Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Комрфициесст — с[з, заключенный в треутсльни», накодится на пересшении четвертой строки и пятога столбца. Расположение всех коэффициентов матрицы злемыыа в глобальной матрице жестнасти показана на Фвг УУ. Раеэмрлзве в шзгфаююжмазы сакззюевноа изтззам меетлоетз ззелввы. м;Š— э т твч ч ез фиг 7.1. Незаполненные прямоугольники для [Сце[ соответствуют нулевым алеыентам.
сопоставление фиг. 7.1 и соотношения (б.19вс 'поквзынает, чта мы имеем теперь точную матрицу жесткости давлата элелсеита. Метод прямой жестюкти построения глобальной мвтрипы жесткости является очнсь важным алгоритмам реализации метозв конечных элементов нз ЭВМ, пиону чта ои значительно сокрапсзет загрузку запоминающе.о устройства В частности, он исключает необхолимасть запоминанна больших матрац элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Чясла строк в число сыслбцов сокращнпюй ыатрицы скесткасти элемента равны числу степеней свободы элемента.
7.2. Система линейных уравменмй При использопании ыегода конечных элементов получается система линейных уранненвй, которая должна быть репкпа опккительна неиавестных узловых параметров. Решение этих уравнений является очень важным аспектом задачи в целом, потому что сн- стема уравнений обычна очень балыпия. Методы решения сисшм с малым нлн большим числом уравнений мало стличаютси друг от зруга.
Реалнэацян этих методов, однако, зависит ат техпичесннх возможностей ЭВМ. Ва второй главе, тле рассматривался процесс 'дискретизации сплопшой среды, было отмечено, что путем надлежащей нумерации уэлен можно контролировать располоскшше коэффициентов в Фкг. 7.1. Оаюне мш сзюевм Учмэветвз, скпучлвлюз вэ» ваюзьзешзнв ветыз «ааечвнх ззенеашв. чсбальной мзтрице жесткости. Наполшнм, что при разумной нумерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица харакгеризуетса тем, чта вес ее нгнулевые коэффициенты располагаются вблизи главной' диагонали, а гсе коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю.
Схематически эта праиллюстряровано иа фиг. 7.2. где шиРина полосы ленточной матрицы показана штриховыми лнпиямв. Через С обозначены ненулевые члены. Ваабпсе гавари, нулевые коэффициенты могут нсгречатьшг и внутри полосы Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеалыюйс симметрия в положительная определенность матрицы. Налиже симметрии означает. гго нрибллентельно половину ненулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что шмффициент. стоящий на глазной диагонали, асегла положителен н обычно много болыпе по вели- !и р»ээа Г ио ряыи»ээээ а»гада «эа»чм» а»»авто» аа ЛВМ чннс, чем любой другой коэффяцнент сагше»ствующсй стракк нлн столбца.
В случае снмметрнчной положтнельно определенной матрнци ленточного тяпа апачнтельпо сокращается объем пычнсленнй, необходнмых длн получения решепая системы урапненнй. К тому же уменьшаетсн вероятность большак ошнбом акр!гленна. Оущсстаованме сммметрнн и мшрнце ленточного типа позооляет аначнтельно сократить объем памятн. требуемой для храненна глобальной матрацы.
Обычно прн программнровапнн предусматривается преоращенне матрацы, нзображеппой на фнг. 2.2, а нря»щ. угольный масонах шнрнпа которого совпадает с шнрнной полосы матрицы, а пляпа равна чнслу уравнений. Чтобы нронллюстрнровать пренмущешяа такого предстанлення матрацы, допустим, что мн решаеы задачу, которая оключает 200 узловык пенэзестных. Обично прн этом получается глобальная магри»а жесткоста, длк хрэнення которой требуется 200Х200, т.
е. 40000 еднпнц машнкной памяти. Однако, есла эта ленточная матрпцэ имеет шаркну паласы, равную 40, н хранятся в виде прямоугольного кассини требуетса уже только 8000 единиц машннной памятн лля запомннаняя 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образок, эзгручка мзшнппой памнтн самращзегся на 20»5 по сравнению с энгр!якай, требуемой прн храпения квадратоой матрицы. Решепне снстемн уравнемнй может быть проведено с помнило алгорнтмоа, которые сбсуждаэ:тся во мнагпх кангак, посшэценных численному анзлнзу.
Следует подчеркнуть, что обрэщенне матрицы — очень неэффектявная процедура регпеняя с»кими уравненнй. Эта неэффептннность может быть об» яснена двумя прИн- нами. Обращение матрш»ы эканпалижно решению снстеми М уравнений с К неншщтным»» Рслн пря это»» рассматранвется ограннченное числа столбцао прааык частей (глобальный вектор па- грузкнВ то аычнслелне обратной матрнцы мала опраелано Кроме того, в результате абращення ленточной матрицы получается матрнца келенточнш'о тана. Процедура обрзщення матрицы неэффектквна также еше я с точки зрсяня эманамнн мзшннной памяти. 12.!.
Преобразование системы урааншый Результнруюп»ая сметена уравнений имеет внд (К((Ф]=Щ; (Т.в> она получается сум»~мропаннем уравнений длп всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые састазляюшне (Ф1 известны, что яяляется скорее правилом, чем нсключеннем.
