Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тат факс, что функция, описывающая преабрхчаеаане исюрдииат, нс должна сОвпадать па порядлу с иитгрполиционной фунК- цией. открывает новые чрезвычайно благоприятные перспективы. Можно описывать геометрию элемента иеаавнсимо ат аппроксимация иензессоиой величины. Это позволяет сочетать как интерполяпнопные полнвамы высокого паридка с элемептамн врастай геометрии, таь и элеменпс сложной формы с щюстыми иятерполнционными поли«юмамн. В следу«ощих двух главах будет рассмотрено применение элементов такога типа. Два ншависямь«к множества уэлсе теперь могут быть заданы в нежпорай области. Одна миожеспю узлов определяет преабразаианне ксюрдииат [форму элемента), а вторОе — иитерпаляционный поливом, «!та касаешя соаснопюния между числами узлов в этих двух множествах, то тут имеются три следующик варианта« 1. Число узлов, используемых длн определения формы злеьсеята, мсньшг числа узлов, нспользуемык при определении ивтерпаляционной функции теыпературы, и т.
д. 2. Числа узлов, ш«ределяющих форму элемента, равно числу узлов, определнющик ннтерполицианную функцию. 3 Число узлов, яспользуемых для задаии» формы элемента, рар больше числа узлов, используемых для определенна интерполяцданнай функции. В соответствии с эшми тремя варна«паин элементы называют субпараметрнческими, изопарамегрнчсскями н суперпараметричеш«ими. Субпараиетрические элементы преобладают там, где испштшу«ется комплекс-элементы, потому па анн прнменнются, когда нет неабходныастн в искажении формы элемента.
Примеры субпараметрн мских н суперпараме«ричееких элементов вакэааны на фиг. 13.8 примеивтельна к зниаче о стерж- эшиэев не из вп«рога раздела эшй главы. Суперпараметряческнй элемент на фиг. 13.8 приведен ос й только для иллюстрации, а не в связи с решением задачи. а Судерпараметрический элемент, однако, црименытсэ в двумерньш и трехмерных задачах. б Достигаемое за счет непал«лазания естественной системы координат увеличение гибкости элемента не лишено нелосппков. Матрицы элемеи- У пш должны теперь определитьсн с попал«ью численных методов нятегрирсвання. Еще один педсаппок связан с абаз««ачш нинин.
и ега вада устраи«ггь ч[ оа прежде всего. Дела в там, что далее станаэят«я неудобным б иоо«шьэовать дли обозначений юэг. шц азснзээиюувчоотзе в огонь узлов элемента индексы ь 1, й, иазэнотрзчооэзе одно ор«ше мооыои. 1. В самом деле, некоторые с~ о *г: — «ш в злюювты ма«'ут иметь В сб«пей г о — з о ш « сложности до 30 узлов. К таму, Э'о", з нельзя отан ппь увлы, которые ~~ ю ач накальэуюгся дли определения ФОРмы элемента, ат узлов, поторые опрелелякп иитерполяянонный аалзпом.
Таким образом, приходится а«казаться от обозначения узлов элемента буквенными индексами 1, 1, й, С ..., г; далее для щой цели булут использоаатьсн числовые значения. И«перполяпиониая функ-. па э ция элемента Лля екал й тмтарь ювелуыщнм обре . яы в ему жые аащссыв Р=АФл+ТУ,Ф,+. 1 1ТФ ~, (! Номера лювательно от левого „- элемента распю а нык элементов , ца элемента к правому. й к'жу элемент~ а нюй точке и совой стрелим а направления против „ „ уйлалоао щ,„ ~Й э о Ыт ат э нв. ааэ„н ыамэ" ' попал ив' ыцчнан Л"" «атж ола.
"амаро Злл о. оооо Ттаьтпженне элемента высокото саранка в область иллвхтрнруется нв фнт. 1ЗЗ. ПРнведениаи таблица Устанавливает соетветствие ~тепеней свободы элемента в лональнпй системе координат с тлюбвльнымн степеияни свободы. Слкыветственно меняется н нижний яцэекс иеличи». Иптерпюляциониые функции для аидачи о стержве„воображенном иа фиг. 13.9, эапнтпутся теперь в виде бто=УУ~пФ +ЩЮ,+беар,+ КД>Фо Й афл+йРФа+1ЧРФа+йрфг Ой.М % =Ж ~7+1Уь Фэ+1ркцйа+Жцфм Нытике индексы функций формы ие тнменяытся потоыу, чпэ онн яе содержат никакик величии, свяэвииыя с глобальной системой ясюрдннат. К Сат Е::Э +. т йу э Евг.
13.Ы'. Лакэлавме и жсбвлмоы ыа ара уалав, исюл этемиа в соотмяаеямн южыэномман вооуыиаа. Общее соотношение дла атделыюга элемента, определнюагее преобразование координат, имеет внд х=ЯХс+Р Х,+...+ЙХ„ где (?з — выбранные функции формы. Символ Р будет испальзаватьси для обозначения функций формы в соотношениях преобразаеааии координат с тем, чтобы взбежать путаницы с функцнямн формы, которые приисняются в иатерполяциоаиык уравнениях. Система >равнений, аиалогичнан [1ЗА4), может быть записана и лли преобразований коардииат.
