Метод конечных элементов (1061787), страница 25
Текст из файла (страница 25)
д =~~+ Вр+Взх2+ .... дц (10 11) ') Ростверком называется система балок, оси которых расположены в оиной плоскости и пересекаются под прямыми углами. — Прим. ред. Число констант в каждом выражении должно бытьдостаточным для того, чтобы выразить эти величины через параметры узлов на линии 1 — 2. Так, например, если на стороне имеются только два узла, можно допустить кубичный закон изменения ы, так как в ка- 0згиб пластин ждом из узлов заданы значения да/дх и в.
Для величины ди/ду можно припять лишь линейный, т, е, двучленный, закон изменения. Для того чтобы гарантировать непрерывность производной ди/дх в направлении у, нужно поступить аналогично. Таким образом, вдоль стороны 1 — 2 дтпл/ду зависит только от параметров узлов линии 1 — 2, а вдоль стороны 1 — 3 дскб/дх зависит только от параметров узлов 1 — 3. Дифференцируя первую из этих величин по х, получаем, что на линии 1 — 2 д~ы/дхду зависит только от параметров узлов линии 1 — 2. Аналогично находим, что на линии 1 — 3 д~ы/дудх зависит только от параметров узлов линии 1 — 3. В общей точке 1 возникает противоречие, так как в ней нельзя обеспечить выполнение равенства Д2я Д2я~ дх ду ду дх при произвольных значениях параметров в узлах 2 и 3.
Таким образом, если в узловых точках заданы только значения функции ю и ее производных, то функции формы, удовлетворяющие всем условиям согласованности, нельзя представить в виде полиномов 121. Произвольные функции, удовлетворяющие всем условиям согласованности, которые построены по трем узловым параметрам, в угловых точках не будут непрерывно дифференцируемы, а их смешанные производные не будут совпадать. Некоторые вины таких функций рассматриваются во второй части этой главы !3 — 71.
Приведенные рассуждения относятся только к прямоугольному элементу. Ясно, что их можно распространить на случай, когда в точке 1 стороны смежных элементов пересекаются под произвольными углами. Путь преодоления этого затруднения очевиден. Можно считать смешанную производную одним из узловых параметров. Для ансамбля прямоугольных элементов это удобно и вполнв допустимо. Богнером и др. !81 были предложены и с успехом использованы простые функции такого типа. К сожалению, не всегда возможно использовать их для узловых точек, в которых пересекаются под разными углами границы нескольких элементов (фиг. 10.4). Здесь условие непрерывности смешанной производной в нескольких ортогональных направлениях фактически требует задания всех вторых производных в такои узловой точке.
Это, однако, приводит к нарушению физических требований при скачкообразном изменении жесткости пластины от элемента к элементу, так как невозможно удовлетворить условию Глава Гд равенства моментов, нормальных к границам между элементами. Тем не менее при расчете однородных пластин такой метод довольно успешно использовался 19 — 1 Ц. Смит 19] исследовал эффект наложения таких условий сверх- непрерывности на несколько производных высших порядков. Трудности отыскания функций перемещений, удовлетворяющих условиям согласованности, привели к попыткам игнорировать условие полной непрерывности угла наклона при выполнении других необходимых критериев.
Исходя из несколько наивного интуитивного представления, что выполнение условия непрерывности угла наклона в узлот У вых точках в пределе приводит к полной непрерывности, было построено несколько очень удачных элементов 112 — 151. Отличными от использованных в гл. 2 и 3 средствами можно показать и доказать сходнмость методов, основанных на применении некоторых таких" элементов 14, 163. Более того, можно показать, что при определенных условиях решение будет мало отличаться от точного 141. Простота и широкое использование таких элементов объясняют, почему они ниже рассматриваются так подробно.
Фиг. 10.4. Узлы, в которых стороны смежных элементов имеют произвольные направления. НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ 10.4. Прямоугольный элемент с узлами в угловых точках 112, 17, 181 10.4.1. Функции Формы Рассмотрим прямоугольный элемент цИ пластины, лежащей в плоскости х, у (фиг.
