Метод конечных элементов (1061787), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При сложном нагружении эта оценка не всегда применима, поскольку для величин„представляющих практический интерес, т. е. смещений и напряжений, не удается установить определенных пределов. Важно помнить, что оценка энергии деформации справедлива только при условии отсутствия начальных напряжений или деформаций. Выражение для У в этом случае может быть получено из соотношения (2.31) в виде п 1 ~ р ~т~р1~„~ду а с помощью формулы (2.2) оно преобразуется в Ф где квадратная матрица ٠— ранее рассматривавшаяся матрица жесткости, ,Приведенное выражение для энергии всегда положительно, что следует из физического смысла этой величины.
Поэтому матрица Щ, вводимая при применении метода конечных элементов, является не только симметричной, но и положительно определенной (т. е. квадратичная форма, связанная с этой матрицей, всегда больше нуля или равна нулю). Это свойство особенно важно при использовании численных методов решения систем уравнений, так как при этом возможны некоторые упрощения, Глава 2 2.8. Прямая минимизация Тот факт, что метод конечных элементов сводится к минимизации полной потенциальной энергии )(, выраженной через конечное число узловых параметров, позволяет получить систему уравнений, символически записанную в виде (2.30).
Это наиболее часто применяемый подход, особенно в линейных задачах. Однако для оценки нижней границы значения )( могут быть использованы и другие, хорошо разработанные к настоя!дему времени методы исследования в области оптимизации процессов. В этой книге мы будем придерживаться первого способа минимизации, хотя можно использовать и другие методы [)7, 18~. ЛИТЕРАТУРА 1. С!она )х.
Ю., ТЬе Г!и!1е Е1етеп1 !п Р1апе 81гезз Апа1уз1з, Ргос. 2пд А. Б. С. Е. Соп1. оп Е1ес1гошс СошрШаИоп, Р!11вЬнгаЬ Ра,, Бер1. 1960. 2. С!она )х. %., ТЬе Гшие Е!етеп1 Мейог) ш 81гпсйга1 МесЬап!сз, СЬ. 7 ш: 81гевз Апа1уя!в, Е!епРЛечч!сх О. С., Но1!я1ег О. Б,, ег)з., ЪЧеу, 1965. 3.
Бхгпе1!ег Л., ТЬе Епегду МеИюй о1 Хе1жогЬв о1 АгЫ1гагу БЬаре 1п РгоЬ1егпя о1 йе ТЬеогу о1 Е1азИс!1), Ргос. ШТАМ, Бутров!нш оп 1Чоп-Ногпопепе!1у ш Е1азИсйу апс) Р)азбсиу, О1яхаЬ ЪЧ., ест., Регдашоп Ргевя, 1959. 4. Сопгап1 К., Чаг!аИопа1 Мейог(з 1ог йе Бо1и1!оп о1 РгоЫешз о1 ЕЧп!1!Ь- гилп апг1 ч'!ЬгаИоп, Ва11. Ат. Мага. Кос., 49, 1 — 23. (1943), 5. Ргапег %., Бупяе Л. 1., Арргохппа1юп ш Е1авИс!1у Ваяег! оп йе Сопсер' о1 ГипсИоп Брасе, Яиаг1. Арр1. Ма11г., 5, 241 — 269 (1947).
6, Т!шояЬепЬо Б., боойег Л. Х., ТЬеогу о1 Е!авИс11у, 2п6 ей., Мсйгав-Н111, 1951. 7. ЮазЫхн К., Чаг!аИопа! Мейобв ш Е1ая1!с!!у апй Р1авИсйу, Регяашоп Ргезз, 1968. 8. 8(гиИ Л. %. (1.огг1 йау1ефЬ), Оп йе ТЬеогу о1 йеяопапсе, Тгапя. Яоу. Юос. (Х.опс(оп), А!61, 77 — 118 (1870). 9. Ю1ъ %., 0Ьег е!пс Ме1Ьог)е хпг 1.5внпд певуч!язеп 'ч'аг!аиопя — РгоЫеше г(ег тв(ЬетаИясЬеп Раув!1с, Л.
Лге1пе ипд Ап8еге. Ма15., 135, 1 — 61 (1909). 10. Ваяе1еу б. Р„СЬеппд У .К., 1гопз В. М„Е!епЫеж!сх О. С., Тг)апин1аг Е1етеп1я ш Вепйпя — Соп1огш1пп ап6 Хоп-Соп1огш1пд Бо1иИопз, Ргос. Соп1. Ма1г!х Ме1Ьойз ш 81гнс1. МесЬ., А!г Гогсе 1пз1. ТесЬп., %г!дЫ Ра1- 1егзоп А.
Г. Вазе ОЬю, 1965. 11. Михлни С. Г., Проблема минимума квадратного функционала, ГИТТЛ, М.-Л., 1952. 12. ЛоЬпзоп %, М., Мс(.ау К, В., Сопчегдепсе о1 йе Г!п!1е Е1ешеп1 Ме1Ьог1 !и 1Ье ТЬеогу о1 Е)авИсИу, Л, Арр1. Месс. Тгапя. Ат. Кос. МесЬ. Ещ., 274— 278 (1968); есть русский перевод: Джонсон, Маклей, Сходимость метода конечных элементов в теории упругости. Труды Американского общества инженеров-механиков, Прикладная механика, 35, сер. Е, № 2, стр.
