Метод конечных элементов (1061787), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Любой расчет сетей осуществляется по намеченным этапам, которые должны быть хорошо поняты читателем. Хотя, безусловно, эти этапы важны для понимания метода конечных элемЕнтов, они, одиако, не составляют его сути. Эти этапы хорощо Метод жесткостей расчета конструщий известны и обычно используются в строительной механике. Остальная часть книги посвящена методу приближенного представления сплошной среды эквивалентной системой конечных элементов. Если такое представление возможно, то описанная схема позволит осуществить расчет. ЛИТЕРАТУРА 1 ТапозЬеп1го 8. Р., Уоппд Р.
Н., ТЬеогу о1 51гас1игез, 2пг1 ей., Мсбгаю-Н111, 1965. 2. 1.жез1су й. К., Ма1г1х Мейодз 1п Ягпс1ига1 Апа1уз1з, Регаагпоп Ргезз, 1964. 3. Ргхегп1еп1есЫ,1. $., ТЬеогу о1 Ма1пх Ягис1пга1 Апа1уз1з, Мигаю-НШ, 1968. 4. Маг11п Н, С., 1п1годасиоп 1о Ма1пх ' Мейойз о1 ЯгасЫга1 Апа!уз1з, Мсбгащ-Н111, 1966. 5. 1епЫпз Ъ'. М., Ма1г1х апд Рьд11а1 Согпрп1ег Мейог1з 1п ЯгпсЫга1 Апа1у- з1з, Мсйгав-НШ, 1969. 6. Тцгпег М.,1., С1опаЬ К. %., Маг11п Н. С., Торр 1.. 1., Я111пезз апг1 Рс11ес- 11оп Апа1уз1з о1 Соыр1ех Йгис1пгез, У. Лего. Яс1., 23, 805 — 823 (1956), 7.
Раупе И. А., 1гопз В., частное соойценне, 1963. ГЛАВА 2 КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УПРУГОЙ СРЕДЫ, МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 2.1. Введение Часто для различных инженерных целей требуется знание распределения напряжений и деформаций в упругой сплошной среде. Тогда предметом исследования являются двумерные задачи о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях, задачи об осесимметричных телах, об изгибе пластин и оболочек и наконец, исследование трехмерных твердых тел. Во всех случаях число связей между любым конечным элементом, ограниченным воображаемыми поверхностями, и соседними элементами бесконечно. Поэтому с первого взгляда трудно понять, каким образом такие задачи можно дискретизировать, как это было сделано в предыдущей главе для простейших конструкций.
Эта трудность преодолевается следующим образом. 1, Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или поверхностями на некоторое количество конечных элементов. 2. Предполагается, что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. Так же, как в обычных задачах строительной механики, основными неизвест-. ными будут перемещения этих узловых точек. 3. Выбирается система функция, однозначно определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента через перемещения узловых точек.
4. Функции перемещений однозначно определяют деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти деформации при известных начальных деформациях и упругих свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри элемента, так и на его границах. 5. Определяется система сил, сосредоточенных в узлах и уравновешивающих напряжения на границе и некоторые распределенные нагрузки, а затем записывается соотношение для жесткостей в форме (1.3). Далее могут быть использованы обычные методы решения задач строительной механики, описанные ранее.
Очевидно, что такой подход является приближенным. Во-первых, не всегда легко добиться, чтобы выбранные функции перемещений удовлетворяли требованиям непрерывности перемещений между смежными элементами. В результате на границах элементов могут Конечные элгменты упругой гредьь 27 2.2, Описание свойств конечного элемента Правила получения характеристик конечного элемента сплошной среды, описанные ранее схематично, теперь будут изложены в более подробной математической форме.
Желательно получить результаты в общем виде, справедливом для любого случая. Однако чтобы облегчить понимание общих соотношений, они будут проиллюстрированы на очень простом примере плоского напряженного состояния тонкой пластины'). В этом примере использованы элементы треугольной формы, показанные на фиг. 2.1. Соотношения общего характера напечатаны полужирным шрифтом, а выражения, соответствующие частному примеру,— нормальным. Как и ранее, используется матричная форма записи.
