Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Квадратичный треу»олькый злеыент, например, содержит шесть уалав (фнг. 14.1, б) ," ннтерпаляцканный панином для ныа имеет внд 2 ст»+ггтх+«аУ+ЩР'+пчху+пчу*. (14.2) Интерпаляциоиный полинам для кубнчиого элемента представляется суммой членов, сод»ржащнзся в формуле (14.2), в всех кубичных членов: Е с г+атт+нзр+пч»э+из»3+пар +печа+ +пч»У+пату +ныт. (14.3) Кубичные треугольники (фиг. 14.1.в) атличавжся от всех ранее рассмотраиных элементов тем, что ииыот вкутреннмй узел.
Все элементы более высокого парадна, чем кввдранщные, имеют виугуениие унпщ т. е. узлн, расгюлщкевные внутри элемента. Величины аг в формулах (14.2) и (14.3) могут быть определены методами, изложенными е ок 3. Алгебраические операции при . о ако, становяжя лес бале слажныын, тах «ак число узлов . Вал рез тельныи оказывается яегюсрелсгв еи- «й мы. Испольааавине естественной си»те- ст.
Велес п. почти ног получщщ фуишщй формы. алы ны «оордннат аначительно уцрпцает эту операц б э иыв (З) щбвчзыа (э) цхттел»з»н ыигиюн угольюго элемента. Иы начнем обсуждаине треугольных элементов высокого порядка с рассмотрения непасриасг венного получения функций формы. 14Л.
Фуниции «рормы для элементов выссного порядка Определеаие функций формы для треугольных элементов аысоорядк юрощвезся тгм, чю имеется возьюжнасть провалить е аен ик ля ные ь-координатам, кахщая нз которых пе- .2' Э особенность сохранив»си иаресекает рнд узлов (фнг. 14 Г.
та зависимо от числа узлов, которые содержит треугольник. Общая формула для вычисления функиии формы имеет внд ь (14.4) ь г Ры» сьг где и †порнд треугольника, а Рч †функц о ь — н ии от Аь Ег и Ез. ПоР ьивка л одределяется как величина, на еднннау ядок треугал ьнвкв.. ад атичный меньш я псла узлов нэ стороне треутальнвкв..
р а ч о являегсн элетр~угольник имеет три узле на сщроне и поэтому ментои второго порндхв. гл вы К зйдййй 343 ГЧ-зйвсз-йз Э,-ы,с» й 3 Л - — сяйц-111йц — з1 'ГЗ- — Сзййпс - О. 9 з Эй — сзсй3ый — П, й З'й — Гйнт -113М вЂ” й1. ! з нз — с,г Лг — зэ 3 3 з СЬ вЂ” сйьннй -зк з ЕЮ~ я 3 3. 3 .3 Нй- — «йсзигй-и. й з «й — ьп ВГ -ЗЬ в з Ны-мйзсзз,. 1 Лй 3.1. Ц Е= з " Фунхпди )й оп ходят чсрез все ы, аэ искл й определяютея вэ ура!ыеиэй л линий, которые ючением уэлв, дзя которого опреде- пролнетсн уикции формы. Есйи рвссматрнвйется урввнеиие прямой 142 П сзыэээхулйвйнй 34 завез, ынтвэщ эрою. зэт '3.'Вйз ыв уйлв, Е, с.
то )йй Ег-с. Знвменвтель (14.4) есть значение Г . . с йзв). в „(узла. в коюром аычнсзяет1 В ейг. 142. Фзнывв ровни лэй ййввмйле Ы Лй Гзис — П. и* йсз 1 з'а з оз»- Н. з' мэйл Зймыаы Ювнчйй ЭЮййэо йв Мйииййс В Р 233 Функции формы для линейного, кввдрвтичного н гаубичного еуголзыых элеыентов приведены нэ фиг.
14.3. Определение нпог икцю3 иллюстрируется нв сгы3Отоюдх примерил имер 142. туебретсн опРедеюпь фУвкцюо фоРзпй 33з длЯ крбиюииа реугольного элементе. й реугольцый элемент имы'г четий Следовательно, впз элемент третьего порядке. л 4 — 1=3.
3(ужио ивйтя три линии, которые прохоыы через все узлы. эв исключением первого узла. Это сдеэвж очень легко, н необходимые дина показаны иа фигуре. Уравнения этих линий: Ез-б, Ей=Он н Е =З(ь Функции Д нмаот вид Рз=Е,— О=Е„ 2 =Е,— '==' ° 1 Эьз — 1 й к з Вычислим значения функций )йй в первом узле (Ез 1. Ей=Ее=й): )йз1з, й, й=1. Э1-1 Я 3з3з.й.й= а я йГз,=32(ч(еГ [4 — 1).
(И.б) Поэтому К зювие 143. (14.7) (14.3) !3 Подставляя найдсинме величины в формулу (14.4), цолучаеи вли Н, — (3С вЂ” 1) (3(ч —.а. Гт Пример Ий. ТРебуется определить фуинцню формы ж, ддя треугольного элемента Четвертого порядка. Так как аорядок элемента равен четырем, нужно найти четыре линия, которые проходят через асс узлм, за нсключюнвсм узла 16. Три ив иих соответствуют сторонам треуголымка Ез=й! Ее=О н У.,=О. Четвертая линия проходит через узлы 12, 13. И н б.
