Метод конечных элементов (1061787), страница 9
Текст из файла (страница 9)
уравнение (1.13)1. Здесь следует отметить один недостаток метода взвешенных невязок. В этом методе дифференциальный оператор А содержит производные более высоких порядков, чем вариационный функционал т. Таким образом, чтобы избежать вкладов от межэлементных зон (см. разд, 3.2), необходимо обеспечить выполнение условий непрерывности функции формы более высокого порядка.
Зто обстоятельство имеет важное значение, так как оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым может вызвать непреодолимые трудности '), ~) Ниже будет показано, как сужается выбор функций, обеспечивающих непрерывность переменных, если дополнительно задается условие непрерывности угла наклона. В большинстве случаев можно подобрать функцию, обеспечивающую непрерывность только вторых производных. Глава 3 Эту трудность иногда можно обойти, преобразовывая интегралы в выражении (3.22) с помощью интегрирования по частям (или преобразования Грина — Стокса).
Если это преобразование удается выполнить в общем виде и если в результате порядок производных, входящих в полученные интегралы, понижается, то условиям непрерывности должны удовлетворять только эти производные. Ранее полагалось, что выбранная аппроксимация неизвестной функции ~соотношение (3.19)) автоматически удовлетворяет краевым условиям, Однако удобнее записывать уравнения в оба~ей форме, требуя выполнения краевых условий на заключительной стадии, подобно тому, как, например, в строительной механике заданные перемещения и граничные нагрузки учитываются после составления матрицы жесткости ансамбля.
3.5. Пример: Уравнение Пуассона Для пояснения основных идей, изложенных в предыдущих разделах, рассмотрим чисто математическую задачу решения уравнения в частных производных о. + —,+С=О д~Ф д~Ф (3.23) в некоторой области Р при заданных значениях функции ф = фв на границе (фиг. 3.2,а). Фнт. 3.2. Метод взвешенных невяэок. Можно показать, что решение этой задачи эквивалентно нахождению функции ~, удовлетворяющей краевым условиям и минимизирующей функционал (3.24) Обобщение понятия конечных элементов Для приближенного решения этого уравнения разобьем область на элементы (фиг.
3.2,6), для~каждого из которых (3.25) где ®' — набор параметров, представляющих собой в данном случае значения функции ф в узловых точках элемента. 3.5.1. Минимизация 4ункционала Равенство (ЗА) выполняется, если матрицу (У1 определить так, что функция ~ непрерывна между элементами, и, таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением типичного элемент'а, Подставляя (3.25) в (3.24) и интегрируя по площади элемента, получаем или д(Ф~' ( ) ® +( где ге Р~ — — — СУ~ дх ду. (3.27) (3.28) При заданных форме элемента и функциях формы все эти величины могут быть вычислены и система уравнений для ансамбля будет определяться соотношениями (3.7) — (3.9), Задача будет полностью сформулирована после учета граничных условий, а ее решение находится из решения системы линейных уравнений, Гдав»» 8 З.б.2.
Метод взвешенных невязок С помощью уравнений (3.22) и (3.23) можно получить типичное уравнение: ~ Д»ф Д2~ Гю~ + —,+С),'ШхШр=О, (329) в котором функция ~ определяется соотношением (3.25). От подынтегральной функции требуется непрерывный переход по границам между элементами с тем, чтобы второй фф был ог аничен .. Е р енным. Если мы хотим избежать этого ограничения, можно использовать интегрирование по час . Т тям. ак, например, 1~'» ах' »~х у = ~'»,ь»Ь~ а.
ь»1х Ф = Я вЂ” К» — 1, Ю вЂ” ~ ~ — ' — Ых»1у, (З.ЗО) где»' — косинус угла между внешней нормалью к поверхности (ф .. ) и направлением х, а контурный интеграл по 8 берется по всей границе, Проинтегрировав таким же образом и второй член уравнения (3.29), можно записать — фг,(фт.+ —," г„)ив=о. (3.31) Первый интеграл не содержит вкладов от гран элементами, если функция ф непрерывна. Теперь необходимо наложить ограничение на весовук, функцию В';.
Она должна быть непрерывной, поэтому метод коллокаций в точке или подобласти неприменим, Однако можно использовать метод Галеркина или любой другой метод, в котором функция К» непре ывна. ля примера используем метод Галеркина, в котором ф нкция веса м функ- (3.32) В'» — — У». Используя соотношение (3.25), вклад каждого элемента в интеграл (3.31) можно записать в виде Обобщение понятия конечных элементов В соотношении (3.33) выражения для йц и Р~, по-видимому„не случайно идентичны соответствующим выражениям (3.27) и (3.28), полученным вариационным методом.