68 — 72 (1968). 13. Кеу Б. %., А Сопчегяепсе 1пчезИдаИоп о1 йе О!гес! БИ11певв Ме1Ьой, РЬ. О. ТЬея!я, Бич. о1 ВаяЫп81оп, 1966. 14. Р!ап Т. Н. Н., Тапа Р., ТЬе Сопчегдепсс о1 Г!и!1с Е1ешсп( Ме!Ьод 1и Бо1. ч!пд ЬЛпеаг Е1авИс РгоЫстз, 1~1. Л. ЯоЫг БГгис$,, '3, 865 — 88!) (1967). Конечные элементы упруеой среды !5. Ре Апап1ез 01Ьге1га Е, К., ТЬеоге11са! Гоипг1а11опз о1 Рйе Г1пИе Е1егпеп1 Ме1Ьог1, УпА У.
ЯоМз Яйисг., 4„929 — 952 11968). 16. Ве ЪецЬе)ге В. Г., 01зр1асегпеп1 апг! Ецш11Ьг1гпп Мос1е1з 1п 1Ье Г1п11е Е1егпеп1 Ме1Ьос), СЬ. 9 1п: Ыгезз Апа1уз1з, Х1епЫеМсх О. С., 11о11з1ег С). Б., ес1з., %11еу, 1965, 17. Гох К. 1., Яап1оп Е, 1., Оече1оргпеп1з 1п Ягис1ига! Апа1уз1з Ьу 01гес1 Епегду М1п1пихаИоп, ХАААА, 6, 1036 — 1044 (1968); есть русский перевод: Фокс, Стэнтон, Достижения в области расчетои на прочность прямыми методами минимизации энергии, Ракетная техника и космонавтика, 6, № 6, стр. 55 — 63 (1968).
18. Вор~ег Г. К., МаПе11 К. Н., М1п!сЬ М. Е)., БсЬ~пИ Ь. А., Е)ече1оргпеп1 апг! Еча1ва11оп о1 Епегну 5еагсЬ Ме1Ьог)з !и Хоп-Ь1пеаг Ягпс1ига! Апа1уз1з, Ргос. Соп1. Ма1г1х Ме1Ьог!з 1п Ягпс1 МесЬ., А1г Гогсе 1пз1, ТесЬп., Жг1дЬ1 Ра11егзоп А. Г. Вазе, ОЫо, 1965. ГЛАВА 3 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 3.1. Вариациоииые задачи К решению встречающихся в технике задач прикладной механики существуют два подхода ~Ц. При одном из них используются дифференциальные уравнения, описывающие поведение некоторой произвольной бесконечно малой области.
Другой подход состоит в том, что постулируется вариационный экстремальный принцип, справедливый для всей области. Прн этом решение минимизирует некоторую величину т, которая определяется как некоторый интеграл от неизвестных величин по всей области. Интегральную величину т, представляю1цую собой функцию от неизвестных функций, называют функционалом. С математической точки зрения оба эти подхода эквивалентны, и решение, полученное при одном подходе, является решением при другом подходе.
Каждый из этих подходов может быть принят в качестве основного, хотя чаще используется первый. От одного подхода можно перейти к другому с помощью математических преобразований, что является предметом многочисленных книг по вариационным методам ~2 — 4~. Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения.
Конечно-разностные ~5, 6~ методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными; метод Ритца и его вариант — метод конечных элементов — связаны с приближенной минимизацией функционала. В предыдущей главе было показано, что задача определения поля перемещений в конструкции сводится к задаче минимизации полной потенциальной энергии, определенной в виде функционала от перемещений. Была установлена эквивалентность метода конечных элементов методу приближенной минимизации функционала энергии по узловым перемещениям. В настоящем разделе этот вопрос будет рассмотрен в общем виде. Пусть физическая (или чисто математическая) .постановка задачи требует минимизации функционала т в некоторой области, Величина т определяется в виде интеграла по области У и части границы 5, на которой неизвестны функция (Я или ее производные, т. е.
она имеет вид ,Обобщение понятия конечных элеиентое Пусть рассматриваемая область разделена на более мелкие части, подобласти, которые будем далее называть элементами, и пусть функции, которые мы хотим определить, для каждого элемента записываются в виде ® =[УИВГ (3.2) Здесь Щ~ может содержать узловые значения функции, соответствующие такому. элементу, или некоторые характеризующие его параметры. Неизвестная функция взята в фигурные скобки, чтобы показать, что она может быть вектором, как в примере гл, 2, а (~ — матрица, определяющая зависимость функции формы от координат.
Для минимизации функционала у по всем параметрам (Ф) полной области следует записать систему уравнений Если справедливо утверждение, что функционал равен сумме вкладов отдельных элементов, т, е. что х= Хх', (3.4) то символическое уравнение принимает вид (3.5) где суммирование производится по всем элементам. Таким образом, получено правило составления системы уравнений, минимизирующих функционал, для всего ансамбля. В частном случае, когда т является квадратичным функционалом от (ф) и ее производных, производную для элемента е можно записать в виде ,",,.
=1йЛИ'+ М', (3.6) где Щ и Я' — постоянные матрицы. Теперь систему уравнений (3.3), минимизирующую функционал„можно записать следующим образом: —,",„=~~~(ф)+(~) =О, (3.7) где- Иц)= Е Иц1', Р'д-ХГд' Суммирование производится по всем элементам, как и в задачах строительной механики и расчета сетей, рассмотренных в гл: 1 и 2.
3.2. Критерии сходимости Для того чтобы уменьшение размеров элементов приводило к сходимости„функции, входящие в выражение (3.1), должны удовлетворить определенным требованиям полноты. Во-первых, при уменьшении размеров элемента функции ~ и д в интеграле (3.1) должны оставаться однозначными и хорошо отражать физическую сущность задачи. Таким образом, необходимо удовлетворить следующему критерию: КРитерий 1. Функции формы элемента 1Щ должна быть таковы, чтобы при соответствующем выборе- (Ф)' и стремлении размеров элемента к нулю можно было получить любые постоянные значения ® или ее производных, входящих в функционал у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
