фиг.
11,10). При расчете осесимметричная оболочка разбивалась на 15 элементов третьего порядка. Несимметричная (ветровая) нагрузка достаточно точно представлялась десятью гармониками. Результаты совпали с экспериментальными данными, с которыми сравнивались результаты, полученные в гл, 11, так что в дополнительных графиках нет необходимости.
Решение изложенным в этой главе методом значительно экономичнее решения методом, изложенным в гл. 11, Криволинейная плотина. Все предыдущие примеры относились к тонким оболочкам и демонстрировали применимость метода к решению именно таких задач. В качестве примера другого типа этим методом была рассчитана плотина двойной кривизны, рассмотренная в гл. 9 1фиг. 9.8). Использовалось точно такое же разбиение, и рездльтатьг почти а точности совпали с резцльтаташи реи~еиия трехмерной задачи 131. Такое хорошее совпадение получено при значительном сокращении числа степеней свободы и затрат. машинного рремени. Очевидно, что область применения элементов такого типа очень широка.
литеРАту А 1. А1нпад Я., 1гопв В. М., У1епЫетисх О. С., Сцгчей ТЫс1с ЯЬеИ апг1 МегпЬгапе Е1егпеп1я ~Ч11Ь Раг11сц1аг Кейегепсе $о Ах1-Яугпгпе1г1с РгоЫегпя, Ргос. 2пг1 Соп1. Ма1пх Ме1Ь. Я1гцс1. МесЬ,„%гг11дЫ Ра11егяоп А. Е. Ваяе, ОЫо. 1968, 2. Л1ппай Я., Сцгчед Р1п11е Е!егпеп1я 1п 1Ье Апа1уя1я о1 Яо!Ы, ЯЬеИ апг1 Р1а1е Я1гцс1цгев, РЬ. О. ТЬея1я, Бп1ч. о1 %а1ев, Яжапяеа, 1969. 3, Имад Я., 1гопя В. М., У1епЫеМсх О.
С., Лпа1уя1я о1 ТЫс1~ апд ТЫп ЯЬеИ Я1гцс1цгея Ьу Сцгчег) Е!егпеп1я, Хя1. Х. ЛГиш. Мей. Епд., 2, 419 — 451 11970). 4. 71епЫеМсх О. С., Тоо Я., Тау1ог К. 1., Кейцсег) 1п1егна11оп ТесЬп1оце 1п Оепега1 Апа!уя1я о1 Р!а1ея апг1 ЯЬеИв, Хп1. Х. Уит. Мей, Епд., 3, 275 — 290 (1971) . 5.
Кеу Я. тЧ., Ве1я1пдег 7. Е., ТЬе Апа1уя1я о1 ТЬ|п ЯЬеИя нИЬ Тгапячегяе ЯЬеаг Я1га!п Ьу 1Ье Е1пКе Е1егпеЫ Ме1Ьог1 Ргос. 2пг1 Соп1. Ма1г1х Ме1Ь. Я1гцс1. МесЬ., А1г Гогсе 1пя1. ТесЬп., ФпрИ Ра11егяоп А, Г. Ваяе, ОЫо, 1968. 6. Ъегпрпег О. А., Ог1еп У. Т., Кгояв О. Л., Р1пие Е1егпеп1 Апа1уя1я о1 ТЫп ЯЬеИя, Ргос.
Лт. Яос. СШ. Епа'., 94, ЕМ6, 1273 — 1294 11968). 7. Я1г1сЫ1п Л. А., На1я1ег Ф.,Е., ТЫа1е Р. К., Оапдегя1оп К., А КарЫ1у Сопчегн1пд Тг1апнц1аг Р1а1е Е1егпеп1, ХЛХЛЛ, 7, 180 — 181 (1969); есть русский перевод: Стрнклнн, Хайслер, Тисдейл, Гундерсон, Элемент в форме резко сужавшейся треугольной пластины, Ракетная техника и космонавтика, № 1, стр. 219 (1969). 8. Раъъ1су, Вер1. о1 Я1гцс1цга1 МесЬагцсв, РЬ. О. ТЬев1я, 13пю. о1 Са1Иогп1а, Вег$се1еу, 1970.
