Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 19
Текст из файла (страница 19)
<344) Ь 6 О О~ Если любая иа двух другах сторон полвержеиа коивекцни, то рас. полажение отличных от нули членов в (8.43) будет вимм, чем п (844) . Вычисление пронищденнй в (8.43» ие представит .груда, если применить Вжюрдииэты и интегральные формулы (ЗАЗ). Предполагая, что щ измеряется от стороны, пратизоположнай гсму узлу. можно записать (э-Л~г в 7 =)У,. 1о-газ г««а Гели предположить, что канвективный теплообмсн имеет жсто ма поверхности стороны элемента между узлаын ! я ф то в точках этой поверхности Р»ь-(«=0 и соотношение (8.44» примет вид Г(,(„ (,( о1 я(д!) (Вг)бб=й Г((,(., )„(„0~42, <е йф 2а~ О О О/ гле дВ=Ы2.
причем толщина ! предполагается единичной. Диа тяпа произведений входят в формулу (8.48) ! квадрат величины (з нли Ег н перекрестное произведение Е,*ьь Начнем с квадратных членом А«дЮ вЂ” [ ) «А!2 — зо! М вЂ” 2 и = — .= —" ° (а+о+!Н и 3 2н 2г! гдето — длвнз сюроны между узламн ! н ). Интепрнргнжаке нерсирестнсго произведения дает 2л Иитегрнли»ьзой н )(фИ равны между собой. Подставляя полученные результаты в формулу (8.45), получаем „зуи Гй ! 01 ~) (»Уг (»У» 2=." а! ~! 2 О Уп 000 у ~ д'н РОБМ ы ц!у у лаз»ийл Гоо о1 йуу) уу»г(8 «Рм ~ » 0 1 2 и для стороны между увламн й и й Г20 (1 Д(»У»'Мбу= — и л2, ! О 2 Три'интеграла в выражснни для вектора нагрузки элемента танже легко вычвслщотси, если воспользоваться (-коордииатшчи.
Начнем с интеграла ~ ГЩ«с)др! предположи«!; что велнчшгз й фон~с~ щы "ввг- —— емамвтэ ««а и элемента. Тогда брпеы иметь (--»[!].--[[[ (8.47) а«вреде.чается б м тепле. генеРиРУемое в шгвмепге' Р аким Разом, ~ 8 ~ (»у»тйу 42 заву до трем узлам. е'Рз тся в одинаковой ФОРме: 6- (ВАВ) волить. Псснольнр "" л (р„48) Результаты зависа~ ~б ', „ернзуемый еме та пр ход !а за,„,е ваго по о ф Пр'днглнчиной й, илн приток т ' тн элемента, вспучим для нкполагаи о постоянным по соверхнсстн зл м теграаа (ВЛВ» трн слелующне формы запи з пиен: сВ (8.49э) В 9'Км 9~ 99»г 48= (8.49б) (8.49в) Величина йт„~т бб <о ии (849а) ( .
в» !й теллообме~ гыбзпода ° шиве!си су сулгмой интегралов по каждо иа стор пл интерес представляю!' В большинстве зад ер значения температуры в узловых точках. огда Х вЂ” Х =ж — 7= — 1, с=Х вЂ” Х З вЂ” 6= — З, с =Х вЂ” Х =7 — З=4, э г г 2А=1 Хг !'г=1 7 О=В, 16 [йег1= — 4 — 12 я -и -шзайьг и К эедзп Еэ. 17 РР9=ш ~ -' — 16 мо опрцгелять градиенты температуры. После того квк перепеле ны узловые значения, градиеипэ температуры вахсдятси шыо соотношения си с помо. Численный пример. который приводится Ниже,. иллшетр уст прнмеаепнс полученных выше сштношенпй ,. и пруст пр р 89.
Ниже нзоб тнэаиии оплошной рашен элемент, который использован для диск о среды. По двум еоверхностям этого элемента ре. н певческие х акте происходит хоивектнвный теплсюбмеж Указаны разы ы мери злпчента ф арактерастнмя. Требуется составить матрицы элемента, предполагая его тслщнну единичной. Ра стрип петрину тевлопроаодносгн вдеыепгв, гь,ь, ь,ь,.
ь,ь -! зл" ~ЬЬг Ьгрг ЬА +Дш-~6г ..., ...1+ и рв с шеы еа счм мяеяаавмпячэа «ммаеями ыа Константы Ь и с вычислянмся по формулам Ь,р Уг — Уэ — — Π— 4 — 4, Ь-=!э — Ус=4 — 3 — 1, Ь =У,— 1 -=-З О=З, , шорш рть и Мм !павы ,,р !ау 6!э+ !О 47ь=рг 777=4 12 см ьг!!6 6—,«г +!4 — 3! ут !О з 16 м гашпдстыажка полученных чнсжаых эншевий в !Ьг'г! дает — 4 — 121 Г 1 3 — 41 ф! З+-,а- З 9' — Рр+ 13 9 — 4 — 12 16 — 1 — 161 ' Г6,32 О 3.161 !Π— 9 + е О 8'24 412 = — 9 23 3,16 4,!2 !4,66 !!2488 — ! !б 21691 = — 1,18 18,41 — 6.96 .
