Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ф с 1дт. Уэлаэкч зэзчеэк» «3 э эаае заточка к нз.а«ээээ азталк Компоненты напряженна, соответсгвующне решенню задачи, постоянны для кажлого отдельного элемента. Узловые значения этих величав могут быть нолучеаы с помощью тсорнк согласованны» результантсв элемента, рассмотренной в гл. 6. Узловые значения наибольшего главного напряженка в зоне ныточкн представлены на фнг. 32.7. 0)акснмальгюе аначевне пме«г место в 65-м узле и равгю 64576 Н/смз. Кгмффнцнент концентрапан напрнжшшй. определяемый как отношение манснмального напряжения к на- груеке (44000 Нусм»1.
сосгавлнег 1,47, что хорошо согласуетея с аелкчииой 1,42, приведенной в работе [Ц (табл. 13.11. Этот при- мер спать будет расщипрен в гл. 16. Задачи 11О Ниже приведены координаты узлов н узловые перемещения дли некоторых из элсмыпоа, имбражеиных на фиг. 12.6. Определите напри»кевин в элементах, если 6=20-10» Н/юа*, р-о,йуь Координаты и перемещения даны в сантиметрах. Толщина ваементов равна 0,5 см. К ааааче П7. % моите Пв. НБ аычислнте повсряжгстный интеграл ~ [йгуг( ~„ИЗ в слу чае поверхностного натруженна, схематически показанного ниже.
111. Х,=2,4 у =о.а ии;=-0,06272 и„=о,о 112. Х, 3,6 у,=з.о и =0,00358 им= — 0.00109 118. Х,=б,б Уг —— 3.26 и, »-0,00676 им = — 0,00! 32 Н4. Х» —— 9.0 У~ 0,0 им,=0012(5 и„-о.о НБ. Хг=!1,0 У =1,6 и =0,01592 й--о.еяао Х»= 1,2 у =1.а и»=0,00134 им= — О,ОООЗЗ Х =2,4 1;=й,а и 0.00262 йы= — 0„00127 Х» — — 6,87 1' =4,О и о,оабзу им= — 0,00139 Х»=8.53 1» — — 0,95 и,,=о,о111з и„- — 0,00(85 Х =10,0 У =1,875 и,=0,01354 й=-о,аооау Х»= 1,2 у,-о,о иы,=а,аа(ЗБ и„=о,о Х»=2,4 1' =З.О и =0,00251 и = — 0.00099 Х„=б,о 1„=4,О и, » 0,00594 и,» — — — 0,00143 Х» —— 8.0 У» 0.0 и,=о,01044 и =ОО Х„= 10,О У»=1,5 и„„=о,1366 и = — 0,00042.
го ш К юэаоо !ВЭ; !б — тбз К земно 1уд но мчтуовкй поэсста омпвуиоаамты лаоавмо э!о н7сн® а ыивоуаэууе бб с. Рюопе заыоу о плоском аопуомоаоом состоваав Лыоиаока до оою гоюдою ю в У лоо эолуооого эм 117. Вычислите поверхностный юпеграл в ыщаче 116 для случаи нагрузки, показанной на рисунке 118. Составьте матрицу жтснюсти для осесимметричнмо эле. мента. изображенного на рисунке. !!й. Вычислите пиюрхнсстный интеграл в задаче 123 длн переменной поверхностной нагрузки. приложенной тг горижиыальной ионерхяости оеесямыетричного элемента. 120 — 123. Определите распределю|не напряжений в одном из представленных выше тел. Получите исходную ннформаяию об элементах с помсопью программы разбиения с!н!В. 124.
Вычислите узловые значении иомпонеит пепряжений в олной из задач 126 — 123 Напряжения в элеыентах должны быть отпербюрнрованы программой 5ТНН55 с тем. чтобы затем ввести их в программу СОХ5ТН. !26, Измените программу 5ТЙВ55 так, чтобы ее можно было вспользсвать длн решенки осесиммстричесюы втдач. лнтеРАтупй 1. Рм и У. С Рсаодавыв от йо1Ы Моломаэ, Ргмаав-НаО, йо4и сод СЫМ, Н.
