Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 36
Текст из файла (страница 36)
даумернык треугольных элементов и трехмерного тстраэдра. Теперь рассмотрим нов!ш группу злементовг двумерный четырехугольник н трехмерную призму. Четырехугольный злемент представляет собой мультнплеисэлемент. Границы такою элемента должны быль параллельны коордииатвмм линиям для сохрзнеаия непрерывности ври переюде аг одного элемента к другому. Пряиоугольнып злемент является спелиальиым случаем четырех!Толы~ива. Свойства прямоуголыюго элемента служат основой для применения криволинейной системы коорлннат, необходимой нри использовании четырехугольного элемента.
Прнмоуюльный элемент рассматривается в перюм разделе, а затем полученные результаты обобщакпс» аа слуяай линейньш квадратичных и кубнчпыг чсгырехуюльных элементов. р,» гз а» н . Шл пзы»в дьыш ээн Пйй) (15.4) подстановка этих выраженвй а формулу (!5л) привонит к системе четырех уравнений.
которые могут быть решены относительно ог Ф»+Ф +Ф +Ф 4 Если положить Ф~=Ф»=Ф» Ф С, та а»=С и ю=»н=о»=4! Таюм образом, критерий сходимастн аыполияешв. Подставки чы в исходное ссстпошенпе и преобразуем ьта к виду Ч )У»Ф +)Уэй! +)У»Фэ+)У»Ф» (б(! ((Р) (15,2) )Уэ = (б — к) (а — у), й(э (Ь-1-х) (а у), ! ! вр 4»ь й', ~ бб+ )(о+У), йг»= ~ (Ь вЂ” )(а+У)ь Одно ю юазньи различий между вгик аяементом и синллексвлементанн состои в юм, чго еродиенты теперь не лосюянны.
а меняшгся линейно вдоль одяосо ю «оординотных налрЮяенай. Например, Трздпент в направлении осв х постоянен вдоль оси х, во меняется люейно по у. п, наоборот. дй(ду постоянна по у, ио линейно ю. меняется вдоль аси х, Полученные Результаты для прямоугольного влемешн зинуг быть эааисаны в безразмерной форме с аомопгьш отнашенвй «гб и у(Ь. Начнем с )Уа Еевич)боэначить этн отношения как й= — и »!= —, в ь то функции формы в алина!ненни (!5.2) мшуг быть прсдстввле. ны в виде проюведенпй безразмерных координат Ф=Л/ Фэ-Р)У»Ф»-~-й!,Фэ+)У Ф, где Л'*=+(! — ЕП вЂ” 5. )У = —,(1+й)(1 — т!) )Уэ — (!+(5 (1+»)1 )У» — (1 — й) (1 +»)). Слематичесни этот юемент показан иа фиг.
15.2. Вюдениая толы ко что систена координат нзэмэается естественюй системой коор- Лиют, потому что координаты прн этом изменяются в диапазо- не ч«1 Г за йг[и — 1 [14 йзг), 3 й[рг=щ -О (15.6) зля первого элемента и (16.7) (1 6.6) (15.6) (15.5) Совсем не обязательно требовать, чтобы естественная -система коорданат быва прямаугтшьиой, ова может быть а криволинейяой. Использование криволинейной системы ююрдипат пазвшщст наменять ориентацию сторон четырехугольнпта относительно сн- 4-$ й.а Оег. Юд Че Згзтпвм З ззпввт овмегз ммэ. стемы координат лр, прв этом требование непрерывности будет удовлетворяться.
Пример четырехугольного элемента общыо вгща показан на фиг. 15.3. Началу координат соответствует точка пересе гения Лвук линий, делящих пополам противоположные стороны эаемшпа (штриховые линии на фвг. 15.3). Ливня, соответствующая $=%, также поиазана на фнг. 153. Эта линия не параллельна оси гг, она проходит крез средние точки с и б отрезков верхней и нижней сторон четырехугольника, ограниченных линиями 5=0 н 6=1. Функции формы лля элемента, показанного на фвг. 15.3; цхентнчны функциям формы; предстанлеэпым формуламн (15.4), Замесим, однако, что теперь нельзя получить частные проюволоые 31Уз[дх и ддгз/др непосредственно.
Ногбходнмы еще формулы преобразования коорлинат, чтобы связать. систему йц с системой лр. Сохранение непрерывности вдоль границ между элементами— главное преимущество системы БФ Стороны четырекугольников при этом не должны оставатьси параллельными ююрдинатиым линиям свстемы кр. Непрерыююсть вдоль гравии между элементами может быть доказана рассмотрением двух смсжньм элементов (фиг. 15.4). Запишем интерповяцпонные полииомы длн каждого элемента: Яв=!![М[4+5[ырэ+ БЧПФз+й;пф йю й[вФ +йГ[вФ +)У[аФз+Щ~Фо где 1У)ч определена в (15.4).
