Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. - Теория оптических систем (1060803), страница 69
Текст из файла (страница 69)
267). В первом приближении можно считать линзу тонкой. Для обычных условий нормировки имеем лт = 1, ат = О, ав = ик = 1. Из теории аберраций известно, что для тонкой линзы нз стекла с показателем преломления л, = л' = 1,5 первая сумма может быть вычислена по формуле 5г — — 2!ает — 24тх + 9, т. е. 5г = 6. Сферическая аберрация исправлена, если 5ге = О, тогда в соответствии с формулой (609) о5ро — — — 5г, или й5го = й, Ь, (стеле — а,л,)к/(пв — ат)в, отк да Ь, = — 0,444, т. е. е, = Р 0,444. ассмотрим порядок определения эксцентриситетов обоих зеркал в двухзеркальной системе, когда в области аберраций 111 порядка требуется, например, исправить две аберрации — сферическую и кому. Такая степень исправления, как известно, называется апланатической (5ге = О, 5ы, = 0).
Выберем в качестве основных параметров (рис. 268, а) угол ае первого вспомогательного луча между зеркалами (ак = О, ав = 1, й, = 1, г' = Ц и высоту Бт этого луча на втором зеркале. Выражения сумм аберраций третьего порядка в двухзеркальной системе с несфернческими поверхностями второго порядка могут быть представлены в следующем виде: 5„= 5~ -)-О 26 [ и)е! — лу(1+ау)'е!); 5 ц, = 5ц — (0,25/ау) [(1 — Йу) (1 + ау) еу); 5Ш, = 5гц — [0,26/[ауйуЦ [(1 — Яу)'(1+ао)'ея) 5юу е = 5!у 5ук = 5„— [0,26/(а,'63у)3 [(1 — Бт)'(1 + ау) еу) где Зг — 8ч — суммы аберраций 111 порядка двухзеркальной системы из сферических зеркал. Формулы (511) написаны для случая, когда входной зрачок совпадает с первой поверхностью (Н, = 0), при этом, как известно, указанная поверхность может повлиять лишь на сферическую аберрацию, поэтому эксцентриситет е~ входит лишь в выражение первой суммы Яы.
Исходя из условия достижения апланатической степени коррекции (Яы = 0 и Зы, = 0) и решая первые два уравнения, из формул (511) найдем: е1 = (2си + (1 — Ь,) (1+ аг) (1 — а~) И(1 — Лз) (1+ а~) ); е~~ = 1+ 2йр/!(! — Ьз) аг1. (512) В общем случае могут быть исправлены другие две аберрации. По полученным значениям эксцентриситетов можно определить максимальное отступление ! несферической поверхности от сферы: ! ~ = )!Я/(32р)) — и выбрать способ ее изготовления. По формулам (512) можно рассчитать двухзеркальную апланатическую систему лишь в области аберраций 111 порядка с относительным отверстием менее 1: 2.
В светосильных двухзеркальных системах с относительными отверстиями порядка 1: 1 апланатическая степень коррекции достигается прн использовании несферических поверхностей высших порядков. Задача по расчету двухзеркальной апланатической системы была впервые решена К. Шварцшильдом, а затем независимо друг от друга Д. Д.
Максутовым и Г, Кретьеном. До настоящего времени эта задача сохраняет свою актуальность. Ниже представлено одно из решений в параметрическом виде (см. рис. 268, б). Для луча, проходящего через точки М (г„у,) и Д/ (г„у,) соответственно большого и малого зеркал, условие безаберрационного изображения представляется в виде: ~ (г~ — гг — Н)~+(у1 — уз) + ~Г(зр — гз) + уз ~— зр +г1+3= О. (513) Введя параметр 1 = 1и (о'/2), получим: уг/(зр — гг) = 1я о' = 2!/(1 — Р).
(514) При фокусном расстоянии /' = 1 условие синусов запишем уг = з1п а' = 2//(! + !з). (515) Из совместного решения уравнений (513) — (515) получим квординаты поверхностей двухзеркальной апланатической системы в зависимости от параметра / и двух постоянных величин д и зр' г~ =ар — С; /2//(1 ! !г) . (516) Таблица аберраций двухзеркальной системы ч. и 4е 4го Ь4 25 38 50 — 0,0001 — 0,0001 О,ОО22 25,8! 41,06 57,69 30,0216 30,0216 30,0258 — 0,0003 — 0,0003 О,ОО39 0,0013 0,0028 0,0133 0,0007 — 0,0034 0,0211 ' Прн расчете с /' ~ 1 вместо 1 подставлять реальное фокусное расстояние г,=з, +б(1 — В)/В; у, = — 2М/В, где / = /' — ~/' — уз1; С = (хр А~~+ — /з//4/)/(1+ /т)~; А [1 + + (с[+ /) /т/4/)!1!1+а!; В = /г — 4/А/зл .
Решение по формулам (516) реализовано на программируемом микрокалькуляторе (см. прил. 2). В результате расчета несколь- ких лучей получают координаты точек поверхностей зеркал. Аппроксимация точек поверхностей зеркал выполняется одним из известных методов. Пример. Для светосильной (1: 1) двухзеркальной системы с фокусным рас- стоянием /' = !00,04 ммь 4! = — 40 мм, з'„30,022 мм получены следующие уравнении поверхностей зеркал: Р[+ ха+ 228,6г, — 0,2795г,'+ 0,004048г', — 0,000111г', = 0; уээ + кээ + 160гэ — 24,2676г1 + 2,283Й7гэз — 0,3693! Зге = О. Результаты расчета аберрацяй сведены в табл. !6.
