Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Неравномерное распре. Леленнс () по узлам элемента нллкатрирушся еа следующем примере Пример ЗО. Концентрический одномерный элемент с внутренним радиусом 2 см и внешним радиусом 4 см содержит источник тепла интенсивностью 20 Вт/сме. Требуетсн опрелелнть, какая часть тепла ат этага встачивиа приходится иа каждый нэ двух уэлса элемента. Толщину элемента считать единичной. к х зз. Распрелелеиие по узлам выражается формулой ](В) -4(т,.+ЗК))( щ> ((Зйиг — 4йие((г+)1))! ' где )1>=4 н ме=з см. Подстановка этих значений дает следующие величиныг .и ((44 — 4 (2) 4 + З (2) ) Эо. (1УО) 6(4 — з[з(4)е 4(4Р(2) 1 зг)[ !з [222[ (юз зз[' Рюш Ш Рыьгьнзвп з г вллг питт к глез з гюазгз в ы 1ВГ Ретульшруюешя система уравнений имеет внд Ф, Ф„ Ф вЂ” 216 Ф» ИΠ— 560 Фз — 560 17Щ57 — 11Щ57 Ф вЂ” 1168.57 1168,57 10е Рв,зва внз «еевювзтм узлов о 1О 40 Глобальный вектор нагрузки содержгт нули, потому что асе интегралы, вхолпшие в 1/1Ч/, равны нулю.
Ошзеко в этой системе должны быть отражены два имеющихся в формулировке задачи $ сегена. Во-первых, Фз — известная величина, раннаи по условию м. Во-вторых, расход скважины, рессматрмввемой как точечный сток, равен 21Ю мз/ч. Поскольку вода покапает водоносный слой, то значение — 200 необходимо подставить в Рг. Окончательная система уравнений имеет внд 1Π— РЗ вЂ” 1О 80 — 70 — 70 210 — 140 — 140 420 — 280 — 280 ИО 660 — 560 1728,57 0 0 ! 1Щ67 Здесь обе часпз системы разделены нв велвчниу Зпй;,/3.
ревную 41.89. Запишем решение этой системы уравнений 1Ф/г=/29.39, 29,87, 29,94, 29.97. 29,99. 30,0. ЩО/. В ааклвженнс этого раздела рассмотрим еше одни численный пример, который иллюстрирует использование одномерного элемента в задаче. о течении грунтовых вод, ПРм жор 1 90. В неограниченном воцоносном слое с козффишзснтом пранншюиоств 20 мз/(ч.мг) имеетса скважина. Расход воды сосгавлшт 200 ыз/ч. Течение к скважине прсвсходит в рвдизльнсм направленнк, причем пьезометрнческий напор иа расстоянии ЗОО м ог схвюкнпы поддержиеашсв равным 30 м.
Определите максимельиое понижение уровня воды прн усшновиашемгя режиме течения. Для акпроксимацнв водоносного слоя иызолыусм шесть элементов различной длины. Самый короткий элемент расположим вблизи скважины, с удалением от нее длина элемегпов жмрастает. В соответствии с формулой (10.13) запишем патрику элемента В этой формуле при переходе от элемента н элемешу измсаветсв только отношение ///зз — А' /////1-//зуз. Значениа этого отноамииа для наждого элементе представлены в слш1уюпгей таблице: в 10 Уе 40 60 100 РΠ— РЗ вЂ” РО 60 — 70 — 70 210 — 140 — 140 420 — 260 ю го 40 Ю шо жо 1О 10 Ме 160 Ые 1160,и Фз Фг Ф„ Фз Фз Фс Ф, — 4, О 0 О 0 0 0 0 0 0 О гш раппы адм агап:ч даптдаа ад а Ммааьг та ш Максимальное понижение урони» веда равно 0,01 и я досгнгаетсв в точке, где находится скважина. ! 0.2.
С)сесимметрические задачи теории поля Если трехмерное тело обладает геометрической симметрией относительно оси з, то зто тело называют осесамметрпчным телом. Если к тому же всслелуема» фкзпческая величина не зависит от О. то диффереипиальйое уравнение (!0.1) сводится к следующему: Ка -'3- К ++К ~~т-+ 6=0. (10.17) Вариацкоиная формулировка задачи (1О.!7) и (1018) свпзана с рассмотрением фуншжоиала у,— — (-гй-)гК (Я+гК Я~ — йгчзр1бу+ +~йрд8+~ — (Š— 2рр — Еа) АЗ.
(1029) Интегралы, которые входят в основные соотношешш, овремляюпцю злемееты, в точности совпалаюг с теин, что выведены в гл. б (формулы (Б.20) и (5.21)), есэв талию определшь теперь (Ег) как Ег)=~ " ]. (1020) а (г заменить иа произвеление г0. Подобие между осе«иммегрическими н двумерными задачами упрогцает решение осесииметричеснмх задач.
При исиользовзини одного вз способов решения Л' Каа н () в авумерной задаче заменяются на гК,„гК и г() я далее использупмя та же самая про. Для решения этого двумерного уравнения может быть нспользонаи треугбльный симплекс-элемент. Следует еще раз подчеркнуть, по длн того, чтобы уравнение (10.17) было справедливо, ~ребуется больше. чем симметрия фор-. мы рассматриваемого гела. При несимметрпчном распределении температуры н осеспмыетричиом теле задачу нельзя считать ссеснмметрп ~есной, Грапичггые условия для уравнения (!0.17) выражаются формулой (10:.2) н следующим соотпошевиемг к ф(+к ат-! +д+л(р — й ) о.
