Метод конечных элементов (1061787), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Другой вариант описанного выше приема состоит в представлении функции в виде (Д =Х 1У(х, д) е'~'""'1 (о')', где Я и Я являются комплексными величинами, Тождественность этого выражения выражению (13.21) легко устанавливается, если учесть, что и'е = соз О + г з1п О. Для оперирования с комплексными величинами имеются стандартные программы. 13.3. Коробчатая конструкция В предыдущем разделе трехмерная задача сводилась к двумерной. Здесь же показано, что аналогичная задача может быть решена с использованием одномерных элементов (фиг, 13.3). Фиг. 13.3. Расчет «мембранной» коробчатой конструкции с помощью одна- мерных элементов.
Коробчатая конструкция выполнена из тонких листов, способных воспринимать нагрузку только в своей плоскости. Как и в предыдущем случае, в каждой точке необходимо рассматривать три перемещения, для каждого из которых можно задать одинаковый закон изменения. Однако типичный элемент Ц является одномерным в том смысле, что интегрирование надо производить только вдоль линии ц и напряжения учитываются только в этом направлении. Легко показать, что решение этой задачи аналогично решению задачи о шарнирна-стержневой системе. 13.4. Чистый изгиб пластин и коробчатых конструкций Рассмотрим прямоугольную свободно опертую по краям пластину, вся энергия деформации которой уходит на изгиб, В этом .случае деформированное состояние полностью определяется только одним перемещением ы (см.
гл. 10). Фиг. 13.4. Метод «полос» для плит. Обозначим через у направление, в котором геометрия и свойства материала не изменяются (фиг. 13.4). Чтобы обеспечить непрерывность угла наклона, функции формы должны содержать параметр О», характеризующий угол поворота. Воспользуемся балочными функциями и для типичного элемента ц запишем я' = ~ЛТ(х)~ з(п — ~ (Ь~)', (13.22) что обеспечивает выполнение условий свободного опиринил краев, Типичными узловыми параметрами являются и=© (13.23) Необходимым требованиям удовлетворяют функции формы третьего порядка, которые, по существу, идентичны функциям, использованным для расчета осеснмметричных оболочек. (гл. 12).
Следуя определениям гл, 10, находим деформации (искривле- Полуана итический метод конечных элементов ния) и составляем матрицу [81. Таким образом, двумерная задача сведена к одномерной. Этот метод разработан Ченгом [1 — 31 и назван им методом кконечных полос>. Он использовался для решения ряда задач о прямоугольных пластинах, коробчатых балках, оболочках и различных складчатых конструкциях из пластин. Для разъяснения уместно привести один пример из указанных работ. Это задача о квадратной равномерно нагруженной пластине с тремя свободно опертыми сторонами и одной защемленной.
При решении использовались десять элементов-полос по оси х. В табл. 13.1 приведены результаты, соответствующие первым трем гармоникам. Таблица ИЛ Квадратная пластина с тремя свободно опертымн н одной защемленной сторонами под действием равномерно распределенной нагрузки у Максимальныа отрицатепьныв момент М Момент а центре пластины М Прогиб и центре пластины т=о,з — 0,0868 0,0041 — 0,0007 — 0,0824 0,002832 — 0,000050 0,000004 0,002786 0„0409 — 0,0016 0,0003 0,0396 0,0028 Точное решение Множитель Важно не только то, что точное решение для каждой гармоники 1 получить довольно просто, поскольку приходится определять лишь девять неизвестных, но и то, что члены высших порядков быстро уменьшаются. Обобщение этого метода на случай коробчатой конструкции, для которой существенны и мел~бранные и изгибные зффекть~, представляется почти очевидным, если этот пример рассмотреть вместе с примером предыдущего раздела.
В другой статье Ченга [4] показано, что можно использовать и отличные от тригонометрических функции, хотя при этом возможно лишь частичное разделение задачи. 13.5. Осесимметричные тела при несимметричном нагружении Наиболее характерным и, по всей видимости, самым ранним практическим применением разложения Фурье явилось исследование осесимметричных тел под действием несимметричной нагрузки. Глана И В этом случае, кроме радиального, (и) и осевого (о) перемещений (как в гл.
5), следует рассматривать и тангенциальную компоненту те, соответствующую направлению угла О (фиг. 13.5). Именно в этом направлении геометрия и свойства материала постоянны, поэтому его следует исключить. В целях упрощении рассмотрим отдельно симметричные и антисимметричные относительно оси О = О компоненты нагрузки. Используя только выражения для узловых сил (выражения Фиг. 13.5, Осеснмметричное тело.
Координаты и перемещения. для объемных сил, краевых условий, начальных деформаций и т. д. аналогичны), запишем силы на единицу длины по окружности (фиг. 13.6, а) в виде й=,» К'соз10, 1 Е, К= Х К'соз10, ! по осям координат для симметричной нагрузки. Для Т используется несимметричное разложение по синусам, чтобы сохранить в направлении Т симметрию при 0 ~ л,.