10.2). В каждой узловой точке вводятся перемещения (6„), которые имеют по три компоненты: перемещение та„в направлении г, угол поворота (6„)„. вокруг оси х и угол поворота (0„) „вокруг оси у. Перемещения узловой точки определяются соотношением (10.4), а перемещение элемента записывается, как обычно, в виде вектора, содержащего все (в нашем случае четыре) узловые перемещения: (10.12) Иггиб пластин Для определения функций формы по двенадцати параметрам удобно использовать полиномы. При этом в полном полиноме четвертой степени необходимо опустить часть членов.
Выра- жение а~~ = а, + а,х~ + азу~ + и т. д., — аз + и т. д., ит. д., Эти двенадцать уравнений можно записать в матричной форме: ®' = 1С1(а), (10.14) где 1Ц вЂ” матрица размерности 12Х12, зависящая от узловых координат, а (и) — вектор, содержащий 12 неизвестных постоянных. Обращая систему (10.14), получаем И =~сГ'(й' (10.15) ц~= а1+ а~х+ азу+ а4х'+ а5ху'+ а д~+ а,~Р+ а х'"у+ + а ху2+ а уз + а хзу + а жуз (10.13) имеет определенные преимущества. В частности„вдоль любой линии х = сопз1 или д = сопз1 перемещение и будет изменяться по кубическому закону.
Все внешние границы и границы между элементами состоят именно из таких линий. Поскольку полином третьей степени единственным образом определяется четырьмя постоянными, перемещения вдоль границы однозначно определяются значениями перемещений и углов наклона в узловых точках на концах этой границы. А так как для смежных элементов значения на концах границы одинаковы, вдоль любой границы между элементами функция тэ будет непрерывной. Можно заметить, что градиент ы по нормали к любой границе изменяется вдоль нее по кубическому закону (например, дв/дх вдоль линии х = сопз1).
Так как на таких линиях заданы только два значения угла наклона, то полипом третьей степени определяется неоднозначно и в общем случае угол наклона может оказаться разрывным. Таким образом, эта функция является несогласованной. Постоянные а1 — а12 определяются из системы двенадцати уравнений, связывающих значения в и углов наклона в узловых точках, которые получаются в результате подстановки координат этих точек. Например, Глава 1О Это обращение можно выполнить с помощью ЗВМ или алгебраически, если желательно получить матрицу жесткости или другие матрицы в явном виде. Так было сделано Зенкевичем и Ченгом [121. Выражение для перемещений внутри элемента теперь можно записать в стандартной форме: В явном виде это выражение получено Мелошем [17).
Приведенные выше соотношения просто записать в нормализованных координатах, введенных в гл, 7. В результате для любой узловой точки имеем РЛ= 2 [(Во+1)(Чо+1)(2+Фо+Чо — Ь' — Ч') 1 (10.17) айаг (Во+ 1) (Во — 1НЧо+ 1), ~Ъ (Во+ 1) (Чо+ 1)'(Чо — 1)1 Ь=$ Ь, Выражение для матрицы [В1 получается непосредственно из соотношения (10.13) или (10.17) с использованием (10.6), По- скольку — 2а4 — 6аух — 2аау — 6апху (в) = = 2а, — 2аох — 6а, у — 6а, у, (10.16) 2а- + 4а,х + 4аоу + 6апх'+6а,оу можно записать (в) =Я(а) =[Я[С~ 1(б) и, следовательно, [В1=[аСГ', где 000 — 20 Π— 6х -2у 0 О '-6ху О Я= ООО ОΠ—,2 ΠΠ— 2х — 6у 0 -6ху ОО О 02 О О 4х 4у О 6х' 6у' (10,19) И = = [М (о)' = Р'1 [СГ' (оГ (10*16) где [Р1=(1, х, у, х', ху, у', хз, х'у, ху', уз, х'у, хуо).