') В дейстиительиости будет рассмотрено обобщенное плоское напряженное состояние, — Прим. ред, нарушаться условия совместности (хотя в пределах каждого элемента эти условия, очевидно, удовлетворяются при однозначности функций перемещений). Во-вторых, сосредоточивая эквивалентные усилия в узлах, мы только в среднем удовлетворяем уравнениям равновесия. Обычно возникает локальное нарушение уравнений равновесия внутри элементов и на их границах. Выбор формы элемента и функций перемещений для конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства инженера, и совершенно ясно, что именно этим определяется точность приближенного решения. Изложенный здесь подход известен как метод перемещений ' 11, 2~. До сих пор обоснование метода было нестрогим, хотя, в сущности, этот метод эквивалентен минимизации полной потенциальной энергии системы, выраженной через поле перемещений.
При подходящем выборе поля перемещений решение должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хорошо известному методу Ритца, что будет показано в одном из последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необходимые критерии сходимости. Эквивалентность метода конечных элементов процессу минимизации была замечена недавно [2, 31. Однако еще Курант в 1943 г. 141 и Прагер и Синг в 1947 г. Д предложили, по существу, идентичный метод.
Более широкое обоснование метода позволит распространить его почти на все задачи, для которых возможна вариационная постановка, В этой книге будут рассмотрены некоторые такие задачи, не имеющие отношения к строитеЛьной механике. 2,2.1. Фунщия перемещений Типичный конечный элемент е определяется узловыми точками ~, 1, и и т. д. и прямолинейными границами.
Пусть пере- Фнг. 2Л. Плоская область, разбитая на конечные элементы. мещения любой, точки внутри элемента задаются вектор-столб- цом Ь, Ь~ Ь. ° Щ=~М~(Ь~'=~И„И,, 1Ч ...~ (2.Ц где компоненты Я являются в общем случае функциями положения, а Щ' представляют собой перемещения узловых точек рассматриваемого элемента. В случае плоского напряженного состояния вектор-столбец В=,( „) Конечные злементы упруаай среды содержит горизонтальное и вертикальное перемещения типич- ной точки внутри элемента, а столбец содержит соответствующие перемещения узла ~. Функции У;, У;, й„, должны быть выбраны таким образом, чтобы при подстановке в (2.1) координат узлов получались соответствуюшие узловые перемещения.
Очевидно, что в общем случае .Ч~~хь у~) =Х (единичная матрица), тогда как Л,(х,, у,) = ИД~, д ) =а и т. д., что, в частности, достигается соответствующим выбором линейных относительно х и у функций. Более подробно вопрос о выборе функций ~Ж) будет рассмотрен в одной из последующих : глав. 'Функции [Л~ называются функциями формы. Они, как будет видно из дальнейшего, играют важную роль в методе конечных элементов.
, 2.3,2. Деформации Если известны перемещения во всех точках элемента, то в 'них можно также определить и деформации'). Они находятся ;с помощью соотношения, которое в матричной форме может быть записано в виде Ж =% (ьГ. ',:В случае плоского напряженного состояния представляют инте',.'рес деформации в плоскости, которые определяются через пере",мещения с помощью хорошо известных соотношений ~61') ди ') Здесь под деформациями понимаются любые внутренние дисторсии, тажие, например,как кривизна в плоскои задаче. а) Для того чтобы строки первого столбца образовывалн ортогональиый 'ггензор, необходимо третью строку второго столбца умножить на '4.
†Пр. -'рад. Глава 2 Матрица 1В1 легко может быть получена из соотношения (2.1), если известны функции формы У;, Л', и У . В том случае, когда эти функции линейные, деформации постоянны по всему элементу. 2.2.3. Напряжения В общем случае материал, находящийся внутри элемента, может иметь начальные деформации, обусловленные температурными воздействиями, усадкой, кристаллизацией и т.- п, Если обозначить эти деформации через (ев), то напряжения будут определяться разностью между существующими и начальными деформациями. Кроме того, удобно предположить, что в рассматриваемый момент времени в теле существуют некоторые остаточные напряжения (ов), которые, например, можно замерить, но нельзя предсказать без знания полной истории нагружения материала, Эти напряжения можно просто добавить к общему выражению. Таким образом, в предположении упругого поведения соотношения между напряжениями и деформациями будут линейными: (и) = 1О~((е) — Ж) + (,Д, (2.3) где [О) — матрица упругости, содержащая характеристики материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