9. Ясогс1еня А. С., 1.о К. Я., Согпрц1ег Апа1ув1я о1 СуИпИса1 ЗЬе11я, Х. Лгп„ Сопег. Хнами.„61„539 — 561 (1969). ГЛЛБА И ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ (ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ, ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ДР ) 15,1. Введение Хотя в предыдущих главах подробно рассматривались в основном задачи для упругой сплошной среды, описанный общий метод можно применить к решению самых разнообразных физических задач, В гл, 3 уже упоминалось о некоторых таких задачах, здесь же будет подробно рассмотрен один из широких классов подобных задач.
Остановимся сначала на задачах, описываемых квазигармоническим уравнением общего вида, частными случаями которого являются известные уравнения Лапласа и Пуассона [1 — 6). Круг физических задач, описываемых этими уравнениями, весьма широк.
В инженерной практике чаще всего встречаются задачи, в которых рассматриваются: теплопроводность; фильтрация сквозь пористую среду; безвихревое течение идеальной жидкости; распределение электрического (или магнитного) потенциала; кручение призматических стержней; изгиб призматических балок и др.; смазка опорных поверхностей. Соотношения, приведенные в этой главе, в равной степени применимы ко всем указанным задачам, поэтому реальные физические величины будут использоваться редко, Рассматриваются как изотропные, так и анизотропные тела, В первой части главы обсуждаются двумерные задачи. Далее они обобщаются на трехмерные. При решении используются те же функции формы, что и для двумерных и трехмерных задач теории упругости.
Основное отличие состоит в том, что теперь с каждой точкой пространства связана только одна неизвестная скалярная величина (неизвестная функция), тогда как раньше находили несколько неизвестных, составляющих вектор перемещения, Дискретизация на конечные элементы достигается с помощью вариационного метода (см. гл, 3) с использованием функционала, математически эквивалентного дифференциальному уравнению.
Этот функционал в приложениях можно физически интерпретировать, связывая его, как правило, с понятием Задачи о стачионарных полях диссипации энергии. Те же самые соотношения можно получить с помощью метода взвешенных невязок или метода Галеркина, и читателю рекомендуется сделать это в соответствии с указаниями гл. 3. Помимо нескольких простых задач, описываемых квазигармоническим уравнением, будут рассмотрены некоторые задачи о вязком течении, описываемые уравнениями более высоких порядков ~71. При этом будет упомянута другая постановка некоторых задач теории упругости ~8$ 15.2.
Экстремальная проблема Квазигармоническое уравнение, описывающее поведение некоторой неизвестной физической величины ф, в общем виде можно записать следукяпим образом. д (д дд)+ д (д дд)+ д (д дд)+ где ф — неизвестная однозначная в рассматриваемой области функция, а Й„, Й„, Й, и Я вЂ” известные функции координат х,у из. Читатель, знакомый, например, с задачами теории теплопроводности, отождествит функции А„, Й и Й, с коэффициентами теплопроводности анизотропного материала, функцию Я вЂ” со скоростью теплообразования, а неизвестную функцию ф — с температурой (при условии, что главные направления анизотропии материала совпадают с осями координат). В задачах электротехники эти величины можно связать соответственно с коэффициентами проводимости, плотностью тока и потенциалом.
Независимо от того, какие физические величины рассматриваются, математически задача остается одной и той же. Физические особенности частных задач накладывают определенные граничные условия. Чаще всего встречаются случаи, когда: а) на границе заданы значения неизвестной функции ф: ф=ф,, (15.2) б) на границе выполняется условие и — „Ь„+ а„— ~ + а, — ~, + д + пф = О, ~15.З) дф дф дф где 1„, 1„и 1,— направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности. Если А„й„и А, равны между собой, а д и а равны нулю, то последнее условие сводится к известному условию непроницае- Глава 15 мости границы д(ь — =О. дл (15,4) В задачах теплопроводности д представляет собой поток (тепла) через поверхность единичной площади, а с4 — потери тепла путем конвекции. Уравнение (15.1) вместе с граничными условиями однозначно определяет задачу. Однако возможна и вариационная формулировка задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