Компоненты перемещений снова описываются двумерными (г, г) функциями формы, соответствующими используемому типу элемента; вследствие симметрии они имеют 'аналогичный Полуаналитическид метод конечных элементов Фиг. 13.6. Симметричные (а) и антисимметричные (б) компоненты перемаце- ний и нагрузок в осесимметричном теле. выражению (13.13) вид и'=1У1, К, ...1соз16 (и')', о'=(К, М, .;.) соз16 (а')', (Лгг 1г г ) ° 16 ( 1)е В дальнейшем необходимо использовать общее выражение де- формации в цилиндрических координатах для трехмерного слу- чая (см.
(51) (13.25) ди дг и 1 ди~ — + —— г г дО ди до — +— де дг 1 ди дго и~ — — + —— г дО дг г (13.26) 1 до ди> — — +— г до дг Глава 1д 286 Как и 'прежде, матрицу жесткости и другие величины можно вычислить для каждой гармоники в отдельности.
Подставляя формулы (13.25) в (13.26) и группируя переменные, как это сделано в (13.1?), получаем дУ', — соз |О дг дУ~ — соз 16 д~ ЙЧ,' — соз 16 г Ы= (13.2?) дУ', — соз 16 дг О дг — — ' з1п16 1Ж; — — з1п 16 дУ; — 'з1п 16 дз Остальные соотношения выводятся обычным путем, и читатель может получить их в качестве упражнения. Для антисимметричного нагружения, показанного на фиг. 13,б,б, в соотношениях (13.24) и (13.25) просто заменим синус на косинус и наоборот, Величины усилий для каждой гармоники получим из выражения для виртуальной работы. Для симметричного случая Л' при ~=1, 2, ..., Т (13.28) при 1=0. Аналогично для антисимметричного случая 101 1 при Х вЂ” ), 2, ..., =! 0 ) при ) = О.
) гк) (13.29) Т Отсюда и из выражения для Я' видно, что при 1=0, как и ожидалось„задача сводится к двумерной, а при симметричном нагружении становится, кроме того, и осесимметричной. При антисимметричной нагрузке, когда 1= О, остается только одна система уравнений относительно переменной н). Это — соз И г дж,' — соз И дг 1Ф; — — 'з1п16 г 2я '1~ соз ®6 )Р)) ~ Я сов')8 0 1Т'з1пЧВ $ у~! =2 17г ~0 Полуаналитичесгсий метод конечных элеиентов 287 соответствует действию постоянных тангенциальных усилий и эквивалентно задаче о кручении валов (фиг. 13.7). Последняя решается классическими методами с использованием функции напряжений 161 и для сравнения была исследована методом конечных элементов 171. Рассмотренный здесь подход более естествен.
К расчету осесимметричных тел изложенный подход впервые был применен Вильсоном 181. Фиг. 13.7. Кручение стержня переменного сечения. На фиг. 13.8а и !3.86 приведен простой пример, иллюстрирующий влияние различных гармоник. 13.6. Осесимметричные оболочки при несимметричном нагруженни С помощью описанного подхода изложенный в гл.
12 метод расчета осесимметричных оболочек легко распространить на случай несимметричного нагружения. Однако теперь следует учесть три компоненты переме1цений и усилий (фиг. 13.9). Будем рассматривать три мембранные и три изгибиые компоненты и, обобщая формулу (12.1), определим деформацию как 191 ') ди дэ ди 1 — — + (в сов ф + и э(п Ф) —, 1 ди ди — — + — — он(п Ф— г дО дэ г д2и~ дэ' 1 д'ж до соз Ф з1п Ф да г2 дО2 дО г2 г дг 1 д~и з1п Ф ди соз Ф до з1п Ф сов Ф г дэ дО гР дО г дэ гв )) (13.30) ') По причине существования множестве теорий оболочек можно использовать и другие соотношения. Приведенные здесь соотношения являются до- статочно общепринятыми. Фиг. 13.8а.
Осесимметричная башня под действием несимметричной нагрузки. При решении используются четыре элемента третьего порядка; Показаны гармоники, по которым раскладывается нагрузка, Сумм арнае ндпр~пкение Фиг. 13.8о. Распределение вертикальных напряжений а, в основании, соответствующих отдельным гармоникам, и суммарных напряжений. (Напряжение для третьей гармоники тождественно равно нулю.) Первые две гармоники позволяют получить практически точный результат. иг, 13.9, Оеееимметричная оболочка при несимметричном нагружении. Пере- мещения и результирующие напряжений.
Матрица напряжений, соответствующая этим деформациям, имеет вид У, 'уе Ж,н М, Мо М,е В нее входят три мембранных и три изгибающих напряжения, показанные на фиг. 13.9. Как и в предыдущем разделе, нагрузки и перемещения разделяются на симметричную и антисимметричную части. После этого применение метода не требует дополнительных пояснений. Подробности читатель может найти в статье Графтона и Строума 1101, в которой впервые была рассмотрена эта задача, и во многих других более поздних работах, перечисленных в гл. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
