Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 25
Текст из файла (страница 25)
да (П.2) После атой замены решение физической задачи палучаетси мнннмнзацнай связанного с уравнением (П.1) функционала для каждой точки аремеипбго интервала. Перед каждой такай минштизатюей кавффицяшгты теплопроводностя и друпге величины, записищие от времени, должны бить пересчитаны заново. Функционал, связанный с уравнением (П.1), имеет вид '] — я-']К ) "ш>-']+К Я~ +К (Я ч — 2(!3 — А л )е~бу+] 44,!3 ! +~ а 14Р— 2У4 +4Р)33. (11.3) Выражение (1!.3) атлнчаегся от (5.32) только неличияой 0 в объемном интеграле. В результате минимизация палучанпся саыношения, шентнчные (5.45) н (5.46).
Эти соопюпгення будут приве- дени ниже. Вклад модифицированной нелнчнны !> в функционал (ПЗ) са. стааляет , — — ~Е((> — 3Яйу. (П.4> ч Последнее соотношение должно быть переписано как $ г поскольку е апрелелиется позлементно.
Полевая функция 44Ч оп. ределястся (юрмулой Е"'=(йчы> (Ф]. (1!.6) где (йлч] — расширенная форма матрнны функций формы (45). Дифференцируя выражение (11.6) по времени, получаем ~' ~ =ру >! "Ф' . (П.у> ш Гикса !1 так как [йчо) ивлнется только функцией координат н не зависит от времени. Подстановка выражений (11.6) и (П.у) в (П.б) дает ~ч ~( г ! ( К~ > д!е! [)Уи~ (ф)()) !У (П 3) Вта сумма интегралов должна быть минимизирована по (Ог). Днф- феревцаруя по (!Ь), получаем л а .д=~,— ) [йд г[г [)бр+ ~; ((е[йл"[~ [йл !! Ар) ае'.
(119) 1 К х Ф Второе соотношение в (342) должно быть заменено соотношением (11.9) После объедннени» (11.9) с результатами дифференцирования остальных интегралов из (1!.3) процесс минимизации приводят к следующей шгстеме дифференциальных уравнений [С[-')-[-+[К! [Ог)+ (Р)-О. (1!.1О) Вклад каждого элемента в матрицы (Е(), (С) и Щ выражаетсв формуламн [ и![+!К[г ОТ[АР. (П П ) г [йиг[=~ [В[э [О[[В! АР+ (3[К[ [К[ДА, (П.ПО) ээ [[' !) ~[)[[у[ брт) 4[дг[гду — ) [эр [й[) д3. (Ил1в) Все интегралы в формулах (П.Па) — (П.11в) берутся по отдельному элементу. Суммирование вкладов отдельных элементов проводится обычным образом.
Соотношение (!1.10) представляет собой систему лииейнык дифференциальных уравненнй первого по. рядка. Матрицу [С) в (11ЛО) иногда называют матрицей демпфирования. Это единственная новая матрица. Интегралы, определяющие (йю] и Цг ) в формулах (11-1!б), (!1Л!в), уже рассматривались в предыдущих главах. В случае регпении задач перекоса тепла зелнчииа Х в форыуле (11.1) равна проюаеденшо рс, где р — влотность.
кг(м', а с— удельная теилсамкость, Дж[[мэ-"С). Величинаи К К„„и К соответсгвуют коэффипиенгы теплопроводностн, введенные в гл. й. Пгсгес еагэьэ э да к ии ээээ Уравнение. опясывшощее несгацианарное фильтрэциоиное течение, имеет вюг Т вЂ”,,'+Ты -+҄— +О.=б — „(П.!2) [1.2. Рйатрмца демпФмровпммя здеыенте рассмотрение переходных задач теории поля приводит к новой матрице [С), называемой матрицей демпфирования. Вилад отдельного элемента в эту матрицу определяетси объемным интегралом (1! 1[а), который доллгыг быть вычислен для каждшп элемента. 11.2.1.
Одномерный симплекс-элемент Матрица функций формы лля одномерного элемента записывается в лшгвиьной свстеме координат следующим образомг [( г. ) е). Подставлян зто выражение в формулу (1!Л!а) к ушшывая завн- симосгь ДР=Аг[х, где А — плогцадь поперечмого сечения элемента. измучаем э [си2=2А) ' [(! — е) —,"1А. э [и!. КСЕ [2 1~ (11.13) 1!.22. Двумерный симплекс-элемект Матрица функций формы для двумерного элемента, выраженаая через плоские Е-координаты, имеет вид [)У[=[Ел Е, Ее). .
где Т, Тш и ҄— козффгщиенты проницаемости. В ограниченном водоносном слое Т =ЬК„и т. д„где Ь вЂ” глубина водоносного своя. Если нодоносный слой неограничен. Т =зК„„и т. д., тле — дьезометрический напор, измеряемый сг дна водоносного слоя, — «оэффициент упругсемкости. г. и Считая толщину элемента единичной. вычислим объемный имте- грал (П.11а) г Гбт1 (2 1 !! ~~=~('~ ~ (, 1, Ч~4)2-~) ! 1 1 2 ! 1.2З. Трехмерный симплеис-элемент Функции формм длп трехмерного симплекс-элемента, выраженные через объемные Окоординаты, имеют внд !Р)-!( Т !а ( !. Подставляя нх в формулу (11.11а] и используя объемный интег- рэл (ЗА6). получаем 1 1 ! яи 1 2 1 !ю 1 1 2 1~ 1 1 1 2 (11 16) 1!.2А.