1, 1ббэ. 2. Яо~ С Ь„ж бамнави М,У- д Е„Наг!с мый .МТ. !Убе дпюлнигнльнйя лнтирйтурй Сыно Н.Н.. Совкам апа Аууасабооз а! Ниве ямов ! йоа1уиа, Нтну, Н. у. 1Ио. Мм!М Н. С. Сыеу С, Р„!Ып д ам ю Нане Но вп Л он!из. М апю- НН, Н. 1'.' 1ЯЮ. н 'ы'ь.с с.та Рю1мйвмю!ме!ув1мюн ьдлм амсеавуав.ь д . юнтеоыо с и!осу июль аоючо меод за ы оме в тозоиао, озд.эо «ЭЬр, М, !И!А (13.2) Е=Э» Е=Ф» при к О, У. прн к= —. 2 пра х=-1 (13,3) (13.1) с = Тк (Фг — ЕФ»+ Ф )- 2 та Глава 13 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ОДНОМЕРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ В шести предыдуших главах при обсуждение раэлнчньи областей прнмененни метала конечных элеменюв иеаальчовались симелеьс-элементы. Другой подход к прикладным задачаи состоит в применении элементов высокого порядка.
т. е. «амнлекс- нли мультиплекс-элементов. 1-!анемиям. чю число узлов в таких элементах превышает размершкть решаемой зааачн более чем на единицу. Прн таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется мсныпее кы~ячестаа элемекюв. что пршнжкг к сокращению числа перфокарт с исходиыми данными об элементах, а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработке данных„Применение элсмеитов высокого порядка не всегда, однако.
ведет к сокращению полного времени счета нз ЭВМ. для составления матриц элемента необходимо испалыовать методы численного внтырировапия, которые требуют выполнения большого числа арифметических операций и, следовательно, увеличивают полное время счета, затрачиваемое па обработку одного элемента. Однако этн дополнительные затраты машнпааго времеви иомпеисируются. вероятно, экономией времени в процессе обработан исходных данных. В те» приклктлых областях, где грэднеаты исьоиых величин не могут быть надлежащим образом аппроксимирозаны системой кусочпо-настоенных фунюшй, использование элементов высоких порядков позволяет получать более точные результаты, Сокращение времени обработки исходных данных в ыжетанни с болыпей точностью результатов расчета служит дпстаточным осваваиием для изучения жвможнастей применения уиазакных элементов.
В этой главе основное внимание будет сосрепотачепо на обсуждении одномерного элемеята. В первом разделе рассматриваются функции формы, второй раздел иллнктрирует применение иащгратичного элемента. Испслыовааис естественной шгстемы «оординат и моголы численного интегрирования обсуждаютсп в треп ем и четвертом разделах, причем этн вопросы включены в данную главу потому, чта при рассмотрении ощюмерною элемента упрощается нллтастрация их реализации. Действительная аеобходамость и методах числен»юго интегрирования будет поясиена в следующих двух главах„где рассматриваются треугольный и че- тырехугольный элементы. Даинаи глава заканчивается внеденнем з теорию кюпараметрическнх элементов.
13.1. Квадратичные и нубичные элементы Аппрокснмнруютпий полинам в общей форме для одномерного элемента вмеет вид В=а»+а„х+аэ»з+... +а,х», (13Э) где г — шсло узлов элемента. Рассмотрим элемент с тремя узлами, причем один ю ею узлов расположен пгкервдиие мешку край- Фзг гак Одхаитз»нз «эзлээтзтнна элемент. кими тачками (фвг. 13.1). Ему слатветствует иатерполяпиоиный Ф =с»»+п»к+ из»э. где аь а» в аз сшределшотсв нз условий Так же как в гл. 3. эти условия приводят к алгебраической сястеме уравнений, репин которую, находим и =Фь зег — ЗФ» — Фэ ь Г,нма рв Подстэвив выражение (13.4) в (132) н выполяив некоторые п обрзвоввнвя. получим ые ре.
й йгрФр+ Л'рфр+ ЬРдФм (13.ор где й;= (1 и) (1 ), ру дн (1 э) йг,— н(1 '*), Легыо вцзетрь что эти фушпсии,р установленному а гл. 3: (13.6) р Ь„= —— р. 3РУэ=) Р 1 Ай э=р Только что описэнння процедура определения жнффициентов а ствношпся угомрпельной прн большом числе уэлса. Другай способ опвгделення функций формы состоит в нспольэ вайрш фар ( л ) я еще двух дополнительных свойств функции формы:.
