Метод конечных элементов (1061787), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для частного случая плоского напряженного состояния необходимо рассмотреть три компоненты напряжений, соответствующие введенным деформациям. В принятых обозначениях они записываются в виде (а) = оу тху Матрица Щ легко получается из обычных соотношений между напряжениями и деформациями для изотропного материала 16~: 1 7 е — (е )в= — о — — О х х — Е х Е у У 1 е — (е),= — — и + — о у у Е х Е у~ 2 (1+ ч) (г' )о= Е у Отсюда 1 м О 1 О РЗ= .
О О 3 Конечные элементьь уььруаодь сргдьь 2.2А. Эквивалентиьье узловые силы Пусть столбец Гь, Г~ Гььь определяет узловые силы, которые статически эквивалентны граничным напряжениям и действующим на элемент распределенным нагрузкам-. Каждая из сил (ГД должна иметь столько же компонент, сколько и соответствующее узловое перемещение (бь), и действовать в соответствующем направлении. Распределенные нагрузки (р) определяются как нагрузки, приходящиеся на единицу объема материала элемента и действующие в направлениях, соответствующих направлениям перемещений (Ц в этой точке.
В частном случае плоского напряженного состояния узловые силы записываются в виде где 0 и У вЂ” компоненты, соответствующие перемещениям и и о. Распределенная нагрузка имеет вид где Х и У вЂ” компоненты ~объемных силь. Простейший способ сделать узловые силы статически эквивалентными действующим граничным напряжениям и распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (виртуального) узлового перемещения и приравнизании внешней и внутренней работ, совершаемых различными силами и напряжениями на этом перемещении. Пусть й(Ь)' — виртуальное перемещение в узле.
С помощью соотношений (2.1) и (2.2) получим соответственно перемещения, и деформации элемента в виде а(Ц=М~~Ь)' и ~®=~Ща Ю. Р.4) Работа, совершаемая узловыми силами, равна сумме произведений компонент каждой силы на соответствующие перемещения, т, е, в матричном виде (2,5) Аналогично внутренняя работа напряжений и распределенных сил, приходящаяся на единицу объема, равна д Ж" (о) — д ®'(р) (2.6) или ') (1(т,)и)т(~щт(, ) ~щт( )) (2.7) [л [Р[ [т[Р[ [[[Р[ [т(~ [и[с[и[лат ~ [Щт[ [ватт [2 Щ Так как это соотношение справедливо для любого виртуального перемещения, коэффициенты в правой и левой частях должны быть равны.
После подстановки (2,2) и (2.3) полу- чаем [и[ (~ [Щт[[Р[ [Щена) [Ь[ ~ [Щт[О[[ав[в[т+ + ~ [В[т [о.[ Пт — ~ [Щт [р1 тат. р.9[ Эта зависимость является одной из основных характеристик любого элемента. В гл. 1 она приводилась в форме соотноше- ния (!.3) „Матрица жесткости принимает вид [ц =~ [в[ [оив]ач.
Узловые силы, обусловленные распределенными нагрузками, имеют вид [р'[и =- ~ [р[[' [И ~~т, а силы, обусловленные начальной деформацией, выражаются как [['[;, - - ~ %' [рр[ [ее[ ~~р. (2.12) Узловые силы, соответствующие начальным напряжениям,,запи- сываются в виде [Г[: =~ [в[ [о,[ пт. (2,13) Если система начальных напряжений самоуравновешена, то после составления ансамбля силы, опренелнемые соотношением '[ Заметая, ато в соо ввт ваи с рав лани а травная алтвср транспониронаиие произведения матриц осу[цестнляется по формуле (1А) [В1)т =* 181 т1,а1т Приравнивая работу внешних сил суммарной внутренней работе, получаемой интегрированием по объему элемента, имеем зз Конечные элементы упругий среды (2.13), тождественно равны нулю. Поэтому обычно оценка компонент этих сил не проводится. Однако если, например, часть изучаемой конструкции выполнена из монолита, в котором существуют остаточные напряжения, или если исследуются выработки горной породы, в которой заданы тектонические напряжения, то необходимо учитывать, что удаление материала может вызвать нарушение силового баланса.
При использовании треугольного элемента в задачах о плоском напряженном состоянии основные характеристики получаются после соответствующей подстановки, Как уже было отмечено, в этом случае матрица 1В1 не зависит от координат и интегрирование выполняется тривиально. Составление ансамбля и дальнейшее решение производятся с помощью простой процедуры, описанной в гл. 1.
В общем случае в узлах могут быть приложены сосредоточенные внешние силы. Тогда для сохранения равновесия в узлах следует дополнительно ввести матрицу сил й (2.14) Сделаем еще замечание по поводу элементов, соприкасаю-. Ьцихся с границей. Если на границе заданы перемещения, то никаких затруднений не возникает. Рассмотрим„однако, случай, когда на границе задана распределенная внешняя нагрузка, скажем, нагрузка (~) на единицу площади. Тогда в узлах граничного элемента следует приложить дополнительную нагрузку.
Это просто сделать, используя принцип виртуальной работы: где интегрирование проводится по границе элемента. Заметим, что для того, чтобы записанное выше выражение было справедливо, (д) должно иметь такое же число компонент, как и Щ. На фиг. 2.1 показан граничный элемент для случая плоского напряженного состояния. Интегрирование в (2.15) редко удается выполнить точно. Часто из физических соображений поверхностная нагрузка просто заменяется приложенными в граничных узлах сосредоточенными силами, которые определяются из условий статического равновесия.
