Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 15
Текст из файла (страница 15)
— 1,25Ф + 3,875Ф» — — 1,25. В результате система уравнений прш»имает вид ЭЭ»-1-2Ф» +Фэ =6, 5.ЗР» 1.25»Р» =2 5 (7.10) — 1.25Ф + 3,875Ф 1,25, Повторим процедуру, исключая Фэ вэ третьего уравнении: 8Ф»+2Ф» +Ф» =6, 5.5Ф» — 1,25Ф„=2.5, „(73 1) 3.591Ф»=- 1,818. Зта системз может быть решена обратной прогонкой. Иэ третьего уравнении получаем Подстазлнн эта значение Ф» во второе уравнение. и решая его сч иссительно Ф».
получаем Ф,=234.!ЭЛИ =0,5695, э,в Поскольку Ф» и Фэ известны, из первого уравнение змеем Ф»=0,544. Мы шщнм, что метод включает два агапа. Первый состоит в превращении исходной матрицы в треугольную. На втором этапе рм г рыпзшся лслуче)п)ая сшгема уравкеиид Первый этан обычно яш эывают разложением матрицы, паскозьку матрица жесткости пе. реходят в более простую матрицу. Второй этап решении называют обратной прогонкой.
После того кшс мы подробно ппчнакомились с мокшам, рассмотрим систему уравнений более общего вина. Снова прелполажим, что система уравнений симметрична и доминирующие члс. ны находятся на главной диагонали. Кроме того, доп]стим„ что матрица системы ленточного типа. Имея это в пиду, рассмотрим приведенную ниже систему ураияеииб) КмФ,+КмФ„-1-К Ф, =Го КмФ,+К„Ф,+К„Ф. ~.кыФ) КмФ,]К Ф, !К,Р,~ К„Ф.]кмФ, Р (7]Д Кнб>з+К„Ф,+К, Ф;=р) Ширина полосы матрицы, очевидно, равна трем. Нулевые ксэ)]ь фнцненты здесь не показаны.
После исключевня Ф) имеем (7.13) где коэффициенты расширынюд о ладные коэффициенты сведующим к К()> =К вЂ” Км —, к К()) К д. К) " дм ' г) 'Р Ра з) К матрицы выражэяжся через ис образом) К(,) К Кн К» Кв)=к К кж Р Р К'к Верхний индекс (1) используе)ся для обозначения первого исключения, или релукции. (>0)цее пютяашение длн произвольного коэффициента пасла первой редукции имыт ввд К)! =Кп — К) —.
) !) 1. и кя и рас р)яка) ветряка дзз еяс))яя тра м яэ (К](аб (Р) ммгч е))я ~~~ (к] ~шр~~лбна (П ()]. Км Ды Д)з 0 КЯ) К()) 0 К() К())) о кв) к])) о о кп) О О Г, ка) о к(й К))) Кп Р(и Кф Кь) г(п К(Р К(() Г)) Редукпии с номером и соответствует сбшсе соапюшение вида К>)~1 К7=кз) в — Й, ™М„'— ,> .
01.)н. (7.]з) Лвалогичине формулы получаются для вектор-столб)ш (Р)! Ра)-г,— К, Р', 1>1. (7.13) Из сасп)ошш)ня (7.И) можно )палачь важную инфармацию. Прежде всего очевидно, что симметрии я ноэффициентах после операция исключения сохраняется. Зго легко увидепч сравнивая, например, коэффициенты К)))) и К)мп в матрице (7.13). Так кзк в неладной матрице Кп=Км й Км Км, иэ вышеприведенных формул след>чт, что К(',)=К)ни Поскольку синметри» сохраняется после канщаб редукции, та К), ')-К"' — ')н матрш)а (7.11) мояют быть переписана ванде [ -е (7. 16) Разложение ма)рицы таким образам может быть проведено с использованием талька «оэффициыпов, находя)цихся на главной диагонали и выше ее, так что нет необходимости запоминать полную матрицу.
