Метод конечных элементов (1061787), страница 35
Текст из файла (страница 35)
а †исходн ааемснт; о — криаолиисйные координаты. Эти функции записываются в виде (12.17) где $а= $Д. Их можно одновременно использовать и для описания закона изменении глобальных перемещений й и й') и для задания координат г и я оболочки (срединной поверхности). ') Отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь обе компоненты перемещений в элементе изменяются по крайней мере по кубическому закону, тогда как ранее допускался линейный закон изменения тангенциального перемещения.
Однако при условии, что толщина оболочки изменяется непрерывно, эта дополнительная степень свободы не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности. Если толщина элемента переменная, то и ее закон изменения можно аппроксимировать этими же функциями. Элемент такого типа будет изопараметрическим (см.
гл. 8). Таким образом, геометрию оболочки можно характеризовать координатами При заданных узловых значениях эти соотношения устанавливают взаимно однозначное соответствие между $ и положением точки на поверхности криволинейного элемента (фиг. 12,5,6). Координаты г; и а; известны„кроме них, на концах известны только углы наклона (12. 19) Значения производных, входящих в (12.18), зависят от масштаба $ вдоль касательной э. Задано только соотношение (12.20) Производные (йЩ); или (дя/д5) могут в принципе иметь произвольную величину.
Здесь, однако, необходимо учитыватьпрактические соображения, так как при некоторых значениях производных можно получить негладкую зависимость между з и ~~. При неудачном выборе кривая может быть негладкой и образовывать петлю между узлами.. Для того чтобы получить достаточно гладкие поверхности, можно положить (12.21) «Ц ЬЦ 2 замечая, что длина всего интервала ~ между узлами равна 2. 12.5. Выражения для деформаций и свойства криволинейных элементов До сих пор речь шла о представлении глобальных перемещений, хотя деформации в соответствии с (12.1) определяются через производные от локальных перемещений по касательной э.
Осее метричнь~е оболочки Поэтому, для того чтобы получить выражения для деформаций, требуется произвести некоторые преобразования. Если принять, что изменение глобальных перемещений описывается функцией формы (12.16) (12.22) то с помощью преобразования (12.7) легко найти локальные пе- ремещения и, оо в виде =- [Е] ~, (12.23) где ф — угол между касательной к кривой и осью я (фиг. 12.5). Этот угол надо выразить через координату 5.
Очевидно, что и, следовательно, использование формул (12.18)' позволит сделать это, Посмотрим далее, можно ли наложить условия непрерывности в узлах на параметры, входящие в (12.22). Ясно, что глобальные перемещения должны быть непрерывны. Однако в предыдущих случаях требовалась непрерывность только угла поворота касательной. Здесь же требуется непрерывность производных от перемещений по з. Следовательно, величины в узлах смежных элементов должны иметь одинаковые значения. Поскольку Фй Нй /йе Ий Нв /де йе И$ ! Н~ ' де ~5 ( сЦ ' (12.25) при подстановке этих новых переменных в выражения (12,22)' и (12,23) не возникает никаких трудностей.
В результате они при- Глава 12 нимают вид (12.26) Функция формы состоит из подматриц размерности 2)(4 и ее можно получить в явном, хотя и довольно сложном виде. Если рассматриваются оболочки с патрубками или оболочки с резко меняющейся толщиной, то узловые параметры в (12.26) использовать не следует. В этом случае их лучше представить в виде (ьд= (а~) где й; = дтпл/Из — угол поворота в узле, и связать между собой только три первых параметра. Четвертая величина будет свободным параметром, минимизация по которому производится в обычном порядке.
Необходимые преобразования осуществляются с помощью соотношения (12.23). В выражение для матрицы деформаций 181, как видно из определения (12.1), входят и первая и вторая производные по з'). Если вспомнить, что производные легко вычислить по правилам, уже использованным при получении (12.25), то для произвольной функции Р можно записать 0Р а'Р /Нв сЬ сф~ И$ ' (12.27) и получить все элементы матрицы 181.
Наконец, матрица жесткости получается после замены переменных в соотношении (12.14) ~8= — „"' ~с, (12.28) и интегрирования в пределах от — 1 до +1. ') Заметим, что адесь а рассматривается как направление касательной, поэтому ~Ц/йв О. 271 Оеесимл~етричные оболочки Как и ранее, функции, входящие в интегралы, не позволяют выполнить интегрирование точно, поэтому обычно используется численное интегрирование. Интегрирование производится только по одной координате, так что оно не требует больших затрат времени, и для достаточно точного вычисления жесткости можно использовать необходимое количество гауссовых точек интегрирования.
Матрицы напряжений и другие матрицы вычисляются аналогично. Приведенная здесь в общих чертах изопараметрическая формулировка несколько отличается от других 11, ?, 8, 101. Она обладает тем преимуществом, что позволяет учитывать перемещения элемента как твердого целого и удовлетвоояет критерию постоянства первой производной. Доказательство этого проводится так же, как и в разд. 8.5 гл. 8. Другие формулировки допускают деформации при перемещениях элемента как жесткого целого, что, как показано в работе'1131, в некоторых случаях не' очень опасно.