21,09 — 6,96 46.98 Веитор нагрузки элемента !!ге» представляет собой сумму двух поверхностных иигегоалов пб кажной из сторон, где происходит конаективный теплообмен ,„, аг.м б+а;,1 ьщ.е!э, +,...ао = б!б+ О -(») где константы вычисляются с испольюваннем определителей илв матричным умножением, как показано в гл. 3. Запишем иеабха- днмые матрицы (8.82) Вт)=(к' ь» р(„ць ! 1ь, ь, ь, ь1 (В)=,— с сг сэ сг ° Нг Иэ (8.83) Инпиралы довольно лглга вычисаиншся,,если васпалглаваться объемными 1 координатами ( =Кн У йд 1 =»У„н Е =Кн Вычисление ввтегр алов дает следующее рсзультатыг ь,ь, ьгьг ь,ь ь,ь, бу. К Ь,йг Ьр, Ь,Ь, + ЗЯ' ЗА ьз(ь СзшиетРичва Ьгбг с,сг с,сг с,с«сгсг бгбг г(я(г цгиа НА +Кта ОГ СЛ, с,, +К, б,б, бд(, Ц,б, зз! Симнет)пчво с,с, Симметрично Кд(г 8.4.
Трнхачерный случай пнрвносн тепла Вывод соотношений цля элемента в трехмерных задачах перевеса тепла аналогичен соответствующим процедурам в одномерном и лвумерном случаях. В хачштве элемента дискретнзапин рассмотрим тетраздр с четырьмя узлами. Функции формы„оютветствуапцне денншчу отучаю, ньгеюг иид на= вфьг +сэр+да» (8.51) Лгзшзг ш«««зэ гт мэ«сале«адм«ш а «о«г »ВООО1 аз!ы 0 2 1 1 "'"' (ЬГ»"~= Ш О 1 2 ! ° О 1121 1 1(»у» ев= —",,', 1 — н ат ЗГы 11 ' У.й(Ь»)У б3- —, 1 с ествуют трн другие формы записи Лдн е"реле (Вбб» сггпегт В к й шщ зи ю иэ оставшихся сторон. квжд а главная дна~анэли равны двум н эиаэапнси.
Нулево козфф й козфтицнент находится в строке, соатает сти. 5« — площадь пот ще у .г й - Г вне рассматриваемой поверхности. гм— псрхиасгй. содержащая узлы г, 1, Ь и т. д. '85. Приобрциовнния координат выва е анисина (81» нсыльзуется предполаженяе, важдолжны быль параллельны координатным ставлены атнсшпеаьво главных осей об ~~ неатнраваны ~щасш которые могут быть различным о разом ср тельно глобальной снстемы иасрдннат.
Э требование усложняет ввод исходно ин то аа наты узловых точек измерядииатах узлов элемента. Если к рки у ются относительна а глобальной системы координат. то для в й координат веобхаднления иаарднн уз. инат чов в локально системе р паэт. Внлючеиие преобразовано выполнить преобразование шюрдииат. ам обычна несложная задача, ио иия координат в программу того. побы указывать б использования ненаторых приемов для пя«Ь уст Глава В вычислительной машине момент нсполыования етого ванин.
Зтн немы пр и связаны с вводом дополвителыого параматр зная зтОГО нреобрззО- для каждого элемента а Запишем формулы преобразования длв двумерного случаю Здесь к', . р' соответствуют локальной системе ктюрдиилт, а х й— люордпваты глобальиод системы. Эти формулы предшшагаиж совпадение начале иоордииат обеих систем. 8.6.,Точечные источники 3' До озх пор мы не рассиатрнеалн важные для многих физичесннх задач понятна точечного и линейного нсточвнков. Говорят. что точечный (или линейный) всточни» тепла существует, когда .генерирование тепла () происходнт внутри очень малого обьема пли очень лгалой плопшда. бчоическшзя з примерами лииейиьш нстопгиков являются проложенные в земле трубы для подачи горечей поды н (или) водяного пара (х,.г,1 н прож>дашин элюггрнческий ток проши У н влектропроводящей среде.
В каждом из этих случаев плсчцадь поперечного сечении тртбы или .прсгзода мела по сравнеиию с,разиернчп охружагощей среды. В задачах О точении грунтовых аяа нзсосы, еагтгв тэсг оаьтше а е„выкачивающие поду гн подоиооюго слоя, шязз. также рассивтряваются кек точеп1ые ис- точники. Точечные и лвпейные истачвикн достаточно часто встречаютсл :в окружающей дегютвнтельиостн, что оправдывает нине винмавне к ним. 6(ы ограничимся обсуждением источника внутри двум пото элементе, ио процедура, которая будет рассмотрена, очень -быстра распространяется н на трехмерный элемент.