В больюннстве задач теории поли некоторые граничные значеннн нскомой нелнчнни заданы; во псек задачах тЕОрии упругастн должны бить фнкснронааы некоторые перемещсняя с тем, чтобы исключить перемещенне среды как жесткого тела. В задачах механнкн деформаруемых сред матрица жесткастн (К! будет снпгулярной до тех пар. пока не заданы некоторые переме»нанна. Цель этого раздела — обсуждение я еллюсграцня нро»»едуры преобразовання (К1 н (51 такнм образом, чтобы получить пранальний ответ, яе нзмепян размеры (К! н (г), нбо это повлечет зз собой трупы»ктн прн программнроваанн. Воля фнкснропана одна степень свободы уалапога параметра (Фг, то пресбразонанне снсшмы уравненнй представляет собой даухшагаоую процедуру. Пусть, напрнмер„нане»яка эначеэне ц)», преабрэзаваннс свалятся тогда к следующему: 1.
Все моэффнцяепты пятой строки, за нсключигяеы днагонзльпых, прярааннаакпсп нулю. Дяагональный член остается неязмепцым. В ферме рапенства это ныгляднт как К»»=0 прн 1 !,...,а н (чьб. Саауаетстаующая компонента Гэ вектора(Г) заменяется на пранэяедезне К Ф 2. Все остальные урапнення преобраэуютсн вычнтаннем пронзаю»дня я Кмф, нз Р, н подстановкой К»»=О, (= 1, „я, 1»ь5. Пример 44. Требуется преобразовать следующую систему уравнений, еслн пэа»ъч»кх чго Ф»=150 я Ф»=40: 55Ф» — 46Ф„1- 4Ф, 500. — 46Ф»+ 14ОФ» - 46Ф, .' =2000.
4Ф» — ' 46Ф +ПОЮ вЂ” 46Ф,-1- 4Ф . 1000, — 46Ф»+142Ф» — 46Ф»=ЖСО, 4Ф вЂ” 49!»+65Ф =200, Ня первом этапе прнравннем нулю нсе коэффнцненты в нерпой пагод строкак, эз кскл»аченнеы дна»ональних члеааа, которые станам ненэменнымн. Компоненты р» н Е» н(г» ачмекнм сошнетственно на КпФ» н КиФь В РшУльтате бУдем нмец ' 55Ф» =8250, — 46Ф»+ 140Ф» — 46Ф» =2000, 4Ф» — 46Ф»+110Ф» — 46Ф + 4Ф»=1000, 46Ф»+ 142Ф» эртр =2000 65Ф,=2600. !!э Второй этап состоит в исключении столбцов матрицы, коэффициенты которык умножаютси на Ф, и Ф».
Зто осуществлнется переносом членов, содержащих Ф» и Фь а правую часы системы. НапРиыеР, величинз Р» становится Равной 2000-1-46Фь нли ИОО. Зазершап второй шаг. получим 55Ф» =8250. 14СФ» — 46Ф 8900. — 46Ф»+ 110»Р» — 46Ф, =240, — 4ЗЭ + 142Ф,=3340, 65Ф„=2600. Описанная выше процедура совершенно проста и легко поддаетси програымираванию. Та же методика преобразования может быть испоиыювзпа также в сэучае, котла (К] храшпси в виде прямоугольного маеспва. Логика программировании, однаио, при этом более сложпан. Лругой метал, применнсмый некоторыми исследователями, состои~ и том, что диагональный коэффициент, ссотвегстиующий заданному узловому значышю Фэ, умножаетси из очень болыпсе число, сказ»ем па !О'», а Еэ заменяется на (!О'») Фз.
Зто рзнносильно приближенной замене жшффициентов вне глазной диагонали нулями. Такой способ очень легко реализовать на ЗВМ, но он неприменим. если заданное значение Фэ очень мало. Име»п»о с тихим случаем сгалкинаютсн прн решении задач механики теерлого деформируемого тела, когда заданные перемещения малы оо величине. Первый метол, рассмотренный выше, всегд» будет давать правильные результаты там, гпе мы сталкиваемся с малыми заданными вы~и»»»паин 6»э. 7.32. Решение системы уравнений (глины из наиболее эффективных методоо решения системы уравнений, которые получаются при использовании метода конечных элемсптов, калнс»си иза«етний вариант метода исключении Гаусса !!). Матрица системы преобраауетси к треугольному виду, восле чего решение получас»си обратной прогонкой.
Проиллюстрнруем сначала метод на примере решении простой системы уравнений. а затем проведем обобщение, обсуждая вопросы. которые имеют отношение к методу конечных элементов. Рассмотрим систему уравнений З)»»+ЗЭ»+. Ф»=6 2Ф»+ 6Ф',— Ф»=4. (7.9) Ф» — Фэ+ 4Ф» 2. Рп им»э» л»гада»ээ» «»и э»»лпао» пэ ЛВЭГ Матрица этой снсшмы симметрична, причем наибольшие ее коэффициенты расположены на главной диагонали. Метод исключении основан на том, что любая»ген»вес»низ может быть искэючена ш всех уран»»ений, следующих аэ тем, в нотором зта неизвестная нахолнтсп па главной диагонали.
Например, певзнер»ую Ф, можно исключить из второго и третьего уравнений, а затем нсключшь Фэ пз третьего уравнения. Чтобы исилючить Ф» из второго и трат»его уравнып»й, ре»пим первое уравнение относительно Ф». Ф» = 0.75 — 0,25Ф» — О,! 25Ф». Подставил это выражевие во второе уржшение. получим 2(0,75 — 0,2ЗЭ» — 0,125Ф») 1-66»,— ОЪ-4. пли 5,5Ф,— 1„25Ф»=2,5. Подстановка в третье уравнение дает (0.75 — 0.25Ф,' — 0 125Ф ) — Ф» ф 4Ф»=2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