После суммирования вкладов 'всех элементов получим систему уравнений, аналогичную прежней, за исключением того, что добавляется поверхностный интеграл. Ясно, что этот интеграл не дает вклада в уравнения для внутренних точек (г. е. когда точка 1 не лежит на границе). Если же точка 1 лежит на границе, где заданы значения фь, то становится не ясно, как вычислять этот интеграл; учет же краевых условий делает задачу разрешимой. Для рассмотренного примера при использовании метода взвешенных невязок и вариационного метода 11Ц получаются одинаковые результаты. Однако если бы использовались другие весойые функции, то совпадения можно было бы и не получить. Тот факт, что прямой метод решения, не требующий знания вариациоиного исчисления, приводит к тем же самым окончательным результатам, может быть сам по себе интересен читателям и указывает на возможность выбора различных методов решения, Кроме того, интересно отметить, что поверхностный интеграл в (3.31) имеет определенный физический смысл.
Фактически он представляет собой взвешенный интеграл от потока дЯдп через границу, так как В'; — 1„+ — 1„о15 = К; — сВ. Иногда на границе бывают известны не значения функции фь, а значения дф(дп. В таких случаях правильное решение мог бы дать прямой метод Галеркина, но при этом функционал должен быть модифицирован введением некоторых граничных величин (как это будет сделано в гл. 15).
3.6. Следующий пример. Уравнения вязкого течения Оператор основного дифференциального уравнения (3.17) может зависеть не только от одной переменной. Можно также рассмотреть систему дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнения, описывающие плоское установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости без учета инерционных членов. Неизвестные — давление р и компоненты скорости и и о в направлениях х и и — связаны между собой двумя уравнениями равновесия 1уравнения Стокса, полученные из более общего уравнения Навье — Стокса) (12~: где Х и У вЂ” объемные силы на единицу объема жидкости.
Уравнение неразрывности дает третье соотношение между этими тремя величинами — + — =О. ди да дх ду (3.36) Запишем выражении для р, и, о через узловые значения: Р=М®, и=(Л'1М о=И(4, (3.37) где Я вЂ” функции формы, обеспечивающие только непрерывность переменных. Используя метод Галеркина, можно записать для точки ~ систему трех уравнений, Первое из, них имеет вид (З.ЗЗ) Интегрируя по частям два последних члена в соответствии с соотношением (3.30) и выполняя некоторые преобразования, получаем После подстановки выражений (3.37) в первое слагаемое имеем (ЗАО) Второе уравнение имеет аналогичный вид и получается из предыдущего путем замены х и и на у и о соответственно.
Последнее уравнение, получающееся из уравнения неразрывности Обобщение аоняхия конечных элементов (3.36), имест вид 1№Е+ д„)дГ=[[№(~д,д1 (и)+ д~„'! (.1))иг=о. (341) У У Группируя все переменные, относящиеся к рассматриваемой точке, в виде И! (Фд = РВ получаем уравнение ансамбля в стандартной форме: Ж1(И+ М =0, (3.42) где, опять выделяя вклады каждого элемента, имеем ~й!!)'= 1 дУ; — М,— ' р дк 1 дЛ'! ду %— -д!Ч, аЧ, дМ,.
дЦ дх дх ду ду дк дх оу ду ! дж/ — У! — ~ ду 1 дМ~ — Ф!— дх (3.44) Поверхностный интеграл в (3.39) исчезает на той части границы, где задано и, ибо в этом случае У~ — — О. Там, где задано ди!ди, он дает дополнительный член в вектор (Е) в уравнении (3.43). Таким образом, ди Х (РД'= ~ № У дУ+ 1Х,и д Ы. е Юе О В приведенных уравнениях поверхностный интеграл берется только по внешним границам, на которых заданы ди/дп или досади. Если же на границе заданы величины а и а, то в граничных точках уравнения не составляются. Задача о течении жидкости в более простой постановке рассматривалась Докторсом [131. При другом подходе к решению задачи вводится понятие функции тока.
Если положить, что дО д8 Й= — —, 0= —, ду ' дх ' (3.46) Глава 3 то уравнение неразрывности (3.36) тождественно удовлетворяется и остаются два уравнения (3.47) Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х и вычитая одно из другого, исключаем р„в результате чего остается только одно уравнение Это уравнение можно решить описанным выше приближенным методом, Читатель может проделать это в качестве упражнения. При решении матрица жесткости получится симметричной и основные соотношения, по существу, будут идентичны соотношениям, рассматриваемым в главе, посвященной изгибу пластин. Однако в этом случае функция формы должна удовлетворять условию неразрывности первых производных между элементами, так как в интегралы будут входить производные второго порядка.
Осесимметричные задачи такого рода рассматривались в работе 114$. Примеры были приведены для того, чтобы проиллюстрировать общность метода. Однако рассмотренная здесь задача представляет значительный практический интерес, так как в настоящее время большое внимание уделяется разработке методов решения уравнений Навье — Стокса. С целью линеаризации уравнений (3.35) были опущены динамические члены да да да да и — +о —, и — +о —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