если только определены глабальиыс координаты узлов элементов. Координаты узлов для стержвя, изображенного на фиг. 13.9, приведены иа фиг. 13.10 вместе с соотношениями вилточеннн элементов. Окончательные формулы преобразованнб жюрдиизт имеют вид ага=[[(пхт Р[[угХ ,е=[[(ах,+(7)згх„ (13.452 а!=[((лхэ РЦ Хо Обсуждаемые в этом разделе положения являются исходиычи для понимания комплекс-элементов, рассматриваемых в следу!ашик двух главах Рлаллщ* лоллигь, чга всегда срщесгвуют даа зиюыесгаа глобальных рэлан Одно определяет злабальныг степени ыюбсды, сшшаиные с гиигрлоллцооииай фрнкцгкт>, а друеае— форин элементов.
Только в случае изапараметрического элемента оба эти мпажвства совпадатот. Звдвчм 129. Получите выражение длн 'функции формы кубнчиаго элемента и проверьте соотношение для Ль данное иа фиг. 13.3. 130. Определите ф>пкпн» формы для квадратичного элемента, когда узел 1 распаложеа ат узла ! иа расстаянгщ равном 5[3. ЗГдовлетворяют лн эти функция формы кратер!!ям скодимости? 131.
Решите задачу о переносе тепла в стержне [пример 127), испальэук один кубичныб элемент. Сравните найденные значении температуры с аналитическим решением (привепенным в примере !27) н оцепите шчнасть такий одиоэлемевткай модели. !32. Праеерыш функции формы квадратичного элемента, данные иа фиг. 13.5. 133. Вычислите дЛГ,гдх при л=ЗО см длн квадратичногп элемента, который имеет узловые коордиааты Х;=-0.25 сьь Х>=0.75 см и Ха=1,25 см. Вычислите дЛг/дх с помощью естественной свстемы координат н сравните результат са значением, оолучеиныьг с помон>ью функции формы, данной на фнг. 13.3.
134„Вычислите д?(ггдх в точке х-0,3 см дли югадрвтичного ементэ с узловыми каардниатаыи Хг=О см. Х>=ОЖ см и Х„О,З см с помощью естестееигюя системы координат и сравните ~езультвт со значением, которое получается при использовании фуатщий формы, дапаых еа фиг. 13.3. 135. Вычислите поверхностный интеграл ) [Л[)гд5 для кубичнага ыгемевта. 130.
Вычислите поверхностный интеграл ~ЛТ [Л()гд5 для ° д. ! номерного элемшыа, учитывая лиаейвае изменение коэффициента теплосбмена А от нули в узле ь до Ле в узле А. Периметр Р считать постоянным по длине 132. Вычислите [Ам>) а случае, когда для определения теыпературы используется линейный интерпаляциаииый тюлином, а для задания площади папе(минога сечения применяетсн квадратичная интерполяция. !33. праинтегрируйте численно фуикцюа 1(5) 1+25 +5з иа отрезке от — 1 до 1.
Сравните результат со значением. получен.* аыы аналитически. 139. Праиитегрируйте численно функцию щ) 25т+Зч иа отрезке от — 1 да 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически. !40. Измените программу ТОНВАТ так, чтобы оиа испольэовала квадратичный элемент для решения одномерных эалач о стержне. 141. Напишите подпрограмму.
наторан вычисляет др(зуди в заданной точке (Координата точки вводктса) для аинейнаго. квадратичного изн «убнчнога элементпв. Функции формы должны быть выражены в естествеинаА системе координат. литеРАтуРА 1. Еопм 3. О„шепип>эгт Мыввчсэ! Апз!Узи, Л>спчаи-Н19, й. 2„1345 Э. Кы 13 Е„Аатзпсе( Епмщег1пя ММЬетаИсь Э-га ез 771жу М. Ъ' Ю73 А мйьпй Р."м. Вшаегвя> союза!дню, ьнюп, и о мяА сзк, шгг. зт! 1 а Глава 14 тРЕУгольнЫй и тегрдздРДГЪНЫй эуымиды ЕЫООЦОГО ПОРйлцд Треугольные и теграэдральныс элементы нам уже знакомы. Простейшие из этих элементов широко попользовалась в первой половине «инги.
Теперь снять рассмотрим эти элементы в сеете той информации, катарин дава в гл. 13, и особое внимание уделим квадратичным и кубнчаын интерноляциоиным полиномам. Естественные системы ксюрдинат для треугольнсна и тс»рнэдрального элементов определены в гл. 3 н нспоаьзавались в главах прнкладеого характера. Каждая координатная компоненте дли треугачьиаго элемента предо»виляет собой отношение расстояния от выбранной пнкн до одной из сторон треуголыщка к высоте, опущенной иа ту же сторону. Кгюрдинаты треугольника обозначались через Аг, Е, и ьь Эти три величины не являются независимыми.
онн связаны между собой соотношением ь»+Г +Е 1. (14 1) Интегральные г)ориулы, использующие этн коардинатьь были введены в гл. 3 н нашли широкое пряменчние е главах прикладного характера. Каждому типу треугольных элементов соатаетствует иитерполяцнаниый полина»» опредезениаго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