Еше пдву вджную особенность можно обнаружить при рассмотрении ма~рицы (7.13)) если к(„н или кмв — н равно нулю, то д)))= -К!. '>. Например, коэффициенты в четвертом и ингам с)албцах з и в четвертой и пятов строках матрицы (7.13) не )мменились после операции исключения, потому что Кн=.Ко=О и К)=Км=о. На ке)к)кш шаге исключения следует рассматрива)ь тодька те коэффициенты в пределах ширины полосы, поторые изменяю)ся в процессе исключения.
Если система иэ 100 уравнений имеет матрицу с )пиреноб полосы 1б, тилько 1б»равнений этой сне)емы вндоизмепяются после каждого отцельного исключения. Эта приводит к экономия машинного времена При рассмотрении систем урзвпснпд болниаго порядка. Элементы матрицы, находящиеся вне полосы, не вхиякв нз процесс исключении (ибо они равны пулю). Следовательно, их помнить не нужна Это обстоятельство позволяет хранить глобальвую матрицу жесткости в виде прямо>гольного массива ширпнсд. равной ширине паласы матрицы.
!!б Г иг !. 77олучаюнцпесл лосхе раэлпжелгш коаффзциглги Кгг содержат достаточно информации, чтобы преобразовать надлежащим абра. зам лрогиаольлий вектор-стотюец, дюсе если это не бимт еде око в шюцессе раэложешш могрпци, Последнее обстоятельство пааво. лагг анзлиэвравать мнопюислепные нектар-столбцы (Р) и дает определенное преимущество этому методу перед друтвыи про|шку. рами, которые прпменякася прп рассмотрении отдельного вехтарстолбца. Вели (Р) не модифицируется вместе с [К), рассматриваемый метод сволитси к следующей трехшагогай прог1етбрег 1 Матрица коэффициентов [К) преобразуется з нерхнюю треугольную матрицу.
В Вектор-столбец (Р) мадифицируетси обращением л раэ к фоРмуле (7.15). Этот прошсс называют прямим разложением, й. Решение получается метолам обратной прогонки. Первый шаг обычна реализуется в одной подпрограмме, тагэ(з хак второй н третий шаги объединяются в другой подпрограмме. В гл. 18 представлены подпрограммы, хотсрые выполняют ясе этп действия для матрицы. хранжцейсв в виде прима)талан~го мас сиза. 7Ь.
Общвя блок-скеглп вычислений Опиям яз нреимущитп метода конечных элементов авляетс» та, юа многие его агапы являимсн абщнмн для исех областей приложения метода. Процедура решения задач переноса тепла и течения грунтовых яад яключзет много тех же шагов, кгморые жтречакмся при расчеж жестюгх рам и ферм и при анализе напряженного и деформированного состояний дейюрмяруеьгой сшюшаой среды.
Общаи блок-схема вычислений представлено на фиг. 7.3. Эта блок. схема предназначена для симплекс-элементоп и пригодна лля всех обаастей применения, обсуждаемык в слсаующих наги главак. Блок-схема непрвменвма в случае иэопараметрических элементов, которые будут изучены позже в этой книге Работа основных блоков схемы будет рассмотреха в общем случае, а не в связв с каким-та специальным примером. Все программы, реалиэугошие метод конечных элементов, должны содерэкать предаарительпую информацию о числе уравнений, чисае элементоп и ширине полосы матрицы. Сведения о числе уравнений необходимы иля того, чтобы в исходном состоянии глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор пагруэки можгю было заполнить нулями (предварительная чистка матриц).
поскольку в процжсе счета эти матрицы составляются путем суммировании. Сразу после чистки патрии следует циклическая операция, виполняеман для каждого элемента. Эта операция включает анод исхолной ипформапии об элементе, состапление матриц элементов Рз.'иэзж» мгг Эа хммчхьи вмзгюээ аа ВВМ .