Рюмпщьиые и осасимметричиые элементы Матрица демпфирования для радяальной в асеснмметрическай залач определяется соотношением ! '1=1.!Р)" (Р)бр. Для ракнвлыпяо элемента ДР Втгбг я йГ !(Ц(г — Рт)(йс — г)). В результате вычисления интеграле имеем !о 1=-®-; к ьг щх (уйп! — ЮЧ)Т)+20РР! 12)й) (6)() — 6Р)Р + бйт«0 -— 2(Ф 1 Симметрично (!2Р) — Зай)Р, +ЯЩМ вЂ” 2РР!' (П.16) Соотношение (11.14) идентично интегралу, который ветречэетсп в теории сеглпсалпллегл иалрямепид, если Х полагаетси ранкой елиннце.
Матрица, которая астречаегсн е теории согласоваааык напряжений, является матрицей демафаровання, поэтому каждое из приводимых в этом разделе ссатношеннй, определяющих элемеитьч может быть исполыовано для построения приближенной матршцг в состав!станк с теорией согласованных результантов элементов. Например, в [!!.14) представлена согласаваннан матрица элемента для двумерного сиыплекс-элемента. Р цу де пфнрсиаинн для осщиммегричногп элемента наябалее проста вычислить, если испалыоеэть плоские 1:косрдвнаты и сгютпошенне (10.26). Ниже приведены окончательные виражения)!ля коэффициентов снмметри щей матрицы: он=-О!12)0+2Р) ~-2Р)+бйгйг-! 6Р;Ра 4-2Ртйь!.
с =О!3(2-~- М~+ да+ 4Ргйг+ 2РРь+2Рзйа!. ст,=О 1647+ Р) .+ 6Р(-~-уйгйг+ 4Р Р„-1-2Р Ра), (1 1. 17) С„=О!2«1)+!21Л+2Р)+0~Р 2РР+бй сиз=О!)04 6Р)+3)0-~-2Ргй, +2Ргйа+4РР,). сзт — — О 12гц+ уйгг+ !2!0 +2Ртйг+ бйгйг-~. 0Р Р ) где О= 2пдй!180. (!.3. комично-рпзиостиои рвхнвмне дмФФирегщипльиых урввивнмй Чтобы залучить значеияя (Ф) в каждой точке времепнбго н»- терзала, необходимо решить линейное диффереицнальаае уравнение (1!.10).
Существуют два расщостраиенньщ метода решения уравнений такога типа. Одни на гжх заключается в приближенной замене частной производной па времени ее конечно-разисстным аналогом с прнмененнеи центральной разностиой схемы. Другой метод состоит в нспслыованин конетных элементов, определенных теперь уже пе в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуткдается в гл.
1У в связи с методам Галсркииа. Здесь мы рассмотрим конечно-разностнае решение. на кривой в(1) (фнг. 1!.1) даны две гочки с абсцяссамн й и 1~ на расстоянии 01=1~ — 1ь друг ат л!фг». Для первой производной е средней тсчие интервала 1г — Га имеем приближенное соотношение «П. !6) Если рассматривать узловые значения как функции времени.
та можно запасать ''-)ш-)-=«Ф) = щ («Ф)т — (Ф).). (1! . 19) Так как (Ф) нычнсляетса в средней точке времепнбго интервала, в этой тачке также должны быть вычислены (Ф) н (Р). Этн величияы определяютси па приближенным формулам (Ф).=,' ««Ф),+ «Ф).) П 1.20) +-2-!К! (Ф)э+(р)'=О. (11.22) 68 — 43 — 43 116 0 — 13 0 0 0 0 0 О О 0 0 — 48 0 0 118 — 43 0 — 43 116 — 43 Π— 43 ' 116 О 0 — 43 (К)=ту .Подставляя выражения (1!39) — (11.21) в двфференнпздьное уравнение (11.10), получаем соотношение И (Ф) ы (С)(Ф) + в 1)<)(Ф) + т Енс МЗ Ч лэ ае олртхсэсэзе ялрзле Заюлазлся.
Гцззав сэсап аи зя Ч оязе д эазю <Ф Ф,у<а<. которое может быть преабрэзовзно к виду ~(К)+ юх )С))(Ф),=( —,', (С) — )К))(Ф),— 2(Р).. (1!ЛУ) Сч<пзн исходные узловые значения в момент времени 1 нэвестными. уэловыс зиэ лепин в момент вреллени <+Ы можяо получить, решая уравнение (11.23). Вектор-столбец (Р)л содержит из.- вестные параметры; следовательно, его можно вычислить до решения уравнения (11.23). Тзк кзк соатналаення (11.18) — (!1.20) записаны в средней точ ке времеинбга иитерезлз, то многие предпочятзют вычислять (Ф) именно в этой точке.
Этн узловые значения могут быть определены путем подстановки результатов, павученных иэ решении уравнения (1!.23), е (1!.20) вместе с (Ф)а. Это можно также оделять искчючая из уревнення (11.22) с помощью формулы (11.ЭУ) члены, садержэщие (Ф)» Такой спссоб приводит к уравнению (1 1+ а< (С11(Ф) =аз (С)(Ф)л — (Р) . (11.24) 8<втрмца [А) является комбинацией лютрнц [С) в [К) н зависит от шага по времени ЬХ Если Ы н парзнегры матеряала яе зависят от времени лщи от (Ф).
та мэтрица [А) во ясе моменты времени ающакавз. Если Ы или парэл1етры матерналз нзменяютгя в про. мессе релпення, та мвтрнцу [А) следует вычислить каждый рвз заново, прспсдя суммирование по всем элЕмеНтам н затем трнапгулярлйэл<ню. Эта процедура значнтеэыю увеличивает объем вычислений, но она нензбакнз прн переменном Ы нли в случае, когда К„, н т. д. являзмсн функцнямн температуры. Объем чцсленных расчетов даже длн несложной задачи слишкоы витин, чтобы можно было здесь привести полностью какой-та числовой пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
