Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 39
Текст из файла (страница 39)
д. Поэтому процедура вычисления этих величии включает многие иэ тех расчетов, которые производятся при составлении матриц эгммспта. Рецльтвнты элементе могут быть вычпслш>ы в точках иитпрированиа или в любьгк других точках внутри элемента. Кгпрдннаты точек, отличных от точек внпхрирана>гня, должны быть указаны дл» каждого элемента. 162. ПРммерм прммемеимя В этом разделе обсуждается решение трех задач, рассмотренных ранее. Будут рассмотрены кручение стержня с поперечным сечением в виде квадрата, распределение температуры вблизи кабеля, а также распределение напряжений в гбластн выточки. Каждая из этих задач была решена раисе с использованном треугольного симплекс-элемента.
Мы сравним реаулщаты, полученные с помощью элементов высокого порядка, с данными, которые получаются при ипюльзоввнии симплекс-элементов. 14.2.1. Кручение сгвржпв кведрвтжмо сечвииа В гл. 7 были найдены сдвиговые напрнжениа в стержне квадратного сечения со стороной ! см. подверженном действию ьрутшцего момента величиной 196 Н.см. Из соображений сючметрнп рассиатРввалась часть стержня в >щзе прямоугольного тр>бтольняк а, нотерый разбивалсн на 64 элемента с 46 узлами.
Было получыю максимальжю значение т,г — — 9!6 Н/сзгг, которое отличается от теоретического максимума 946 Н)омз на 3,2%. Задача о кручении стержня была решена дважды путем разбнепиа исходной области на кубвчные треугольные элемента> В обоих глучаях для задания а фермы элемента попользовались линейные функции формы для треутгшьшша..В первом сл! >ае дла разбнеанв применялся только юдин элемент (фвг. 16.2, а), о ао втором случае область Разбивалась па четыре элемента (фвг.
16.2, б). В обоях случаях иаиболывсс сдвнговое напряжение о было получено в вершине прямого угла исходной треугольной области. о о В одпозлементной модели максимальное значение тэ, равно 69ОН) з.э к р б чески совпадает со званы>иж, гьч еаг. 1бк Рэзбзе ае ебззсга вэ з злучспиым при испоювоваини 64 вга э лз з а р> зпм. Элзлвпм взшмвэ лэзздвь Фа «изме Э16 г. ивы симплекс-элементов (892 Нгсмз) ло применения теории согласованных рсзультантов элементов. В случае разбиения области на четыре кубичных треугольных элемента мвксимазьиое значение т,э равно 929 Н!см!. Зта величина тольно иа 1,7Тг ысныпе теоретического ыаксимума 945 Н!сиз.
Оиг. 16Д. Эаачевкз кэврвменвз чг в отхелмвм тввмх аалзстх (юмээмевяе км эм х з лось з э! а х та зх), п-а 1ю' В!!5 э 1 вз!Осек. 201 = -шш' н. рюььмч При нсполшовэнии элеыентоп высокого порядка исчезает непбкоднмосгь в применении теории согласованных ршультзнтов элементов, потому что реэультвнты элемента ~еперь нвляк:тся функциями координат и ыогут быть вычислены в произвольной точке. На фиг. 15,3 представлены значшгкя т.„в точках, распшюженных ив граинцак элсмситоа Заметим, чш точкам, которые ввлвются общими для двух и болыпего числа элементов, состкпгствует несколько чисел. Зги числа могут сушестиешю отличаться по величине.
То жс свюю наблюдается при вычислении любой другой пышкины„зааисппюй от производных искомой функции. Послед. иее обспзятельстэо указывает ва то, что в точке, общей для смежных элементов, поверхность. с!ответствующая искомой функции, имеет по разини нпправлспнкм раэличпыс углы наклона. Полученные значения мшюю упмиить, если испольэовать при разбиении области элементы мсиьшнк размеров. Главное отличие, «оторое получается при вычисление результаитов элемента с использованием симплекс-элементов н элемен- тс» высокого порядка, иллюсгрируетск на фиг.
15.4, где показано изменение величины т.„вдоль оси л. Прн ншюльзоваиии симплексэлемеитсв вапряк ение получастсн пшэоянным в казкдом элементе, что шответствуст ступенчатому иэыеиеиню напряжении при переходе от одного элемента к друпшу. В случае применения теории согласованных результлитов распределение тм получается ве- Фхь !6.4. Гмшзеззлш!м зо асн л з э! «Я т,„чзслеззих твена рзтлзчзыих иьтслзик. юь га прерывным, но оно отнлонистся от истинных значений в центре н на границе области. Значения, гюлученные с помощью моделя нз четырех кубичных треугольников, тоже непрерывки, яо овн равны нулю в центре квадрата и правильно отражают распределение ивпрнжсиий вблизи границы области.
Значение в точке х 0,25 см получено усреднением по трем значениям т . Примеиыше элемент!а высокого порядка умсныиаст нс только ксличсспю требуемых данных, но и размер результиругощей систш!ы уравнений. десять уравнений били решены в случае одноэлыгснткой ыоделв, для чстырехэлемеитной мода!к рсшаласьсистема нз 28 уравнений.
