Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Фактические значения коэффициентов матрицы [В! заюювт осмина используагого элемента и ог чипа ржсматрвваемой зэдэчи. Поэтому точисе определение [В) будет отложено до рассмгпреинн конкрсэных примеров. З>юргин деформации Л>'> отдельжко элемента с помощью фюр- 7 и жег записана Ю ЕМВ Е> мул (5.64) и (5.6 ) о быть в СИЕЛУ Пг ИД И =~+([и[г(В 1! [(У НВ >![П[ >З 1 2[(>[с [В(11г [Ви! [.ю)+[ [ [г [Вщ) [ )3!)ДУ. (566) е дээеме сеы «аюввевчн иейеривви (яБ) сеэзызнэзвв ччээер„эе- оэзсдвне эрзэве чзеп> вирен>миэ ъ> т т увюхшш эе Ч вЂ” ВР» г>эгэ: Это определение предполагает, что силы разложены на номповенты, параллельные компонентам перевез!сечей.
Эта часть полной Работы ле входит а сумму (5.54), так как рассьштрсниые силн соч;редоточены з узлах. Работа объемных сил Х. Х, Ы дмтся формулой )уььч=~(иХ +очх+шХ) чб', гЧП где и, о е Че — номпсшнаты нектара перемещений внузрн элемента по осям х, р и а соответственно. Интссрал здесь необходим, так как н, и и и! вместе с Х.
г н Ж могут измазаться шЧутрн эчш.мента. Используп равенстно (5.66), формулу (5.70) можно пс(вписать в нщш рйч ! ) Х!уг= ((ч)т руч г)т игчл д)! (5.71) „Ч!'Чх! Работа поверхностных сил определяетсн следунннмн образом! 4Ф=~(врач+ цчш+п)ьм) бб, ~о (5.72) гДе и, о е и! — компоненты аектоРа пеуемшценнй. а Рп Рз е л— компснмнты вектора напряжений, параллельньш кооржяштеым осам н, у и л. Последаее слагаемое в (5.68) ве звенит от узловых ниа шний ((Ч), поэтому оно не влияет на процесс мннимазацаи н в дальнейшик ссылках па (5.68) пе будет приниматься но внимание.
Работа, соаершжмая шчешними снлаын, !жжет быль разрвлена на трн различные Части! работа Р я совершаемая сосредоточеншгмн силами, работа Х'г, которая получается в результате действия компонент напряжений на ниешией стороне поверхности, рабата )рь, сонершаеьшя массовыми снламн. Работу сосредоточенных снл легко определить, если а каждой точке приложения шсредоточенпой силы поместить узел.
Рабою согрсдсточепной силы равна произведению величины Эюй силЫ па длину пути, ла котором зта сила действует. Тааим образом, Работа отдельной силы;равна Р (Ч. ОбпмЧнча» узловые силы через (Р], а узловые перемещения чнрез (ЧЧ), совершенпуш работу иожж! записать з анде цроиэаедения ма цшц: ХЧ,=((Г!" (Р)=(Р) ((Ч). (5.68) р«с м, «за~~а~«за«ч«!!за««~~~~иьи~~мв~~в Гуан!!ение формул (6.72) в (5.70) покаэьеавт, что они идеины по форме. Поэтому (р)н) Хгчо ( (у))г (дчш)г Рчо 68 (5.73) ! зЧ ! Используя формулы (5.54), (8.68), (5.62), (5.7!) и (5.73), по- чаем нырзжонне пли полной потенциал!пой энергии: ау ~+(П)г(В Р))У !)(Б (П)бр— т«! )Х' ) ((г)г (дччи)г гччн! ду ЯЧ ! зг ! ((ч) )йч )г(дч ) ч)5 — ((У)' (Р).
