Метод конечных элементов (1061787), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Такие элементы несколько затрудняют составление ансамбля, так как число степеней свободы в каждом узле различно. Чтобы избежать этого затруднения, можно устранить степень свободы дополнительных узлов. Например, можно положить, что величина нормальной производной в середине стороны равна среднему арифметическому значений этой производной на концах стороны.
В результате получим согласованный элемент с таким же числом степеней свободы, как и у описанного в предыдущих разделах элемента (фиг. 10.18, б). Построение соответствующей функции формы довольно громоздко, поэтому оно здесь не приводится. Проще поступить следующим образом. Во-первых, нормальные производные в середине сторон определяются из основных функций формы элемента 1соотношение (10.26)1 в виде (10.30) (%.
Средние арифметические значения нормальных производных в углах тоже вычисляются по этим функциям и записываются как (10.31) Вклад функций в в значения этих производных пропорционален величине е~зу~ и т. д., т. е. (так-как сами они имеют единичную нормальную производную) просто равен У~ Ы= у..
Уз Определяя из соотношения М Ю'= М ЖГ+ (у) (10.32) (10.33) Изгиб пластин величину у и учитывая (10.26), получаем ~в = Р~ 1 (Й + 1в2з вз1~ в~зИ Р 1 — % ) Щ ° (10.34) Здесь ~ЖО1 — определенные ранее несогласованные функции формы. Таким образом, соотношение (10.34) определяет искомые функции формы. Другой способ получения согласованных треугольников был разработан Клухом и Точером 13~. Как показано на фиг.
10.18, а, сначала каждый треугольник разделяется на три треугольника с общей вершиной во внутренней точке Р. Для каждого из новых треугольников записывается полный полипом третьей степени„содержащий десять членов. Окончательное представление должно быть выражено через девять обычных степеней свободы в точках 1, 2, 3 и три нормальные производные в точках 4, 5, 6. Так как в каждой угловой точке исходного треугольника функции формы смежных треугольников должны принимать одинаковые значения, получаются две системы уравнений а в итоге 9 ~С 2+ 3 = 21 уравнение. Кроме того, условия непрерывности перемещений и производных в центральной точке Р дают еще шесть дополнительных уравнений, а условия непрерывности производных в середине внутренних сторон — еще три уравнения. В результате получаем тридцать уравнений для определения тридцати неизвестных, что достаточно для определения функ-.
ции формы и, следовательно, построения элемента с двенадцатью степенями свободы, аналогичного описанному ранее. Наложение ограничений на нормальные производные в середине внешних сторон позволит сократить число степеней свободы до девяти. Эти же элементы можно получить, если задать в углах два значения вторых производных. Введенные ранее функции формы семейства в фактически имеют различные производные в углах по разным направлениям. В работе 141 треугольники Клуха и Точера построены с помощью другой системы функций е.
Оба рассмотренных типа треугольников дают почти одинаковые числовые результаты, поэтому предпочтение нужно отдавать элементам, приводящим к более простым вычислениям. При использовании численного интегрирования (что настоятельно рекомендуется для таких элементов) выгоднее применять непрерывные по всему треугольнику функции формы, определяемые соотношениями (10.28) и (10.29), Глава 10 10.11. Т е голь р у иый элемент с восемнадцатью степенями свободы и согласованными функциями формы На фиг, 10. ф, 0.18,в изображен элемент, представляющий собой на иг. 10.18 а.
а несколько усовершенствованный вариант эл элемента, показанного на фиг,а. За счет того, что, кроме нормальной произвоной дгв~дп, в се е ипе р д е сторон элемента рассматриваются еще значения в и смешанной производной д'гс/д д, з и, число степеней свободы увеличивается с двенадцати до восемнадцати. С точки зрения вычислений этот элемент б олее выгоден, так как теперь число степеней свободы в каж дом узле одинаково. р зводных в середине ребование непрерывности смешанных произв сторон не является дополнительным ограничением, так как оно с физической точки зрения вполне естественно. Спос особ построения этого элемента описан Айронсом 171. Здесь достаточно сказать, что, кроме расс ф нкций и р рассмотренных видов функци, используются еще члены четвертого порядка рядка показан- ф ..б,г типа и функции, характеризующие скручивание (фиг.
10.17, б). Легко убедиться, что функция формы для такого элемента, кроме сингулярной функции, содержит все пятнадцать членов полинома четвертой степени. 10.12. . 2. Согласованные четырехугольные элементы Любой из рассмотренных треугольников можно использовать для построения согласованных четырехугольных элементов с внутренними степенями свободы или без них. Три таких четырехугольника показаны на фиг. 10.19, причем ни в одном из них ~нг 10до Н . 9. Некоторые составные четырехугольные'элементы.