Так как мы интересуемся тем, что провсходит иа границе Между двумя элементами, молпю положить йгп — 1 н т[гтг-1 в выражениях для соотвсгсгвукпцих функций формы. Прв жом получаюття слевузвцие вмрвжснииг Щг [1-6ч). овг.!з4. чеюзюттозывм югзмпи с ммиз гммвюв Л'[п= 0 =йг[~, йг(з= — [1+ йпг[. йдггг 11 йгв] 3 длв второго элемента, Формулы для рнг и вгм упрощаимсяг вог=л[жй,+ йг[аФ„ Рщ= Ю[вфз+ дг[чбгг. С Учетом выражений длн функций формы пслу шем рго ' [[1 йг»[Ф,4[1 4Фв)Ф,,[, % =Ь [1+Ри)Е.+[1 — Рв)ФФ Г !б Гн"!г 4 Р-б) Замечая, что в каждой точке границы выаалняется очевидное раненстно Бгтг=йтп, можно вереписать формулу для еш в виде бтл=-,'-(11+ба!)Фн+(1 — Ь !)Ф,)=рак. (!БАБ) Таким образом, скалярные величины непрерьпшы вдоль границы двух смежных элементов. Неирерыенссть векторных величин тоже может быть доказана, хотя это показательство несколько сложите.
Итак, была введена криволинейная система шюрдинат Ь! и доказана непрерывность величин вдоль границы смежных анементов. Теперь можно рассмотреп четырехугольные элементы с более чем четырьмя узлами. 15.2. Кипбйоэтмчные и кубмчмые четырехугальмые элеыемты Четырехуганьные элементы, обсулшавшнеся в предыдущем рзздюе, называготся лниейпымн, потому что нм ссютаетствука ннтерноляцнониые полияомы, линенные по Б вдоль линий тг=сопн1 и по т! вдоль линий Б=сопз$.
В этом рааделе рассматривакпся четырехугольные элементы, содержащие 8 в !2 узлов. Такие элементы назынаются соответственно квадратичными я кубачнымн элементами, так как их интерноляциониые полиномы являются ннадратичными или кубнчными функцизни вдаль линий Б=сспз! и т! сопн1. Сущгстзуют элементы, стшержшцве Гюлее 12 узлов, или элыненты с эконом узлов ст 8 до 12, во ов» «е обсуждатопя эдшь. Элементов трех типов, которые мы рассматриваем, вполне достаточно как для иллюстрации оснтеных пошгшй. так и для большинстна расчетов. Интерпсляцнониые полнноыы саогветсшенпо дзя квадратичного и кубнчного элементов (фиг.
!5.5) записываются и виде й=аз+азб+ай!+анЬ)+аэбк+анйн+а,бтй+а Ь)* (15.11) Фвг. гбХ. Кээлренмэмэ а нубнчнва ютарэкртенннья ппмв м. й — *+ 4+ анц+анЬ!+ Р+ ц'+ )тб+анЬ)н+ + атй + азнцн+ амйтц+ амбцт. (15.12) функции формы для этих элементов представлюот собой волинамы, идентичные по форме (15.11) н (15Л2). Функции формы для двумерных элементов равны нулю во всех уэлаг„за исключением уэзш, номер которого совпадает с номером соотзпшшугощей функции формы; кроме тога онн принимают пулевые значения вдоль всех гранвц анемента, которые не содержат указанного узла. Например, фуикцян формы )ут Лля квадратичного элемента (фиг.
!5.5) обращается в нуль но всех узлах, за исключением первого узла. Кроме того, Б', принимает нулевые значения вдоль сто- Фы. гбХ Грэннчнне фтнкнтн етнректпнчмне элемента. )юн четырехупшьника Б 1 н э!=1. Функция феоны для второго узла обращается в нуль влоль сторон $1, ц= — 1 и т1=!.
Фуякцни формы могут быть получелы лшю путем решения сн. стемы уравнений (гл. 3), либо непосредственно комбинированием функций, которые сбрашдютс» в нуль яа границах злеыента. Множество функций, равных нулю вдоль одной из егорин злемента, легкоополучить из функций формы для линейного четырехугольника. Эгя функдии показаны на фяг.
15.5. Произведение любых двух танин функццй соответствует первым четырем членам в формулах (1БЛ!) и (1512). Поэтому удобно записать фупнции формы н виде произведения двух полиномовг для квадратичного элемента БГР =(от+ атб+ азц+ анЬБ (як+ птб+а Ц). ()БЛБ) для кубнчнопт элемента Г Ш Остановимся теперь на определенен постоянных, вхолящвх. в носледнне соотношении. В ка*мсгее базнсиьш Функций пыберем следуэ»»цне» 1» =(1 + ч).. 1э (! — Ч. (16.16) (э=(! — ч) 1э (1+5) Ка»клав нз нпх обращается в нуль на одной иэ границ элемента. Введем еще множество функций Гь 1 1.