Таким образом, точка изображается иа днфракциоииом уровне прн хорошем выполнении условия синусов. На практике иногда приходится пересчитывать оптические си- стемы по подобию с учетом коэффициента подобия К, равного отношению требуемого фокусного расстояния /' к фокусному расстоянию /„',„исходной оптической системы с несфернческими поверхностями (К = /'//'„.„). С учетом коэффициента подобия уравнения кривых меридионального сечения несферических по- верхностей принимают внд: уз!+ Ка1г4+аэг~1+ (аз/К)г~1+ (а4/К ) г41+ = О, гз = (В4/К) у, +(,Вт/К ) уз+ (Вз/К ) уз+ (В4/К') уз+ Пример.
Зеркало с /„' „= 100 мм имеет несфернческую поверхность, опн. сываемую уравнением у'+ к'+ 400г+ 0,2гэ — 0,035гз+ 0,0072г' = О. Требуется получить несферическое зеркало с фокусным расстоянием /' = = 150 мм. Коэффициент подобик К !.,5, и уравнение нового несферического зеркала будет иметь внд; Уэ+ Хэ+ 6002+ 0,224 — 0,02332з+ 0,0032ла = О. Табл нца 16 1!8. Расчет оптической системы на минимум сферической аберрации где Ч, — приведенная оптическая сила линзы с произвольным номером !. Для этой линзы принята следующая нумерация углов первого вспомогательного луча: ает х — для луча, х нее/ входящего в линзу; ае,— для луча внутри линзы; х„„— для луча, вышедшего из линзы. Из формулы углов (52) имеем а с„— — ает х + Бсср, и с учетом (517) прн й, = 1 получим и с„— лс У а, в Рпс.
269. Бесконечно тонкая система из поло жительных линз Если оптическая система имеет малое поле в пространстве предметов, то в такой системе качество изображения определяется в первую очередь состоянием коррекции сферической аберрации. К числу таких систем следует отнести объектив с небольшим угловым полем, конденсор осветительной системы и ряд других. При аберрационном расчете исходного варианта указанных систем, состоящих из положительных линз, в первоначальной стадии расчета делается допущение о том, что все линзы системы бесконечно тонкие.
Как в объективе, так и в коиденсоре возможны следующие варианты решений: система состоит из линз одинаковой оптической силы и каждая из них рассчитана на минимум сферической аберрации; в системе используются апланатические мениски и одна линза, рассчитанная на минимум сферической аберрации. Рассмотрим аберрационный расчет каждого варианта объектива и конденсора, используя теорию аберраций 111 порядка. Объектив нз положительных линз одинаковой оптической силы, Принципиальная схема такого объектива показана на рис. 269. Пусть число линз в объективе г.
Толщину всех линз и расстояния между ними принимаем равными нулю, т. е. с(х = ба =... = = с(,, = О. Показатели преломления для всех линз будем считать одинаковыми, т. е. па = и, =... = и„= а, нечетные показатели преломления равны единице, т. е. и, = а, =... = лза» т = =1 Расчет объектива будем проводить при единичном фокусном расстоянии, поэтому для бесконечно удаленною предмета будут справедливы условия нормировки (258): сс, = 0; а„„= 1; Йа = Йе =.
= 6„ = 1. Последнее равенство относится к бесконечно тонкой системе. Если оптические силы отдельных линз одинаковые и их общее число з, то для приведенной системы имеем: гРт ='1 — аз! ! — — 1/х. Так как при / 1 а„, = а! = О, то из последней формулы следует: ав! ! = (1 — 1)/гп а,а,! = //х. (518) Таким образом, формулы (518) определяют нечетные значения углов «х бесконечно тонкого объектива, состоящего из линз одинаковой оптической силы, Для определения четных значений углов а рассмотрим выражение первой суммы Зейделя для линзы с номером /, Для бесконечно тонкого объектива имеем: Е а а а Я! = ~ /ааР» — — ~ Р!. 1 1 ! ! Величина Р! при принятой нумерации углов а согласно (251) будет равна: Р! = 11/(1 — рха) ) 1(2рха + 1) (ах!~-! — еаза — !) сев!в — (2+ раа) (ааа+! — аа! !) ах!+ (ах!+! — аеа-!)3 (519) По формулам (518) и (520) определяют углы первого вспомогательного луча бесконечно тонкого объектива, рассчитанного на минимум сферической аберрации.
После определения углов и установления толщин линз по формулам (249) находят радиусы кривизны объектива конечной толщины. Кома объектива зависит от параметра (Р. Ниже приведены значения Р н (Р, найденные для бесконечно тонкого объектива, рассчитанного на минимум сферической аберрации, при различном числе линз г (37 ). Все линзы объектива выполнены из стекла с показателем преломления и = 1,5. паа та» Р 2,!4 0,14 0,44 0,16 0,12 0,16 0,014 0,16 Обеавеаа Олиолиизовый цвухлиизовый Трехлиизовый Четырехлиизовый Таким образом, при увеличении числа линз значение Р уменьшается и практически равно нулю при г = 4. Величина )Р практически постоянна и приблизительно равна 0,15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