и †внутренн степеней свободы нет; б — 3 внутренние степени свобо ы в— них степе ей свободы; на внешних сторонах нет дополнительных з . Т удается избежать уже упоминавшихся трудностей, которые возникают при составлении ансамбля. Первыи из элементов не имеет внутренних степеней свобо ы у, -в димому, не обладает никакими преимуще- ствами по сравнению с треугольниками с таким же числом сте- Нагиб пластик пеней свободы. Два следующих элемента имеют соответственно 3 и 7 внутренних степеней свободы.
Условия непрерывности нормальной производной в последнем из этих элементов не затрудняют составления ансамбля, так как внутренние степени свободы всегда исключаются. В работе Клуха и Фелиппы [211 показано, что при использовании таких элементов точность значительно увеличивается. Возможный прямой способ построения четырехугольного элемента предложен Сандером 151 и Вебеке 16, 221. Он состоит Фиг.
10.20. Согласованные функции, предложенные Вебеке. в следующем. В четырехугольном элементе (фиг. 10.20)' перемещение представляется в виде суммы трех функций ~в= й~'+гэ +~>', где первое слагаемое га' представляет собой полный полипом третьего порядка с десятью постоянными: гэ"=~ +о~+ " +~~у'. (10.35) Вторая функция- и~ задается кусочно. В нижнем треугольнике (фиг. 10.20,6) она считается равной нулю, а в верхнем имеет вид кубичного выражения с тремя постоянными, что позволяет без нарушения непрерывности угла наклона осуществить переход к нижнему треугольнику. Следовательно, в локальных координатах х', у' для треугольника Рст имеем га =%~У +%аУ +%в'~ У ° (10.36) Аналогично и третья функция (фиг.
10.20,в) ж'= 0 в нижнем треугольнике, а в треугольнике ги1' (10.37) 10.13. Несколько примеров решений с согласованными элементами Сходимость и точность различных элементов, описанных здесь, многократно обсуждались в литературе. В этом плане особенно полезны работы 13, 4, 211.
На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании двух простых, но несогласованных элементов, расссмотренных в й,(г — е 11 Саааеднае ааиранае Л чаи(еа(ленив Фнг. 10.21. Сравнение различных решений методом конечных элементов задачи о квадратной пластине, в центре которой приложена нагрузка Р (и — число элементов на половину стороны а и р = тюЩРаа1. — — †несогласованн прямоугольник. 12 степеней свободы; †несогласованн треугольннк, 9 степеней свободы; — — — согласованный четырехугольнвк, !б степеней свободы (Вебеке)1 +++согласованный треугольник, 9 степеней свободьй ° «согласованный четырехугольник (Клух), 12 степеней свободы (н У внутренннх), Таким образом, три обычные узловые переменные в угпах четырехугольника и нормальные производные в узлах в середине сторон представляют собой шестнадцать внешних степеней свободы, задание которых позволяет определить шестнадцать постоянных аМб.
В результате обеспечивается согласованность, но в углах вновь возникает неоднозначность вторых производных. При желании можно наложить связи на значенйя переменных в узлах в середине сторон и получить элемент с двенадцатью степенями свободы. Как показал Вебеке 1221,.функцию можно представить в явном виде и, таким образом, построить элемент.
Если один из углов четырехугольника входящий, то элементы такого типа построить нельзя. Это не очень серьезное ограничение, но его приходится учитывать, когда элементы вырождаются в близкую к треугольнику форму. этой главе, сравнивается со сходимостью при использовании трех различных согласованных элементов. Здесь следует сделать несколько замечаний. Во-первых, простейший согласованный треугольник при грубом разбиении приводит к довольно плохой аппроксимации и всегда худшей, чем эквивалентный несогласованный. Во-вторых, тогда как решения, полученные при использовании согласованных элементов, всегда сходятся кточному снизу, так как в соответствии с теоремами гл.
2 они позволяют оценить нижнюю границу, решения, полученные при использовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака. Наконец, следует отметить, что к наилучшим результатам приводят четырехугольник Вебеке (фиг. 10.20) и четырехугольник Клуха (фиг. 10,19, в). СОГЛАСОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ФОРМЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 10.14. Функция формы Эрмита для прямоугольника Для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10,2, в качестве узлового параметра всегда можно ввести производную д2и/дхду, так как это не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности, Легко показать, что для таких элементов нетрудно построить полиномиальные функции формы, обеспечивающие согласованность. Степенное представление для а, содержащее шестнадцать постоянных (в соответствии с количеством узловых параметров), можно, например, записать, сохраняя члены не выше третьего порядка по каждой координате, Естественно, что существует много способов записи таких выражений, но некоторые из них могут приводить к необратимым матрицам 1С1.
Один из таких способов состоит в использовании полиномов Эрмита, позволяющих непосредственно записать соответствующую функцию. Полипом Эрмита Н,"и (х) есть полипом порядка 2а+1, удовлетворяющий условиям для т=0, 1, ..., п, при х=х1 ~Фн =О, ЙФт, при х=х~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