Рассмотрии треугольный элемент на фиг. 8.4 с линейным ис-точником Г;1 (кВтгм) (тепло прнтскает и сгнтается положитель-я ,ным), располажепныы в точке Х» Уь Так как теплошб песочив к .а я - аходатся в точке, 1,1 теперь не постоянно внутри объема элены вляется функцией координат х и у. Используя единичные им- 1тз. шульспые фуннппи Цх — хс) и б(р — )ь) )1)„можно записать () ~"б( —..)6( — р,).
и г ч аа счзг гнмспзсчсдяааги э «пчиияз 1ЗЗ ~Вт)г Еду т быть теперь записан как (дгг ) )й)г ()ду=()* ~~(уг)брг — дб(у — 61)бгдр- (В бб) на элемента предполагаетсн равной единице. Используя изшчтпые сжй)сгва импульсных функций, имеем )~П'П-О~ ) (6.61) Соотношение (В.б() устанавливает, что, если точечный (линейный) ясточюш паходнтся внутри элемента. () распределяется по узлам нропорционально сгптеетствующим величинам Фь (ут и )уь которые аычнслзпотся с шгмощью координат точечного источника. Так кзк Хйгз=1 в любой точке внутри элементе. мы не получим величины, большей чем Гг . Пример 61. Интенсивность источника СГч=б2 Втгсм.
Источник находится в точке с координатами (6.2) внутри элемента, показанного ниже (этот эленепт нспользгпался з задаче 60). Требтется опреде. лять распределение 9* по узлам элемента. .В аеззче 61. уаы» а Вычасжав константы аг / гъ г \ Фэг. а.б. та»зази нси иа Звв. (8.63) Значения Ь н с бьшн вычислены в задаче 60; Ь= — 4. с= — 1, Ь= 1, с= — 3. Ь»= 3, Ьэ 4.
щ=Х У» — Х~г =(7) (4) — (6) (0)=28, а,=х,уг — Х,у;=(бцз) — (бцб) =6, — Х,У Х У' — (3) (О) (7) (8)— Вспшчннан, 'что 2А=13, соотношения для (Уа иожно переэвглть в ваде )Уг — 128 — йх — р), 1 !3, 13 (+ 1 гз ( 21+За+481' 1 Подставляя сюда Ха=8 и У,=2, получаем )7, =--128 — 4(6) — 21= — „, 1 в 1З - 1З ' й' 16+ 6 — 8 (2)1= 1 б (7» = —. 1 — 21+3 (от+4 (П) Величина 1;и разделяется по узлам 1, 1 и й на части%э %» н %» соатаетсгвенно.
поэтому иатеграл ( щтг)бу длн виго авенента При разбиении на элснепты сплошной среды то ичный (линейный) источннк можно разместить в одном из уэлап. Зто уарощаст натегрнровапне выражения (8.63). Предполсчкнм, что щтачвик находится в (.м узле (фнг. 86), тогда 77»=ЬГ» О н 177» ( р (77)гпбр О )с й, 8(* — л,)б(у — р»)бй= Ф„ О )т, Дааее Я в (8.62) дшпкио бмть преобразовано с учетом того. что источник относится теперь к более чем одному элемшпу. Величина интенсивности источника должна быть распределена по эле- ментам, акружиощнм узел.
Это распределеппе проводится в саат ветс»вин с тем, наьую часть ат 860" составляет угол при вершние даниага элемента, расположенной в узле 1. Правнльное соотно. щепке для элемента (с) на фиг. 8.8 имеет внд (61 "!) уу )т ()бу»»О* О Однако яет неабхадниастн вычислять угол а для различных элементов, окружающих узловой источник После тога как с по мощью метода прямой жеспсосгн уравнения для отдельных элементов будут аб»едииенщ совместный вклад всех элементов, относящихся н этому узлу; составит полную величину Я». Простей- 1В7 шяй способ учета узлонсго источника спешит в добавлении величнны О* к глобальнал~у вентору нагрузка (Р).
сочнее к той его компоненте, которая соответствует глобалышй степени свободы, отнгсенной к этому узлу. В случае трехмерного элемента источник,локализованный внутри элемента, распределяется па четырем узлам в соответствии с формулой (уг 1771' (1)) бр=а* " А'е 77 г=гг (8.59) .тле (Ха, Уа 2э) — координаты точки расположения нстсчнпка. М 8, Мпшмммпя риппмяицыя 8.7.! . Постановке задачи Ряд набелей помещен в теплопронодящую срелу (фнг. 8.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