Для рассматриваемого частного случая результаты будут эквивалентны, После того как из решения общей системы уравнений (типа встречающихся в строительной механике) определены узловые Глава 2 перемещения, из соотношений (2,2) и (2.3) могут быть найдены напряжения в любой точке элемента ® = (01 (В1 (~) — (Щ (0о) + (пД. В этом выражении нетрудно узнать типичные члены соотношения (1,4), причем матрица напряжений элемента имеет вид ($~' = 10~ 131.
(2.17) К этой матрице должны быть добавлены напряжения (ае3 = Ж1(во) и (0о). (2.18) Отсутствие составляющей напряжения, вызванного распределенной нагрузкой ®'„, объясняется тем, что рассматриваются только условия общего равновесия, а не равновесия внутри каждого элемента. 2.2.б. Обобщенный характер перемещений, деформаций и напря- ясений Физический смысл перемещений, деформаций и напряжений в рассмотренном случае плоского напряженного состояния был очевиден. Во многих других приложениях, приведенных ниже, 'эта же терминология может быть применена к другим физи- чески менее наглядным величинам. Например, в рассматривае- мом плоском элементе термин «перемещение» может обозначать прогиб и наклон в данной точке.
Тогда «деформациями» будут кривизны срединной поверхности, а «напряжениями» вЂ” внутрен- ние изгибающие моменты, Все полученные здесь выражения справедливы и в общем случае при условии, что сумма произведений перемещений на соответствующие компоненты нагрузок определяет внешнюю ра- боту, тогда как сумма произведений деформации на соответ- ствующие компоненты напряжений — внутреннюю работу. 2.3. Обобщение на всю область.
Отказ от понятия внутренних узловых сил В предыдущем разделе принцип виртуальной работы был применен к отдельному элементу и введено понятие эквивалентной узловой силы. Для ансамбля в целом, очевидно, можно использовать подход, основанный непосредственно на представлении о равновесии. Идею описания взаимодействия элементов с помощью узловых сил математически трудно обосновать, хотя она очень привлекательна с точки зрения инженеров и допускает наглядную Коненные элементы упруеой среды интерпретацию. Тем не менее нет необходимости рассматривать каждый элемент в отдельности; рассуждения предыдущего раздела можно непосредственно применить ко всему сплошному телу. Можно считать, что соотношение (2.1) относится ко всей конструкции, т.
е. что М=Й® где столбец Щ содержит все узловые точки, а Я~ = 1Ч~э (2.20) в(Чт(в1 ~в~цг~в~вв ~в~от~ 1вв рво1 а внутренняя виртуальная работа принимает вид ~ й (е~" (а~ ЙУ, где интеграл берется по всей области. После учета а(1) =М~(ЬЬ 1®=(В11®, (2,23) (2.24) а также выражения (2.3) и приравнивания внутренней и внешней работ, получаем (1~1 (й|+ (~), + (~)„+ (~), + (~), — ®) = О. (2.25) Произвольный элемент- матрицы жесткости имеет вид где интеграл берется по всей области.
Учитывая соотношение между Я~ и (ВК имеем (Кц1= ХМ', если рассматриваемая точка принадлежит элементу г, т. е. точка 1 сопряжена с этим элементом. Если точка 1 не принадлежит рассматриваемому элементу, то ~Е (2.21) Аналогично определяется матрица (В]. Затем принцип виртуальной работы может быть применен ко всей конструкции. Теперь нет необходимости рассматривать силы взаимодействия между элементами, и внешняя работа на виртуальных перемещениях д Щ всех узлов становится равной Глава 2 где оценивается вклад каждого элемента,' как это описано в предыдущем разделе.
Легко показать справедливость аналогичных выражений для различных компонент сил, входящих в уравнение (2.25). Таким образом, при составлении ансамбля, как и ранее, мы не пользовались понятием межэлемептных сил. В дальнейшем в этой главе индекс элемента е будем опускать, за исключением некоторых частных случаев. Кроме того, мы не будем делать различия между функциями формы для эчемента и всей системы. Необходимо обратить внимание на один важный момент.
Рассматривая виртуальную работу системы в целом [выражение (2,23)) и приравнивая ее сумме работ каждого из элементов, мы тем самым предполагаем, что между элементами нет разрывов, Если такие разрывы возникают, то следует добавить работу напряжений в местах разрывов. Таким образом, поле перемещений, определяемое функциями формы, должно быть таким, чтобы на поверхностях разрыва деформации были ограниченными.
Следовательно, для того чтобы общие уравнения были справедливы, перемещения должны быть непрерывными функциями. Об этом необходимом условии будет сказано ниже, 2.4, Метод перемещений как минимизация полной потенциальной энергии Принцип виртуальных перемещений, использованный в предыдущих разделах, обеспечивает выполнение условий равновесия в определенных пределах, зависящих от выбранной формы перемещений. Равновесие будет полным только тогда, когда виртуальные работы равны при произвольных вариациях перемещений (удовлетворяющих только граничным условиям) ').
Е сли количество параметров Щ, описывающих перемещение, неограниченно возрастает, то условия равновесия могут быть удовлетворены. Принцип виртуальной работы может быть сформулирован в различной форме, Приравнивая выражении (2.22) и (2.23), можно записать ') Такие перемещения нааыаа(отса кииематически допустимыми.— Прим.
рад. Конечные элементы упругой среды Первый член в этом уравнении соответствует вариации энергии деформации 0 констрикции, а второй — вариации потенциальной энергии В" внешней нагрузки '). Тогда вместо уравнения (2.28) имеем й Я+ Ю) = И (у) = О, (2.29) дХ 1 дб ду дб, (2.30) Можно показать, что для упругого материала полная потенциальная энергия не только стационарна, но и минимальна (7~. Таким образом, при использовании метода конечных элементов отыскивается минимум полной потенциальной энергии среди возможных перемещений заданной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
