Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 18
Текст из файла (страница 18)
показанной кв фнг. 8.1. Элемент имеет длину:(- й(атрицы в (8.У) н (8З) прнняыавт теперь вцк (8.!81 (й) Т,+ Т, Г 111 лт 1 1 Г 1 11(Т) 1. е ) еЦТ) Евь а.1. Лнэсав З сдвонеэньа элемент. й)атригш свойств мвтернава сводится к одному кон)фнцнепту1 [Ю1 1)( 1. Вычислим интегралы в (8.6)'. 1 (в) (В)(в)й)г=( Е ()( >[ .' 1]дй,= .1 ю ев ~[ ]г(х= г ~ ~. (ВЛ6) э Площадь поперечного сечения прв этом предполагается поетсянкой. ~бр)г()тр)В-Ы.~ 1 е ~ ~(1 — — е) — е~ д, (8Л6) (+) тан как бб=рйк, где Р— периметр.
Периметр пике прелполвгает- сн неизменным вдоль осн ц Производя перемножение в (8.16) н эычасляя интеграл. имеем Р.ьз йА (0 0~ (8.24) ау же запасать ~~)гйу,б йу ~,(0~ р)(г бду А (О) Матрица теплопроводнпсгн элемента получаетск сложевнеы мат- рац (8.15) я (8,17) г Член в (8.18), описывающий конвекцаю. нсчезвет, еслн й раааа пулю на грашша элемента. 10 зст Выыкленне интегралов в векторе снл элемента (6. ) даст ('Ру)гббр=бл( ~ б = бляс Д (619) ан.аг~г~ 1 ф() Твк как третий нпмкрал ндентнчен по форме шарову, мшнно сра- 1 - ==11 '"'"'"'= ' 11 ьт Рс >П (8.2 ) 1 111 Полное выражение для ((а>) теперь нмеет внд цш) блс П+ егяц П- — ",— ('~. (822) Имея в вкау последующее включение этого члена в сумму (Р) з Х ()Ы]. вто выраженне можно перепесать как бль-ада+ ьг РсУП (Влл) '=-( — 'П Г Прамером одномерной эздачн переноса тепда является задача аб о жденнн стержня.
Рассмотркм стержень, адан хонец катохлз рого соединен с источником тепла; через боко > р ст жвя н другой его конец тепло отводятся в окружающую среду. Формулы (, н (859) н (82>) предполагают, чта потеря тепла эа счет хностп. Тепе ь раса оп шкцнн праисходнт талька от боковой позер . р смотрам сипношення, которые связаны с отводом тепл а от конца свщомернага элемента.
иаг газ а лт малмаюадислн ю~~М Мш омам, что тепло отводятся через поверхность правого к щ стержня (узел Д. Потеря (пряток) тепла происходят лнба в результате конвентявнаго теплообменз, либо нз-эа налнчня заданного теплавога патака 4. Поэтому должны быть рассмотрены талька поверхностные шпегралы. Рассмотрим поверхностный интеграл в матраце тепдоправодностк: йру)г(М)К3-( й (1'У 1(д~, 5;)Л3 шг «ак мы ннтересуемся поверхностью в Рм узле, йг О, йг в результате подстановка этих величин имеем ~'И(86)тур)58=~ЛП(0 1)53-~'5~~ '~бЗ. Зтз матрнца должна добавляться к сумме матриц (8.16), еслк на свободном паяце происходит патера тепла. Совершенно ясно, что ивффнцнент тгплоабмсна в (8.24) мгокет атлнчаться от ксаффнцвента, который задан на боковой паверхнсстя.
Поверзностпые интегралы в матриде ()га) прагшмаюг внд Исполыовзнне формул (8.24) — (826) вместе с (6.18) п (6.23) мл- люстрнруетгд ка следующем примере. Примвр 59. Требуется вычнслнть распределение температуры в одномерном сгержнс с прпведенвымн ниже фнэнческпми характеристнкамн.' Резделпм конструипао на 5 элементов длиной 1,5 см каждый. Матрицы элементов для первых четырех элементов идентичны п зюгут быть состзвлены с помощью формул (8.18) в (823). За- ег жамыазжжмтн и аэыэип» !41 -щ с л.пичуг г.го гмт го элемента й„т 101 йт РА=1ЯЮгь йд — 10., ВТ А 400а.