(10.10) грамма вычислений. При этом г означает расстояние от 'псн симметрии ло центра элемента, а произведения гК и т. д. должны бить вычислены ллк каждого элемента. Зтот праближенный способ азет достаточно точные результаты, если размеры элементов маты. Сочетание большого элемента н болыпого г может стать источником ошибки, во ернд ли эта ошибка будет сугцествешга. Полевая фупкедя р определаетса сошаошюнюи Р=!Уг(Од+ Дггц~г 'гйг Фи (10.21) где !"д= эл (лг+Ье+сгд) 1 "'г= ал (и,+Ьгг+с!) ! п )У = л-(гь,+Ь„с+газ) ! Константы и, Ь и с опрелелевы в соопюшении (0.10). Объемный интеграл в (ймг) дается формулой' Р,Ь, .Ь,Ь, Ь,Ь, ) ) Ь~Ь Ь Ь„Ь Ь ~ 1 с,с, сгсг сгед1 сгсг сгсз с„сд (!0,22) сгсг сад сдсд Здесь через )( обозначено произведение петрин к= — (Кг Кг )Е) ! 2 1 Кт .
(!0.2а! ! 1 2 Яд " нншграл спшштся к вшгу )(гбр после того,'как постоянные члены вхпкюатск за знак интегра д й тывая аависииость АР йпгбА, запишем О =2к~ААА. (102й) Р адналыиж расстояние г может быть вьйгюхено в Е-шюрднпатахг г='ЕгКд+ Гэра+ ЕдКь (1О Вз) я ш К=б!4,83 ем*. Я,-лдси Ц вввввв 91 (гЕв) г!фЛЧ а"=йф [гу.)ЯЛ. т гь (10.25) а величина гв тогда может бить представлена произведением ((в(т !е( (вь»1 (Яг ) К К,) 7»Ю У 5, 1,1, и, . (!025) !1 1! !!. Я Вмполннв ннтегрнровапне с помощью интстральнмх соотношений ллн Оноординнт нз гл.
3, пвшрвнм (10.23). Веля, следуя прибннженному способу, заменять гд;„и гК на константы гК и гК та для объемного иатеграла в [йш) будем пясть р,ь, ь,ь, ь,ь„1 (В)г(О)(В)др — ",„~= ЬЬ» Ьвдг Ь»75 т ~ь!и ь,ь, ь,ь,~ (с' с с с свс»1 +х "— с,с, сгсв свсв ° ((а27) сс с»св сев В этом случае г=(яв+йв+Яв)Р. срармудм (!022) и (10.27) совпадают с то»вестью до замены Й на г Приближенная формула (10.27) булет содержать а)ннбху.
есле раасматрнвается большой элемент н большое чясло г Одна- по, кая показывает следующий пример, ошибка зта вероятна. не'существенна. Пример 91. Ниже показан треугсльнмй элемент, используемый в некоторой асесвмиетрпчесхой задаче теории поля Пращ»зелены радиальные координаты его узлов.
Сраввштс матришв теалопаоваднасги элементов, аычисленвме по формулам (!022) и (1027). Поскольку соотношения (!0.22) и (10.27) совпадают с точностью да замани Я па г сравнгнпе )казанных матриц можно провести, рассматривая змчпсаслные зиачеянн г н Яв я +я(+я ш+ш ' аз з з в г =И3.78 сей 1! 2 К» лидии в и есввиишгшвмвмв в»деви шории оы» !И Ю= — (20 25 231 1 2 1 25= Определим относительную величину расхождения а процентах: г — Я 51а,та — 51»,Ю вЂ” Х 100=, ' Х100= — 0,20(У».
ые,аз Об»емимй инте раа которнй входит в (уи), может быть аппрохсимирован сап»рюшей Зависнмостью. Составляя произведеиня гйв с помощью соотношения (10.25) и вн- тегрируя, получаем гэз Г га юз ~м 0 ге-тее Точно так жс, каи при рассмотрении интеграла (10.18), отсюла можно заключить, что тепло от источника внутри элемента распределяется неравномерно по узлам элемента, квк зто имело место в диумерном случае, представленном формулой (8.47). Е гсз Омом, „Д,т Г з эма эичьчт. Поверхностные интегралы в задачах переноса тепла вычисляются относительно просто.
Начнем .с поверхностного интеграле. который входит в [Йо). в,рассмотрим сторону элемента между уз лами (и й (фиг. 10.2): ( 0'$ ~й(йг( (дг(ц3=8~ ~ й,~(О („(,) ЦЗ= эи Ил 1. (О а о1 =ЗД ('(О г(( г(.,С, 42. (10.30) О г(т(ч туч(ч Используя соотйошенне (10.25) для г, составляя соответствующие произведении и интегрируя с учетом формулы (3.43), гюлучаем ГО О 0 ' «(й) ((У)ЦЗ= ""~и 10 (3((г+Д) (Ц,+(Ц)1, (1031) ) а (((,+(7,) р,+зн„)1 ще Мы — длина ошроны между узлами ( я й.
Существуют еще две формы запасн соотношения (10.31). соответствующие двум Реечаэ эти и огэгэалгтаэтгоиэ ваГш ггэзэа аэлл другим сторонам элемента. для сторон между узлэмн 1 и 1 н меж- ду ушлами э а й соОтветственно имеем (а)(, РЯ> (Л,+)(г) . о1 йоу)т(дг)43= —,~'-~((уг+г) (((г +3(7) О~ (1032) в О О а Г(3(7+(уз) О ()уг+7(э)1 Р)й()У(г(Р()ЦЗ тз — "~ а О -О ~. (РОЗЗ) эи ~(((г+г,) а ()(с+3)7,)~ Поверхностный интеграл в ((эг» имеет вид (гь) ) ЪР Р()г48 Зайй ~ г~ ЦК= и йи10~ — 1 2 О У(~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