Уравнение втой линии Ет=фм функции Р» имеют вид рз=~ . г =1 Р 41з — 1 рь 4 После подстановки ьтях вмрвжеинй в формулу (14,4) н учета ииордиявт 1бто узла (з)ь. 'й. г)з) писем )ум=й РЬ Ез Гз 1 4ьз 1 ь ~ Рыоьмьоз ()Ееа) (1П4У (1(з) ьт(1(4) ' . ЦЫЧМСПЮННВ ИрсмааОДНЫХ ФУНИГ(мй ЧзОРЫЫ л» вычисления чэстиах произаодимх Жэгбх и бдюгбр можюспользоваться процедурой, списавиой в гл.
13. Некоторые енеиия есе же необходимо внести, .поскольку мм теперь имеем с дюумсрцой задачей и пользуемсю координатами, «оторме ие ются незввисиммин. качестве независимых мюрдинвт вмбереи кооРдннатм Ел н Дифференцируя соотношение (13.32), получаем ал' ая ' ат ан оз 'й е'- 1 6 м. ют аь ат жз ал'з аяз аю ь асз аз дг, От з' ' = — — + — -и —..
Л)втрнпа Якоби имеет вид "-Ф=:1 Таким образом, для произюоднмк получаем Ф--Й Чтобм учесть зависимую «оординату Ем можно поступить джжкж либо переписать все функции формы, вырвана нх через Е, и Е» либо заметить, что йд--~~ —,+-а!-Ч.--+ ж ~- ая ая атч де асз беа аь Г свэ гэ — ~ — -й(;= — "- он дн ад» ш днэ ддэ дм — э- =-д, э- — — '=4Š— 4Ее дс д л ээь нши, лэ» азтеэээшаэ иаиэсэииш. ииа ааэнэоиь д эвлэче Иэ.
Нээи сэаэввтеиае Эээ ээдвэиэ фсзии эээиеэтэ. ПРонэиодиан дйг/дЕ раиса едшш е а д/ /б/ как Е~ и /., независимые, Третье слагаемое можне быть вычислено с помощью соотношения Е =1 — Ет — /. (14.(й) Дифференцируя его, ямеем и, = — 1- Теперь формула (14.9) преобразуется к аиду дьг дт., ~Х„ ((*1!а> Аналагичнгю выражение получаем для дЛГэ)ЭЕэг (14. 116) .дт.
а д Принятые а формулах (14.11э) и [14.11б) абгиначеиин могут сначала вызнать иелаумеяие, потому чта члены д/Уэ/дЕ~ и дЛ'Э/дЕ, находятся е обеих чагтяь раэеиства. Честили щюизаодная отИЭ в левой части равенств вычисляется, когда ЛЭ выражена как 3 ункция независимых координат Е, н Еэ. В праной чиста функция считается выраженной через Еь /а и Ез. Соотношения преабрэзопаннй координат, определяющие форму элемента, обычно записываются с использованием трех каордина с Следовательно, при вычисзеаии матрицы Якоби должны арименятьгя формулы [14.11а) н (14Д!б).
Применение сформулированных выше положений иллюстрнр)ится на слелующем примере. Пример 144. Требуется вычислить дд/,/дх в точке (1. 4) для квадратичного треупшьного злеь1сита, показашюго ниже бю а элемента может быть задана с помощью линейных фу рм дий формы Е . Ел и Еэ и наордннат узловых точен, расположен!пах э эершйнах треугольника. Запшаем формулы преобраэанаияй аоо иат ртж х=Е,А+Е Тэ+ЕФи р=( Ух+ЕэТе+Еэр.
После подсташвкн узловых каордшгат имеем х4 ЗЕ +/ у 2( +б/. Вычислим пропшоюгые, входящие н матрицу Якоби: дэ дэ дэ — — —.. = — 1. дсг дтч гч — '*--= — „'* — мш-=й-)=й. дь,' = дг, дт, дд да дд дг,=ш, дЕ," д"=й — б= — 4. М» Матрица Якоби п обращая к ией матрица шлют энд Функция формы ЛГг есть 4Еэйь Дифференцируя ее по Ег н Еь Получаем Подстановка этик частных произаодных вместе с 1/> ' в формулу (14.6) дает З,мвиаи щвэщю лоиивк вкетагьюс в ег Э ягв — и=О.убу — О,зб Эти двэ саотногпения выпалвяюгся в произвольной точке элемеита.
Наша цель — определить проимюдиые в точке [1, 4). Для достижения этой цели следует определить Е.-координаты данной точки. Нсполюуя преобразования щюрдннат, можно записать !=ОС,+31 +С„ 4=-Ось+2)в+ ВЕи )=С,+С,+С Решением этой системы являкпся числа 1 с Е 1 В' Ев= —.- ь В ' По дсщюкв юзчюю Е» н Е з в йюриулы для проюводць,л щв, чаем , палу- О бсч + 1 Ьс В,Ь + !.Ь.Ь Г в й з ° дя 1 б 14ЭЕ Спстввдеиие матриц элементов Е и а сли интврполяционные соотношення содержат Е-коо дина )р вненнях для элементов появляются интегралы по паощадв р ты, элемента следующего вндаг г г-с, г-) ~[[с„сь Е)[бе!)Е) [бгт и Е)4 !2) е с Эти интегралы должны быть определены чнсленнть поскольку матрица Якоби является фувкцвсй Е-координат н невюможиа палугнть явное выражение для обратной матрицы. Неноторые ннты- разы могли бы быть определены с папашью формул, представленных в третьей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