Таблица Ю.1 Матрийа жесткости для прямоугольного алемента (фиг. 1ОЛ, материал ортотропнмй) Матрица жесткости 60аЬ 1 где 60 Симметрично 20 — 15 60 О 0 5 — 30 — 30 30 О 0 10 — 15 О О 20 Π— 15 60 О О О О О 1Π— 30 0 20 — ЗО О О 30 0 60 10 О ЗО 20 О 0 0 0 — 15 О 30 — 15 10 О 15 5 0 О О О 15 О 30 15 5 О 15 10 0 О О О Симметрично 30 30 0 15 — 60 О 30 — ЗО 0 15 Π— 60 — ЗО О 30 — 15 Π— 30 — 15 О О 20 0 15 О О 0 1ΠΠ— 30 0 О О 10 0 — 15 О 0 О 5 60 0 О 30 0 — 30 О О О 15 0 — 60 О 0 0 30 0 0 0 60 Π— 30 20, 0 О 0 ΠΠ— 60 30 0 60 Π— 30 10 О 30 20 О 0 0 О О О О 197 Продолжение табл, 10.1 30 — 15 0 15 — 15 — ЗО 0 О 0 — 15 0 — 30 15 15 0 0 О 30 О 0 О о о Симметрично 0 — !5 ЗО 0 15 0 !5 0 30 О 0 0 0 Π— 30 Π— 15 о о О 15 О О 15 30 0 0 !5 ΠΠΠ— 15 — 15 0 8 О 8 6 — 6 84 — 2 0 б Π— 8 б 6 — 6 84 — 8 Π— 6 Ю вЂ” 2 — 6 — 6 6 — 84 2 Π— 6 О 2 6 Симметрично 8 О 8 6 6 84 2 0 — б О 2 — 6 — 6 — 6 — 84 — 8 0 — 6 0 — 2 6 8 О 8 6 6 84 — 2 О 6 8 О -8 — 6 О 8 О 0 О 1 0 О О 2Ь 0 0 0 2а О У О О О О ~ О Где 0 О 0 Х Интеграл (10,23) тоже легко вычисляетея, Заметим, что в общем случае все три компоненты внешней силы в каждом узле отличны от нуля, При простом распределении внешней нагрузки между узлами этого бы не было.
Вектор узловых сил при действии - равномерно распределенной нагрузки приведен в табл. 10,3, Если в пластине существуют начальные деформации, то вектор узловых сил, обусловленных начальными деформациями и начальными напряжениями, находится аналогично. В этой связи необходимо заметить, что начальные деформации, например вызванные нагревом, редко влияют на кривизну. Обычно 84 6 6 — 84 — 6 б — 84 6 6 84 6 — б 0 15 О 0 0 ЗО 0 0 — 15 0 0 — 15 — 15 Π— 30 0 0 0 О 0 15 Изгиб пластин 199 Матрица сил для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10.2, прн действии равномерно распределенной нагрузки 4т 1 4 Ь 12 12 1 4 Ь 12 а 12 4 Ь 12 1Ро ,Р! = 1 Рох1 1 Рва; !2 1 4 Ь 12 12 1 в пластине дополнительно возникают деформации в ее плоскости, и в'целом поведение пластины можно изучить, решая наряду с задачей изгиба задачу о плоском напряженном состоянии.
10.5. Четырехугольные и параллелограммные элементы Четырехугольный элемент нельзя просто получить из прямоугольника. Можно было бы использовать преобразование координат описанного в гл. 8 типа, по, к сожалению, в этом случае нарушается критерий постоянства кривизны. По-видимому, такие элементы обладают плохими свойствами. Используя только функции от $ и т1, лишь для параллелограмма можно удовлетворить критерий постоянства кривизны.
Такой элемент предложен в работе 1121, а матрицы жесткости построены Дэйвом 1141. Несколько другая система функций формы предложена Лргирисом 1151. Хь 7 фиг. 10,6. Элемент а форме параллелограмма и косоугольные координаты. Для параллелограмма (фиг. 10.5) локальные координаты можно в явной форме связать с глобальными: / $ ЖС= л — услада (10.24) усоаес а Э что позволяет получить все характеристики элемента. 10.6. Треугольный элемент с узлами в углах 10.6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