1лб я К 1вуыюс ер Р, з О зо всех др)тнх уэлэх. отличных от Р, ПЗ тт руь — + ° + и'+ -. +л.н-.*. (13.В) П эрисе свойство уже обсуждалось в предыдурцнх главах. Второе свойство, хотя н нэ рзссмнтривэлссь раисе, очевидным образом следует нз того фэктэ. рто все пэ в (13.1) могут быть ззпнсаны в виде линейных комбинаций Фз. Например, фгфмулы гг, = и Ф, + орФр+ лдшы о =Ьргйг+ Ь Фр-1- ЬдФ, (13.9) и срФ, -1- срФр+ сдФ„ можно использовать для элемента с грезы узлэмн. Прзвннвэя формулы (139) н (!34). можно заметить, что ар=ад=й, Ь, -~-, Ь вЂ”вЂ” узким образом, если в интерполяпионном полнноме (13.2) заменить и линейными комбинациями узловых значений Фэ, та после пэдликюцей пе]мгруппнргюки пол) рнм что функции формы должны быль такого же типэ,.квк эппроксимнрующэя функция.
Напри- Е й ф ф-р с уды-$ Внг. 1Зх. раненые йуннн н нл» нналумюнсгн данн З. мер, функции формы (13.5) могут быть записаны в форме Иэ ав+Ьэх+гэх*, совпадающей по виду с многочленом (13.2). Вырэженне [1З.В) мажет быть прежтэвлено в виде произнеде- тжя сомножителей типа фн+йьц (13.10) 3(~=О) +~ )Р)н Рфы) ° ° ( .+ф т) (13.11) Найти промзвольные константы в (13.11) щюсто, если зэметнть. что йгэ=й во всех узлах, отличных от узла Р. Это требование может быть удовлетворено зэ счет подбора сомножителей в (13.11) тэннм образом, чтобы кзждый нз них обращался в нуль в одном из Узлгм.
СозокУпность фУнкпнй )р. каждаЯ вз жпоРых обРащаетсЯ в нуль в определенном узле, покээвнз для квадратичного элемента нз фиг. 13.2 Положим э )р яг )р-1 —. с' (13.1йр 1— х с и определим функцию Р д слслуюшим обрээож )д. вериг бчь Р ргзя й'м Рд 1 ~ля б=" шм ура ( ф фижнроэвно, б=р, ). й„.. г). Предстввим йра в анде рцэр рйр„ д-р б! Кафвамаб П-Е;ЕЕЕ,... Е„ а г .г — число узлов элемента, à — произвольная константа, определяемая нз условия, что )Уз =1 в уале й.
Фупхция формы ЗГ дается формулой дг П Еа (!3.14) а! и Описанная здесь процедура мажет быть обобщена нв двумереые и трехмерные элементы; Ссотноцгення, аналогичные (13.14), для четырехугольного н треуголыюго элементов будут данн виже. Евг. !Кд Лвнажвчд ммагатечзна а хусачыж Одномерные ааенеатм г и г — -е н.=-х, .-(-+)(- ) "-+('-М ".--*(™): "-('- —:)('- )('-') "-"('- )('- ): на т, (г — х ) (г — ь), нг- ~ (т — х ) (Г - — ).
Взымаю ывааыа аанаыа ОЪааа ааыиаг Яет ! На (ыг. 1З.З приведены выражения функций формы для линейною, квадратичного н кубичного влемыпов з одномерном случае. ~ Пр.р 12б г помощью формул (13.14) н (13.12) требущся о'Феде" ии рормы квадратичного одномерного элемента Лля узлов г н ). Начнем с уала г. Имеем ()=г и Хв=Хг=б. Функциям Еа 3 г) ), й аыхпиетстауки выраженяя Е,=!. так как 3=1=(), Ег=(г —— (1 — ухЩ, ! Ее=!а=(1 — х!3). Эвтаназия значежж агах функций н точке х=Хв О, получаем Еы а=! и Еа! а=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