т, Т т з Т» т, 4З Пб —:4З вЂ” 43 ! 16 — 43 — 4З 68 лд,„[ 1 — 11 ьи. [2 11 пишем величины различии параметров, вхадшцих в эти саатио. шенияг — =48. Матраца теплапроноднасти лля первого элемента щгеег внд В)атрицы теплопранадностн для атарогщ третыго и четвертшо элементов идентичны [дгн). Вектор нагрузки (8.23) элемента пре. образуется к виду )[ггг)= — „,— [ 1. влн [[нг)=( так как Я н 4 равны нулю.
Зтатршгы для пятого элемента получвкпся из соответствующих матрац первого элемента добавлением членов, описынанэцих пот ери тепла на пранам конце стержня. Чтобы построить матрацу з теплопроаодности. пужгю добавить к [убг) результаты аычнсле- 10п, аркин добаввть слцкуюшую мат. [о 11 [О:11ы! [: 'н1=[-' 1- да прямой жестКоспг совокупнасп, ряе ентов приводит к следующей системе Здесь ираведегю сокращение яа множитель и, так как он входит в обе части системы уравнений. Пустые места в [К) означают щлевые коэффициенты. Значение У, известна (150 С). так что система уравнений давжна быть модифицирована перед решюшем. Зта моднфнквцив преобразует столбец правых частей к виду [Р)э=[3700 7650 1ЯЮ 1200 1200 10001.
После решения системы имеем [Т)г [150 82,6 59 48,6 44,2 42,61. Теоретическве значения температуры [2) следукацне: [Т )г 1150 89 9 62 8 50 6 45 2 43 31 Результаты. полученные по методу каиешых элементов, жмта. таино хороша согласукнгя с ноткиными аначеннями, еслк участь, чта было проведено разбиение области на одинаковые элементы. Г зал (829) дтэ [ 1 — 1~я+ад[ у~~ г 1 П [В)г (О) [в) Ар='б А — 11. [8.31) Р УУ,Рг+тхтРт, с учетом которого писем — ьь-[. ~[ т А,+-й-Ат1, Репгенве по методу конечных элементов можно было бы улучшнть, еслн попользовать более коротхне элементы вблизи стены, в которую зэдехан стержень. В предыдущем примере площадь поперечного сечення стержни была постоянной.
Этого требовать необязательно. Площааь может быть также функцией длнны элемента. Если площадь элемек- Оы. ЗХ. Ыхвыкриы~ ззымвт с вкыагамя гыомэаыо сыеив». ,Ха ыепяетса по длине, то матрика элемента должна быть преобразована Обсудим теперь это преобразование.
Ржсмотрим элемент, изображенный на фиг. 8.2. Его плошадь поперечвогосеченняизыеяяется ат А, на левомконцедоАтнапрвном. Есля огрвничнться случаем лякейлюго ктменепня площади. можно сразу аапнсать соотношенне для площадн А =Л'тб, + Д'тйт, [8.25 где йге и йгз — линейные фушщкя формы. Сльаующнй шаг — определение матриц элемента, Используя для вычнсвеная (йы) первую часть формулы (818), получаем [В)т [ППВ) Лу=ф [ 1 1~ ~ Ад . [8.23) э Т ак велкчннв А в этой формуле не постовнна вдоль х, ее нельак х (8.27) в зя вывестн зв знак интеграла.
Подсташыка выражения ( ) в (3.28) дает к [ 1 — 11 [[(1 ")А+ " А]а, Выполняя ннтегрпрованяе, получаем Л гылг ээ с ыг т аамэээедастш э выыхэа» Тпк квк (АтрАт)/2 равно средней площадв элемента. пыршкпще (8.29) может быть записано как где А — суеднаа площадь. ФоРмрла (830) совпадает с [818) и точностью до замены площади ла ее среднее значенне.