2 3, 4» » 1э, если эзел 6 ве принадлежит стороне А 4=1. 2. 3. 4, (16. 16) 1, есле узел (1 прннахлежит с»оране й. Функция Формы длн кзадрпшчвоп» и кубичнага влементов дается формулой ' (16.17) 3(э=(П Р»1(а»+аэ!+а*я+»ц +ар') г=» Степень ыногочлене в (!Ы7) определяется числом имеющихся узлавьш условий. Его коэффициенты определяются приравииванием 5» единице в узле 6 и нулю во всех других узловых точнах, з » которые не входят в произведение ПГ- Коэффициенты а» и а» вс гда равны нулю в случае звадратнчного элемента. Применение формулы (15.17) будет проиллюстрировано на двух следующн е нх частных примерах.
! Пример 157. '!'рп5уется определить Ж» и й(э д»щ квадратичного злемен. та, показанного иа фиг. 15.5. Решенае начнат с определенна Функций Рь Рг, Рэ и Р» и (15.16). Так как первый узел угловой и принадлежит одновременно первой н четве!пой сторонам, то Р»=! и Р»=!. Йрутие дее фУнкции следУющве: Р»=1» (1 — 5) и Рэ=(з= (! — »1) (ФсРыУлы (1525)]1 Правзведеине е (15.!7) равно П Р =!(1 — 5Н! — ч). ! =41 — 1Н1 — ч).
г» Общее выражение для й»» имеет шщ )У»=(! — Ю(! — ЧНа.+ 66+ Рб. Произведение (! — 6) (1 — »1) обращает н нуль Й» в уэлак 3, 4, 6, б н 7. Консщнты аь а, и а» должны бы»ь выбраны так, чтобы й»» была равна единице и первом узле и кулю и узлах 2 и 3. Подстановка зчих трех узловых условий »Ч,=1, ш»ш 1= — !. Ч= — 1, Ю» О. есле 1=0, Ч вЂ” !г Л»»=О. если ! — 1. »1=0, в формулу для 5»» дает три уравнени»Ь которые ыагут быть ре- шены относительно не»юпестных констант. В результате имеем 1 а»=аз=аз 4 Такам образом, фуишшя формы 5»» имеет вид й'»= — 4 0 — !) (! — 3) (1+5+6).
1 Функция Формы й»з соатветс»вует средней точке.парной стороны, поэтому Р»=1. Р»=1» (1 — 45 Р 1»»-(! — 0 Р =Й=(1+!). Пссэе вычпсленив произведения е формуле (!6„17) получаем 3».-(1 — Ч 0-чН1+ !На.+ ч)+,ч). Остаегся удовлетворить только одному узловому условию 17»=! прп 6=0 н»1=- -1, поэтому в мпогочлене (а»+а»6+л»Ч) слелует сохранить только один член с произвольной константой.
Таким образом, для 7(э получаем выражение )У -(1-!Н! —.Ф(!+3)',. П осле подстанавхн этога ныраження в узловое условие имеем 1 а= 5(з = 2-'(!--6)) (1'— «Э. » '. с чь" -. ° э- Гыаз и Грмьза)» 1йй. Требуетсп определять функцию формы дзз для кубичнога че!ырехугольного зхемеита, показанного на фиг. !522 Узел 2 принадлежит первой старане элемента, поэтому нз приведенного выше примера можно заключать, что Лз,=(1 -Р) (1 — 11) (а, +аз)+ а,з»+ а,)!+ а,вз).
Псланом, содержаший произвольные константы, должен бьаь усе. чен, так кэк не выполаены всего два узловых условия 1 77,=1 прн! 1= —, ц= з' йз=о пр 1= —. Ч- — ' 1 з— — э' ффя капы а ц а должны быть вычеРкнУты, поскалю!У ч!ю иы ьз или (зцз не входят в формулу О5.12).
Сохранение члена аег прнводнт к системе уравнений с нулевым определителем, повтому этот член тоже должен быть зачеркнут. Таким образом. для йзз имеем йг =(1 — уз) (1 — Ч) (аз+ азз!. Испол»лук условия в узлах, получаем систему ( — ') 1 — ) 2 (а — а„!3) = 1, 9) ( 1 — ) 2 (аз+аз)3) =б, откуда'находим аз=9)32 и аз= — з!)32. Окончателыюе выражение для функции формы вмеет вид ш-(1 — 1') (1 — Ч) (1 — Зй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