В обоих случаях число уравнений меньше 45, т. е. мшгьше числа уравншагй, полученных при использовании симплекс-элементов. Кроме того, при использовании элпзеито« высокого порядка отпадает необхопимость в применении теории сошмсоианных рс!ультантсв элемента. Таким образом, искгиочастск из рассмотрения еще одна система из 45 уравнений. В рсз!льтатс сокращения числа уравишгий уменьшаются время решении кх на ЗВ54 н объем требуемой машинной памяти. уас !6.2.2 Распредняэиие темпврвтурьс вбпипи кабеля Задача, в коюрой рвссматривалсн кабель, помещенный в тсп.лопроводящую среду, была решена в гл.
8 (фиг. 8.8), причем ясхадивя область разбивалась иа 96 элсмеиюа с 65 узлами. Зта .область была рвссмотрсиа с применением разбиения иа четыре З.мнепгн киселеве передка ЛЫ влекл (15'С), что затрудняет моделирапаиис изменсиия температуры вдаль линии, проходнщей через точиу рзсполотнекия кабеля. В случае четырехэлемснтвай модели ксив постояииой температуры отделеэа от кабеля. В реэулщате использования элементов высокого парадна опять цаблюдаетсн звачительяае сокращеипе числа уравнений. Так, пля амс 1бб. четмрессусакькне эымннн, виюльвгекне прн «сслевнккэвп перевесе текле васюк' ккселп. квадратичиых четырскугольиых элемента, а также разбкеяия иа двп кубвчиых четырехугольных элемеятз. Этк элементы были расположены (фиг. !65) так, чтобы кабель ипходилса в уэлс.
Сравнение результатан, получсииых для трех различных моделей, пропедеиа иа фиг. 16.6, где показана распределеиие темпера. туры вдоль ликии у 4 см. А!Сделв„испольююп!ая симплекс-элементы, и модель из четырех чюырехугольиых элементов дают по сущесоку совпадающие результаты, тогда ьак двухзлсмевтиой модели соответствуют мепылие значения темскратуры в точке расположения «абеля и иа осп симмссрип (правая гращща области) я боаыпие значения температуры иа отрезке от 0,25 до 1,5 см.
Температура кабеля раева 21,8, 21,1 и 20,4 С соответственно длп модюси, использующей скгьпслехс элсмскты, чсгырсхэлемсиъиой л .двухэлсмситвой моделей. Как видна, различие в привсдсипыл зиачеэиях температуры кабеля иесуществеиио, а эиачения темпсйатуры а точках верхней граиицы области, вйчвсланные па трем моделям, атличаютса пе более чем иа 0,5'С. Модель пз четырех четырсхугальвых элемеитов, видимо. точнее двухэлемептиой, так квк иа большой свети первого злемеита в двухэлементиой моделя температура пал)чается наставиной 0 1 2 .х сч 4'к».
16.6. Рвсерелвленпе темпера гр» в герюав нинка пнюкнтв, селерскемеэ е Ю ресвслмкиесн кес вк — '' к к- — е к к е .ч — ° — вв, р т вш» четырехэлемеитной модели исобтюдимо решить систему ив 23 урввиенвй, для двухэлементной модели зта число равно 19 вместо 65 уравиеппй для модели, сковсгруираааиаой с использаваямем симплекс-элементов. 16.2.3.
Концентрация напрмнекий в зоне выточки Анализ коицсспрации папрюкевий в нэпе папочка при растяжении детали юяструкцип (фиг. 12.4) был проведен с помадсью четьб!Схугсльиых квадратичных элементов. !!ричем бмли взяты ! те жс влемеяты, жпорыс исполыоязлись для прсдварителыюго разбиения области при генерирования исходных даяиых элсмеитн Лля симгсксекеиой модели (фиг.!25). Зпачеиия главного папряжсияя ак иа паяцах области и в зоне выточки, ссоюетсгвующие четырсхзлсмеитпой модели, показаиы иа фиг. 16.7. Средние по узлам запчеяия а иа правом я левом цах детали составляют 21918 и 43952 Н(смк ссответствеюац близко к кстпяиым зиачысиялс 2!090 и 44000 Н(смт.
Однзю зоне выточки получаются сомиительиыс значении а. Во-первых. Ллем ж м внмнл «а знвчсеия а н а„„в вершине нря аго угла ие рз 1 ю, к эта должна быть ва самом дслс. а отставляют величины порядка ЗЮО Н/смп. Узлоьюму значению верхнего нз узлов, обшил лля третьего и четвертого элементов, саотвсктауют два числа.
отлнчаюшлхся между собой примерно аа 1бООО Н/сььь. Все это пока- та( 1 ага епг. 1в.7. Ньхсгьэме ьвзчьвв о, пэп ьпвелп ю чеп эьх эь в топ э пиль З тел вкэ. зыааст, что данное разбиенке области на элементы сшс ис достаточно малюю. Величины напряжений вдоль криволинейной граипцы вытачюь очень снльно иамсняются, и для моделирования этих значений двух уравнений явно недостаточно. Наибольшее значение аь получается порядка 67ООО Н/смй Это соответствует коэф. фпциенту конпеитрацин напряжений 1,62, по отличвекя от принятого значенн» 1,42 иа 724.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