Интегралы по боковой поверхности мшуг быть выражены аналогнчным обратом. Периметр можно запнсать в анде соотношения ",['"""' "Е; ",'1- э Первый коэффициент в (8.32) после подстановкн В[с в )Ут и вычнс- лення кнтеграла будет раисы . ~~В -~[у[)Р,+РРз(УтРЬ~~~[ВР,+У э хностные интегралы Представлнютсн состкошепннмн й~ [В), АВ аС ~[ВРз+Рт) (1,+Р) 1 — 1З 1[ре+Рг) я+~ т йт„~ уу) бз~~™ [2 1~[ '~. Сложив матрицы (8.30) к (8.34), можно получать (йгч).
Сост ношение (835) дает часть ()Ы). Из формул (8.34) н [8.35) ясно. что нх нельзя получить пз (8.17) нлн (821) щнктой нодстановной средвего периметра в случас элемента конической формы. П»ле» г»»з сч» пнэ»»Л»эсэ»»»г» и е ж г Чэ» ВЗ. Двумерный перенос теппа Треугольный элемент с тремя уэлэмн щнрако нспалыуетсн пля решения двумерных задач теплапроводиестн. Втат элемент уже применялса прн рассмотрении круче~на иекругощка стержня, и теперь можно воспользоваться некоторыми результатами. полученными в гл. 6. Нвпоыним функции формы для лянсйного треугольваго элемента» мэ г ( ~+Зэк+слей <)=й,ь, (8.36) где еэ, Ьа.
ев определены в (3.10). Температура даегсп формулой » Тг) Т~Мг Лг ЛЯА 7'г Ц где Тг, Тг н Ть — значеняя те»пературы в узлах. последовательна проходимых ат узла г в направлении, противоположном направлению движения часовой стрслин. Запишем еще матрицу градиентов [В[г (8,381 п матрицу свойств матерпаиа [В): <В)=~,** „1. (8.39) Теперь можно вычислите,матрицу теплщгрюаадноеги элемента. Первое слагаемое принимает вид [огюэ -[+ '][»" ' )[ч " ь» эм Предполагая толщину элемента единичной, заменим НГ на АА. Подынтегральнсе выражение в (ВАО» постоянно и может быть вымкено за знак интегралзг ~(ВР.(В)(В)ЕУ=(В) (В)<ВфИ=А<В) <ВПВ).
<341» Вмчнслня произведение матрац, имеем [ЬгЬ, Ь,Ь» ЬЬ»1 [с,е, е,ег е,с»[ <Ь'г) - чг Ьгбг Ьгаг ЬА +~~- сгсг сэсг сггь . (щ43» Ь»Ь» Ь»бг Ь„Ь с»сг сьсг с»сэ рай щыеграл ) Л[)у)еще должен быть вычислен па поверх- астя. Подставляя в матрнау [Лг) функции формы п выполняя мат- рнчнсе умножение, получаем < Ф,)У, ЛггФ, Ига»[ Ь 'Ь »1)г <Л<) АВ (г '[' )У.)У, )ч )У Лг ЛГ АВ. (ВА»Г т )У,)71 )У,)Уг ЛГ,»У» Функции формы заенсят ат к н у, поэтому пронзведення вида йгВг не масут быль вынесеим за зйзк интеграла.
Кроме того, зиа.ченйе интеграла зависит от тюгщ иа какой поверхности иаблюда- Фэг. ВЛ. цсвэе»тэ»»ые амцм гч»зэ вмь сема э» сг»эсз тээтг»м ю э»гнч га ется кенаектнвный тенлообмен. Если, например, канвекции подвержена сторона между узлами г и 1 (фиг. 8.8», то <гэ ранна нулю вдоль этой старании интеграл сводится к следующему выраженнах [)У,)У, )У,Л, б[ Ь<)У)г(ЛЪа=Ь~~Л,)У, )УУг О~АЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