(574) хЧ ! «)тебы минимизировать величину П, продифференчшрупч выражение (5.74) по (ЧЧ) и приравняем результат нулю. Эту очмрнпню можно ныполаить. используя дифференциальные соотношения Б! и Б2. В результате будем пьянь ° г( э(п) ХЦ~ ( ! (Хч !) (Бчп)т ()у !)(ч, )ду реп!)г шы бу я;и! гн! (Ру!) (йчвч)т Рш чш (Р) 0. (5,75) Гэиа В К юхане Эд дюатся ссотнощеииями (5.89) Интегралы и формуле (5.75) определяют длк взвопив элеыевта вектор пагруэки ()гч) н Матрицу жесткости (йы].
которые можно объелинвть следующим образомг э(п) =15 11(')+( (5:.76) Уравнение (576) очень похоже на уравнение (5.44). В рассматриваемом случае (йм] — объемный янтеграл вида Угьг)=~(Вот)г1О'г)(В Ьдр. (57~ а ()ю» — сумма нескольких янтегрэлов: (»ю) ~ (бг г]г (Вьг) (дучгг) др РЧ ~1~ 'У г др — 1)Уиг)г Уди дй ]Р) (57)ф гхо зго Матрица жесткости злементэ (5.77) не содержит поверюмютный интеграл, который встречается в задачах теории поля. Обыщи пый натирал в формуле (5.77) по форме ццентичеа обьемиому ии. теграау в (6.45). хотя числовые значения (Вю] н ]Оэг] соверщенно разные в этих двуХ случаях Глобальная матрица жесткости (У(] и глобальный вектор стал-.
бец (Г) в матричном уравнении (К)]Ч=(Р) (5.79) Згщачм 35. Выюднте уравнения длн'примера в равд. 51, есдн правый коэец стержня, третий узел. теплоизслировэв, а по боновой пгь иерхности происходит иоизекпювый обмен тенлэ. 39. Вывюппе систему уравнений длп перюгещенвй в изобрагкенном ниже Элементе конструкции, подверженном осевой нагрузке. Используйте двухзлемеитную модельсузлоаымиперемещениями С~в (7з и (Гз. Заметим, что значение Юг полкою равпяжся пулю.
40. Прогнб спертой балин, подверженной дейстзюо постоянного изгибающего момента М, оппсываетса дяфферевцввзыым уравнением ! м '5*,:г+ — =бз Уз=ух=6 ег где Еу — жесткость поперечного сечения, ие зависящэи ст длины. а) Дайте вырнациониую формулировку этой задачи. 6) Выведите систему уравнений лдя определения Уз. Уз н уь гкпсльчуя чстырехэлементаую модель, поиазннвую ниже. 41. Покажите, что обьемный интеграл н форьгуле (535) эизи- еитен обьемному интегралу а (5.32).
Гса ° ЛИТЕРАТУРА 1. Р В у. фà Ьбспг ос Еовб М «Ь Ьэутоеог Иаб, жжв ша Сбей И. 3 1ЭЗА К Нзп М. Е. Ег б Ь. 1бсграз, М О -ЖЕ И. т. 1збс. З. Ичсепс К, И„ТЬ угаде выпас М Шсб Ь,г Епмошгз, Втму, 1Ч. Т„гзтб. 4. кгмю е, Рг!ос1рьп м исае т а мег, 3 б сд.. 1п1сх езвсзпо э1 Рчьбяаш, ' И.Х. 1ЮЗ. Е Тошашяш 3. Р„оошзст 3. И ТЬ,'ш ог ЕГшис1ГТ, Мсцша'-ИВ1 И'. Т 1РЛЕ гиа, М.. 1ЮН ес ру шгверг л:тз ш иаостш Гулыуд,т чашу ру шщ.юд.эо К Уыжазш И.
Е„дррт Л Иуб у аш, Нжм и Ь, 1 бс, ЮЮ. 1 Гпава 6 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ НЕКРУГОЕОГО СЕЧЕНИЯ В четырех лредыдуошх главах рассыигриваютсв вопросы дискретизации тела„построения иптерполяцисшного паляница дпя отдельного элемента н использование нитерполициониых полнномов для дискрегизоианной облжти, а также дастся вывод основных уравнений, Каждая из эшх глсв содержит исходную инфорызпюо, связаннучо с методом конечных элементов. В втой главе мм переходим от рассмотрения теории метода к его ревлизацни. Ее цсчь— проиллюстрировать все этапы реализацяи метода. Эта цель достигается путем получення шсленного решения палачи о вручении сгенжня некругоаого сечения Выбор вменил этой задачи дл» иллюстрации реализации метода конечных элемемтов объясняетсн двумя причинами. Во-первых.