Однако при некоторых видах несимметричных нагрузок (см. гл. 13) этот недостаток может оказаться серьезным препятствием и привести к совершенно неверным результатам. При применении любых из рассмотренных здесь конечных элементов состояние постоянного искривления не только не может быть достигнуто, но и физически невозможно. Однако можно убедиться, что такое состояние достижимо в пределе при уменьшении размеров элемента. 12.6. Дополнительные неузловые переменные Введение дополнительных неузловых переменных при расчете осесимметричных оболочек особенно важно, так как оно позволяет достаточно точно аппроксимировать реальную форму при использовании элементов больших размеров. Добавление выражения и Х л7', (12.29) где а; — множество внутренних параметров элемента, а Уу"— множество функций, имеющих в узловых точках нулевые значения и нулевые первые производные, к выражениям для нормальных перемещений в (12.26) позволяет значительно улучшить аппроксимацию перемещений без нарушения сходимости (см.
гл. 2). Для тангенциальных перемещений можно не требовать обращения в нуль первых производных в узлах, Глава 12 гсс Х зоваться для дополнительных функций формы, хотя выбор их достаточно широк. Так как при этом не обя- (Риг !26 Внутренние функции формы зательно использовать подля линейного элемента линомы, Делпак Щ применил специальную форму полиномов Лежандра, предложенную Айронсом. Дополнительные функции формы общего вида показаны на фиг. 126. ЛИТЕРАТУРА 1 С!га11оп Р Е, Б1гогпе 0 К, Лпа!уяз о1 Ах~-Бупппе1пс БЬе11з Ьу йе 0~- гес1 БЫ1пезз Ме11юг1, УЛЛА, 1, 2342 — 2347 (1963), есть русский перевод Графтон, Строум, Расчет осесимметричиых оболочек методом прямого определечия жесткости, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 1О, стр 129— 136 (1963) 2 Ророч Е Р, Репжеп ), 1.п Е А, Грийе Е1егпеп1 Бо1п1юп 1ог Лх~ Бупппе1- г~с БА!!з, Ргос АЛИСЕ, ЕМ, !19 — 145 (1964) 3 1опез К Е, Б(готе 0 К, 0~гес1 БЫ1пезз Мейоб о1 Апа1уюз о1 БЬе11з о1 Кето!п1юп Ийыпд Сигай Е1етеп1з, ИСАА, 4, 1519 — 1525 (1966), есть русский перевод Джонс, Строум, Расчет оболочек вращения прямым методом жесткостей с помощью криволинейных элементов, Ракетная техника и косиокавтика, 4, № 9, стр 20 (1966) 4 Регсу Л Н, Р~ап Т Н Н, К1еш Б, Хачага1па 0 К, Арр!гсайоп о1 Ма1- пх 0гзр1асегпеп1 Мейод 1о 1лпеаг Е!аз!ге Апа1уз!з о1 Б!!еПз о1 Кето!пйоп, ') Очевидно, что можно было бы включить эту новую функцию формы в общее выражение, характеризующее форму элемента, но практически зто не дало бы больших преимуществ, так как кубичный закон позволяет достаточно точно воспроизвести любую реальную форму Вебстер 11Ц использовал такие дополнительные функции для прямолинейных элементов Независимо от того„прямолинеен или криволинеен элемент, к компонентам перемещений, определяемым соотношением (12 22), можно добавить выражение (1229).
Если это сделано только для перемещений, а выражения для координат яе изменяются 1формула (12 18) ~, то элемент становится элементом субпараметрического типа '). Как показано в гл 8, он обладает теми же преимуществами, что и изопараметрический элемент. Особую важность имеет вопрос о том, какие именно выражения должны исполь- Осесимметрачные обо очка 5 6 7 8 9 10 11 12 13 УАУЛА, 3, 2138 — 2145 (1965), есть русский перевод Перси, Пиан, Клейн, Наваратна, Приложение матричного метода к линейному упру- гому анализу оболочек вращения, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 11, стр 199 †2 (1965) 10еюп Б, А Б!ийу о1 Же Ма!пх Ртр1асетеп! Ме1Ьойя аз АррЬей !о БЬе!!з о! Кечо1и!юп, Ргос Соп! оп Ма1пх МеЖой ~п Б!гис!ига! МесЬ, Аи Рог се 1пя! о! ТесЬп, ЖпдЬ! Ра1!егзоп А Г Вазе, ОЬю, Ос1 1965 Уопез К Е, Б(гогпе 0 К, А Бигчеу о! Апа1узгя о! БЬе11я Ьу 1Ье Рыр1асегпеп! МеЖой, Ргос Соп! оп Ма!пх Мейойя ~п Ягис!ига1 МесЬ, А]г Рогсе 1пя1 о! ТесЬп, ЮпдЬ1 Ра!1егзоп А Г Вазе, ОЬю, Ос! 1965 Б!псЫгп У, Начата!па О К, Ргап Т П Н, 1гпргочегпеп!з ш !Ье Лпа1укз о! БЬеИз о! Кечо!и!юп Ьу Ма!пх 0ыр1асегпеп! МеЖой (Сигчей Е1егпеп!я), АУЛА Уп1, 4, 2069 †20 (1966), есть русский перевод Стриклин, Нава- ратна, Пиан, Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений, Ракетная техника и космонавтика,4, № 11, стр 252— 254 (1966) КЬо1ая!еЬ ВаЬЧ М, Апа1узгз о! Е!взнес Р1ая1~с БЬе11з о! Кечо!и!юп 13п- йег Ах~-Бупнпе!пс? оайпн Ьу Же Г~шЫ Е1егпеп! Ме!Ьой, Вер1 Сгч Епн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