Н7 Е г, гл. дмжя ах «.с енз змэээпп». Рв пэуямщ тягал «аэччзнх эиягатж. зта Вэ Р У Ра ишака латала «аазчавз эааазагаа яа ЗЛЫ и включение их в глобальные матрицы. Конкретнаи шгформлция об элементе включает в себя номер элемепта и номера узлов. Скща могут быть отнесены значения координат узлов элемента. Последние могут быть яведены независимо и вызываться пз машинной памяти с помощью номеров узлов элемента. Если исполыуется последняя процедура, все узловые координаты должны быть введены перед началом работы цикаа. Всн важная информации об элемены долхша быть выведена па печать где-лабо внутри указзгшсго цикла.
Вывод исходпмк данных на печать позволяет убедиться, что зти данные прапильно отперфораровапы п введены в нучкгюм порядке. Неиериая исходная инфсрмаци» об элементе — главный источник отпнбки в программах, реализуюпгих метод конечных элементов. Задание номеров умов предпочтительнее аадапия узловых сте. пеней свободы. узловые степени свободы могут быть рассчитаны, если нанесены номера узлов, В чалачах, связанных с раосмагреа»- ем векторных пелпчин, взад номеров узлов может сократить на половину или на дпе трети требуемую информацию об уаловык данных.
Составление матриц элементов требует знания свойств материала. Существуют три сгюсоба обработки данных сб этих свойствах. Егли данные о спойстых материала пе зависят от померз элемента, они могут быть ввелены одвовремегпю с предварительной информацией.
Именно так делается в программах, предстапленных в гл. !Я, потому что зти программы носит учебный. а не исследовательский характер. Их вспользуют в основном не лля решения сложиык задач, а для иллюстрации применения метода коне шых элементов. При дручом способе обработки данных о свойствах материала эги лапные вводятся н запоминаютса как массив перед «ачалом работы цикла. Тогда номер соответствуюпге. го материзлз должен быть представлен п походных цавиых элемента.
При использовании третьего способа огюдится группа свойств материала, которой пользуюгс» для всех элемеитоп Ло тех пор, пока некоторое кошрсаьное целое число в исходных данных элемента пе укажет, что пора вводтпь другую группу свойств, Колвчестпо походных данных элемента (таких, как номера узлов. узловые координаты и свойства материвлаЕ которые хранятся п ЭВМ, зависит ог исполыуемой программы и ог размерон памяти ЭВМ. Стоит придерл<иваться правила — не крючить исходную информацию об элементе, когда размеры памяти ЭВМ ограничен«ы.
Эта память в большей степени веобходнмэ для храпепия глобальиы» матриц Однньг из средств хранения информации япляетсн внешнее запоминающее устройстно, такое, как магнитная лента. Если же внешним устройством жкпользоваться нельзя. данные об элементе стараются н вводятся вновь, когда подсчитываются реэультанты элемента. Ввод узловых сил, если вообще что требуется, и составление глобальвого вектора нагрузки (Р» осуществлиются после аавершепип уиазанного вылив цикла по элементам. Вектор узловгзк сил содержит величины, которые сшмагпа с определенным уэлом, а пе с определенным элементом.
Вообще большипстпо из этах величии спивака с граничными узлами, как, пипример, сосредоточенные силы в задачах механики деформируемых сред, или псевдосилы. такие. как количество просочившейся воды в задаче о течении груптоиык под илп количество потерь тспла в задаче о переносе тепла. Силы будут определены для раалнчных типов задач в приклалных областях. Величины н расположение этих сил будут заданы при решеини копкретаой задачи. Число узловых спл различно в разных задачах, поэтому ныбколимо обеспечить своевремышое прекращение ввода.
Обычаи это достигается использованием нулевого илп отрицательпого номера узла для размшцения узловой силы. После ввода узловых спл проязводнтся ввод заданных узловых значений искомой величины. Поскольку число ик может быть произвольным. завершение ввода снова осущесталжтся с помощью пулевого или отрицатевьиого номера узла. Необхолимзя модификация системы уравнений аыполииется так, как описано в Предыдущей главе. У|оспе преобрааования сястемы уравнений проводится решение этих уравнепийг относительно неизвестных узлопык значений. Существует несколько процедур построения решения. Одна из них уже обсуждалась п середине этой главы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