в этом случае относительно просто вывопятсн уравнения метода конечных элементов. Удатрипа 1К1 лешо вычисляется. в интегралы по границе области обращаются в нуль в силу залания нулевых граничных значений искомой функции. Во-вторых, коицепцви, используемые при,рассмотрении кручения щержня некругового сечевая, одинаково важны как дп» мехаиичесзих задач. так и для задач теории поля. Хотя теория нручення стержней представляет собой свмостоятелыпгй рзадел механики деформнруемого тела, нспол1ауемые в ней дифференциальные уравнения вналогичяы уравнениям, которые описывают перенос тепла и течение грунтовых аод. 6.К Общая теория ирученмя стержня Согласно теории'> кручения цилиндрических стержней с произвольной формой сечения, сдвяговые напряжения, аознннающие в теле в результате действия крутящего момента Т относительно сши л (фиг. 6.1В могут быть вычислены в произвольной точке тела по г> сушссгауог лзе гюуап аруш» я сгеаэсгсз жаре эсгс сачеашс Олаа ю ° эх жшз эвзаагз сг -еш ашш, юччая — пршчшвв.
осе теозвп «бсгшаагяся Рза Г11. Еаряап Рю Иуз пз, жп зешш э ягой . «саяе э «шгс ТЕ ясшенас н Гувьсрз Гар 1[2[ь)+з '!за) 2=) [ и (б)' [))1 (а! — (266) 2162 формулам =за т,„= — з, зт (6,1) где р — Функции нвпрюкевий, дифферещ этой фупацик имеет вид — з„+ — — + 26=0. (62) Фвг. ВЛ. Саэвгчвме апувжмам в сгчужае тггругсэсю се мв, вьвмрмсжмм выс час вуугмв ге смет!в а граиичжге условие аапясываетс» как у=а И уравнение (6.2) квк параметры входят модуль сдан а ри ' [ы! т и крутка (!тол закручнввни» яа единицу длины) мате 6 [рад(см). При такой постановке задача лифференцивльзоеу(тра!э ивине ие содержит приложенного крутящщо момента Т [ ом).
Величина Т вычисляется после решенкя уравнения (62) по фо„- муле Функцию напряжений можно наглядно представить как некоторую поверхность, охватывающую поперечное сечение стержня (фвт. 6.2). Крутящий момент пропорционален сбьему, охватывземому этой поверхностью, а С!миговые напрюкевни связаны с тламн наилонв ггасатжчьных к этой поверхностна в плсскостих хя и рк ' у Уравнение (6.2) обычно записывают в виде -бд-+ — +260=0.
(6.6) и е эт» так веэмвгегмв мемара аав «нтлегв (см. 131, егз. мн).— Вариационввя форм)лировка запачн о кручении стержни связа- на с рассмогрсияем функционала Е с В,т, Вв !чомсть фтмчам вюавмемж т а се Опмжп3у вцее свез Отсс нйе!мм м г который в соответствии с взложенным в гл. Б может быта занесен в ваде где -Ф Вектор-столбец (2) ыютветствует сдвипжым напряжениям, матрица [В) становится единичной. твк как К К -1.
Минимяваею 2 йо (Ф» приводит к системе лгжейных уравнений ~ [(В( (В ЦВ )бу(Ю)=~[(Л 1*(266)ар. =г;,и! — ! тм! где [Рдо) определена в формуле (4.1), а [Вю) — матрице грали- еитоа. определенная в формуле (622]. К рещению снесены (6.6) приступают после того. кзк выбрана форма сечения и это сечеияе рвЖято иа элементы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
